Theorem mirbtwni 28948

Description: Point inversion preserves betweenness, first half of Theorem 7.15 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
miriso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miriso.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mirbtwni.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
mirbtwni.b	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))

Assertion

Ref	Expression
mirbtwni	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍)))

Proof of Theorem mirbtwni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		eqid 2763	. 2 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
5		mirval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		miriso.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		miriso.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8		mirbtwni.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
9		mirval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
10		mirval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
11		mirval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		mirfv.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
13	1, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12	mirf 28937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃⟶𝑃)
14	13, 6	ffvelcdmd 7080	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
15	13, 7	ffvelcdmd 7080	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
16	13, 8	ffvelcdmd 7080	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
17	1, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12, 6, 7	miriso 28947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) − (𝑀‘𝑌)) = (𝑋 − 𝑌))
18	17	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = ((𝑀‘𝑋) − (𝑀‘𝑌)))
19	1, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12, 7, 8	miriso 28947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑌) − (𝑀‘𝑍)) = (𝑌 − 𝑍))
20	19	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = ((𝑀‘𝑌) − (𝑀‘𝑍)))
21	1, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12, 8, 6	miriso 28947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑍) − (𝑀‘𝑋)) = (𝑍 − 𝑋))
22	21	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑋) = ((𝑀‘𝑍) − (𝑀‘𝑋)))
23	1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16, 18, 20, 22	trgcgr 28785	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑀‘𝑋)(𝑀‘𝑌)(𝑀‘𝑍)”⟩)
24		mirbtwni.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16, 23, 24	tgbtwnxfr 28799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  distcds 17314  TarskiGcstrkg 28696  Itvcitv 28702  LineGclng 28703  cgrGccgrg 28779  pInvGcmir 28929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-s1 14630  df-s2 14881  df-s3 14882  df-trkgc 28717  df-trkgb 28718  df-trkgcb 28719  df-trkg 28722  df-cgrg 28780  df-mir 28930

This theorem is referenced by:  mirbtwnb  28949  mirmir2  28951  mirhl  28956  mirauto  28961  krippenlem  28967  mirlni  28972  colperpexlem1  29011  opphllem2  29029