Theorem miduniq2 29001

Description: If two point inversions commute, they are identical. Theorem 7.19 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
miduniq2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
miduniq2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
miduniq2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miduniq2.e	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋)) = ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋)))

Assertion

Ref	Expression
miduniq2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem miduniq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		miduniq2.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mirf 28974	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵):𝑃⟶𝑃)
10		miduniq2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11	9, 10	ffvelcdmd 7087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐴) ∈ 𝑃)
12		miduniq2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝐵)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐵)‘𝐴)
14		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋)) = ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋))
15		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋))) = ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋)))
16	9, 12	ffvelcdmd 7087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝑋) ∈ 𝑃)
17		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 17, 12	mircl 28975	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) ∈ 𝑃)
19	9, 18	ffvelcdmd 7087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋)) ∈ 𝑃)
20		miduniq2.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋)) = ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋)))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 14, 15, 7, 10, 16, 19, 20	mirauto 28998	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝑆‘𝐵)‘𝐴))‘((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋))) = ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋))))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12	mirmir 28976	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋)) = 𝑋)
23	22	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝑆‘𝐵)‘𝐴))‘((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋))) = ((𝑆‘((𝑆‘𝐵)‘𝐴))‘𝑋))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18	mirmir 28976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋))) = ((𝑆‘𝐴)‘𝑋))
25	21, 23, 24	3eqtr3d 2809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝑆‘𝐵)‘𝐴))‘𝑋) = ((𝑆‘𝐴)‘𝑋))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 10, 12, 25	miduniq1 29000	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐴) = 𝐴)
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	mirinv 28980	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐵)‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐴))
28	26, 27	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
29	28	eqcomd 2772	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  distcds 17344  TarskiGcstrkg 28733  Itvcitv 28739  LineGclng 28740  pInvGcmir 28966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911  df-s3 14912  df-trkgc 28754  df-trkgb 28755  df-trkgcb 28756  df-trkg 28759  df-cgrg 28817  df-mir 28967

This theorem is used by: (None)