Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  miduniq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem miduniq2 26456
 Description: If two point inversions commute, they are identical. Theorem 7.19 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
miduniq2.a (𝜑𝐴𝑃)
miduniq2.b (𝜑𝐵𝑃)
miduniq2.x (𝜑𝑋𝑃)
miduniq2.e (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘((𝑆𝐵)‘𝑋)) = ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐴)‘𝑋)))
Assertion
Ref Expression
miduniq2 (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem miduniq2
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . . 4 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 miduniq2.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
8 eqid 2820 . . . . . 6 (𝑆𝐵) = (𝑆𝐵)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mirf 26429 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐵):𝑃𝑃)
10 miduniq2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
119, 10ffvelrnd 6824 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝐴) ∈ 𝑃)
12 miduniq2.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
13 eqid 2820 . . . . . 6 ((𝑆𝐵)‘𝐴) = ((𝑆𝐵)‘𝐴)
14 eqid 2820 . . . . . 6 ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘𝑋)) = ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘𝑋))
15 eqid 2820 . . . . . 6 ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐴)‘𝑋))) = ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐴)‘𝑋)))
169, 12ffvelrnd 6824 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝑋) ∈ 𝑃)
17 eqid 2820 . . . . . . . 8 (𝑆𝐴) = (𝑆𝐴)
181, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 17, 12mircl 26430 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝑋) ∈ 𝑃)
199, 18ffvelrnd 6824 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐴)‘𝑋)) ∈ 𝑃)
20 miduniq2.e . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘((𝑆𝐵)‘𝑋)) = ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐴)‘𝑋)))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 14, 15, 7, 10, 16, 19, 20mirauto 26453 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆‘((𝑆𝐵)‘𝐴))‘((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘𝑋))) = ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐴)‘𝑋))))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12mirmir 26431 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘𝑋)) = 𝑋)
2322fveq2d 6646 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆‘((𝑆𝐵)‘𝐴))‘((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘𝑋))) = ((𝑆‘((𝑆𝐵)‘𝐴))‘𝑋))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18mirmir 26431 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐵)‘((𝑆𝐴)‘𝑋))) = ((𝑆𝐴)‘𝑋))
2521, 23, 243eqtr3d 2863 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆‘((𝑆𝐵)‘𝐴))‘𝑋) = ((𝑆𝐴)‘𝑋))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 10, 12, 25miduniq1 26455 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝐴) = 𝐴)
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10mirinv 26435 . . 3 (𝜑 → (((𝑆𝐵)‘𝐴) = 𝐴𝐵 = 𝐴))
2826, 27mpbid 234 . 2 (𝜑𝐵 = 𝐴)
2928eqcomd 2826 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6327  Basecbs 16458  distcds 16549  TarskiGcstrkg 26199  Itvcitv 26205  LineGclng 26206  pInvGcmir 26421 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-oadd 8080  df-er 8263  df-pm 8383  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-dju 9304  df-card 9342  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-n0 11873  df-xnn0 11943  df-z 11957  df-uz 12219  df-fz 12873  df-fzo 13014  df-hash 13672  df-word 13843  df-concat 13899  df-s1 13926  df-s2 14186  df-s3 14187  df-trkgc 26217  df-trkgb 26218  df-trkgcb 26219  df-trkg 26222  df-cgrg 26280  df-mir 26422 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator