Theorem mirbtwni 29025

Description: Point inversion preserves betweenness, first half of Theorem 7.15 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
miriso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miriso.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mirbtwni.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
mirbtwni.b	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))

Assertion

Ref	Expression
mirbtwni	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍)))

Proof of Theorem mirbtwni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		eqid 2760	. 2 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
5		mirval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		miriso.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		miriso.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8		mirbtwni.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
9		mirval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
10		mirval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
11		mirval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		mirfv.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
13	1, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12	mirf 29014	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃⟶𝑃)
14	13, 6	ffvelcdmd 7079	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
15	13, 7	ffvelcdmd 7079	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
16	13, 8	ffvelcdmd 7079	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
17	1, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12, 6, 7	miriso 29024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) − (𝑀‘𝑌)) = (𝑋 − 𝑌))
18	17	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = ((𝑀‘𝑋) − (𝑀‘𝑌)))
19	1, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12, 7, 8	miriso 29024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑌) − (𝑀‘𝑍)) = (𝑌 − 𝑍))
20	19	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = ((𝑀‘𝑌) − (𝑀‘𝑍)))
21	1, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12, 8, 6	miriso 29024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑍) − (𝑀‘𝑋)) = (𝑍 − 𝑋))
22	21	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑋) = ((𝑀‘𝑍) − (𝑀‘𝑋)))
23	1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16, 18, 20, 22	trgcgr 28861	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑀‘𝑋)(𝑀‘𝑌)(𝑀‘𝑍)”⟩)
24		mirbtwni.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16, 23, 24	tgbtwnxfr 28875	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)𝐼(𝑀‘𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  distcds 17354  TarskiGcstrkg 28771  Itvcitv 28777  LineGclng 28778  cgrGccgrg 28855  pInvGcmir 29006

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-concat 14639  df-s1 14666  df-s2 14922  df-s3 14923  df-trkgc 28792  df-trkgb 28793  df-trkgcb 28794  df-trkg 28797  df-cgrg 28856  df-mir 29007

This theorem is used by:  mirbtwnb  29026  mirmir2  29028  mirhl  29033  mirauto  29038  krippenlem  29044  mirlni  29049  colperpexlem1  29088  opphllem2  29106