Theorem mirbtwni 26449

Description: Point inversion preserves betweenness, first half of Theorem 7.15 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
miriso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miriso.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mirbtwni.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
mirbtwni.b	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))

Assertion

Ref	Expression
mirbtwni	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍)))

Proof of Theorem mirbtwni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		eqid 2819	. 2 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
5		mirval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		miriso.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		miriso.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8		mirbtwni.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
9		mirval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
10		mirval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
11		mirval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		mirfv.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
13	1, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12	mirf 26438	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃⟶𝑃)
14	13, 6	ffvelrnd 6845	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
15	13, 7	ffvelrnd 6845	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
16	13, 8	ffvelrnd 6845	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
17	1, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12, 6, 7	miriso 26448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) − (𝑀‘𝑌)) = (𝑋 − 𝑌))
18	17	eqcomd 2825	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = ((𝑀‘𝑋) − (𝑀‘𝑌)))
19	1, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12, 7, 8	miriso 26448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑌) − (𝑀‘𝑍)) = (𝑌 − 𝑍))
20	19	eqcomd 2825	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = ((𝑀‘𝑌) − (𝑀‘𝑍)))
21	1, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12, 8, 6	miriso 26448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑍) − (𝑀‘𝑋)) = (𝑍 − 𝑋))
22	21	eqcomd 2825	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑋) = ((𝑀‘𝑍) − (𝑀‘𝑋)))
23	1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16, 18, 20, 22	trgcgr 26294	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑀‘𝑋)(𝑀‘𝑌)(𝑀‘𝑍)”⟩)
24		mirbtwni.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16, 23, 24	tgbtwnxfr 26308	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  distcds 16566  TarskiGcstrkg 26208  Itvcitv 26214  LineGclng 26215  cgrGccgrg 26288  pInvGcmir 26430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-hash 13683  df-word 13854  df-concat 13915  df-s1 13942  df-s2 14202  df-s3 14203  df-trkgc 26226  df-trkgb 26227  df-trkgcb 26228  df-trkg 26231  df-cgrg 26289  df-mir 26431

This theorem is referenced by:  mirbtwnb  26450  mirmir2  26452  mirhl  26457  mirauto  26462  krippenlem  26468  colperpexlem1  26508  opphllem2  26526