Theorem miduniq2 28710

Description: If two point inversions commute, they are identical. Theorem 7.19 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
miduniq2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
miduniq2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
miduniq2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miduniq2.e	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋)) = ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋)))

Assertion

Ref	Expression
miduniq2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem miduniq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		miduniq2.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mirf 28683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵):𝑃⟶𝑃)
10		miduniq2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11	9, 10	ffvelcdmd 7105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐴) ∈ 𝑃)
12		miduniq2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝐵)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐵)‘𝐴)
14		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋)) = ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋))
15		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋))) = ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋)))
16	9, 12	ffvelcdmd 7105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝑋) ∈ 𝑃)
17		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 17, 12	mircl 28684	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) ∈ 𝑃)
19	9, 18	ffvelcdmd 7105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋)) ∈ 𝑃)
20		miduniq2.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋)) = ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋)))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 14, 15, 7, 10, 16, 19, 20	mirauto 28707	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝑆‘𝐵)‘𝐴))‘((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋))) = ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋))))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12	mirmir 28685	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋)) = 𝑋)
23	22	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝑆‘𝐵)‘𝐴))‘((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋))) = ((𝑆‘((𝑆‘𝐵)‘𝐴))‘𝑋))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18	mirmir 28685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋))) = ((𝑆‘𝐴)‘𝑋))
25	21, 23, 24	3eqtr3d 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝑆‘𝐵)‘𝐴))‘𝑋) = ((𝑆‘𝐴)‘𝑋))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 10, 12, 25	miduniq1 28709	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐴) = 𝐴)
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	mirinv 28689	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐵)‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐴))
28	26, 27	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
29	28	eqcomd 2741	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28450  Itvcitv 28456  LineGclng 28457  pInvGcmir 28675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28471  df-trkgb 28472  df-trkgcb 28473  df-trkg 28476  df-cgrg 28534  df-mir 28676

This theorem is referenced by: (None)