Theorem mirbtwni 28743

Description: Point inversion preserves betweenness, first half of Theorem 7.15 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
miriso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miriso.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mirbtwni.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
mirbtwni.b	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))

Assertion

Ref	Expression
mirbtwni	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍)))

Proof of Theorem mirbtwni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		eqid 2736	. 2 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
5		mirval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		miriso.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		miriso.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8		mirbtwni.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
9		mirval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
10		mirval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
11		mirval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		mirfv.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
13	1, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12	mirf 28732	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃⟶𝑃)
14	13, 6	ffvelcdmd 7030	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
15	13, 7	ffvelcdmd 7030	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
16	13, 8	ffvelcdmd 7030	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
17	1, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12, 6, 7	miriso 28742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) − (𝑀‘𝑌)) = (𝑋 − 𝑌))
18	17	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = ((𝑀‘𝑋) − (𝑀‘𝑌)))
19	1, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12, 7, 8	miriso 28742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑌) − (𝑀‘𝑍)) = (𝑌 − 𝑍))
20	19	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = ((𝑀‘𝑌) − (𝑀‘𝑍)))
21	1, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12, 8, 6	miriso 28742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑍) − (𝑀‘𝑋)) = (𝑍 − 𝑋))
22	21	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑋) = ((𝑀‘𝑍) − (𝑀‘𝑋)))
23	1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16, 18, 20, 22	trgcgr 28588	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑀‘𝑋)(𝑀‘𝑌)(𝑀‘𝑍)”⟩)
24		mirbtwni.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16, 23, 24	tgbtwnxfr 28602	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  distcds 17186  TarskiGcstrkg 28499  Itvcitv 28505  LineGclng 28506  cgrGccgrg 28582  pInvGcmir 28724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-s1 14520  df-s2 14771  df-s3 14772  df-trkgc 28520  df-trkgb 28521  df-trkgcb 28522  df-trkg 28525  df-cgrg 28583  df-mir 28725

This theorem is referenced by:  mirbtwnb  28744  mirmir2  28746  mirhl  28751  mirauto  28756  krippenlem  28762  colperpexlem1  28802  opphllem2  28820