Theorem miduniq2 29046

Description: If two point inversions commute, they are identical. Theorem 7.19 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
miduniq2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
miduniq2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
miduniq2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miduniq2.e	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋)) = ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋)))

Assertion

Ref	Expression
miduniq2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem miduniq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		miduniq2.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mirf 29019	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵):𝑃⟶𝑃)
10		miduniq2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11	9, 10	ffvelcdmd 7082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐴) ∈ 𝑃)
12		miduniq2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
13		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝐵)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐵)‘𝐴)
14		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋)) = ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋))
15		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋))) = ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋)))
16	9, 12	ffvelcdmd 7082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝑋) ∈ 𝑃)
17		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 17, 12	mircl 29020	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) ∈ 𝑃)
19	9, 18	ffvelcdmd 7082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋)) ∈ 𝑃)
20		miduniq2.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋)) = ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋)))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 14, 15, 7, 10, 16, 19, 20	mirauto 29043	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝑆‘𝐵)‘𝐴))‘((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋))) = ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋))))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12	mirmir 29021	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋)) = 𝑋)
23	22	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝑆‘𝐵)‘𝐴))‘((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝑋))) = ((𝑆‘((𝑆‘𝐵)‘𝐴))‘𝑋))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18	mirmir 29021	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐴)‘𝑋))) = ((𝑆‘𝐴)‘𝑋))
25	21, 23, 24	3eqtr3d 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝑆‘𝐵)‘𝐴))‘𝑋) = ((𝑆‘𝐴)‘𝑋))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 10, 12, 25	miduniq1 29045	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐴) = 𝐴)
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	mirinv 29025	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐵)‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐴))
28	26, 27	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
29	28	eqcomd 2768	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  Basecbs 17307  distcds 17357  TarskiGcstrkg 28776  Itvcitv 28782  LineGclng 28783  pInvGcmir 29011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-concat 14640  df-s1 14667  df-s2 14923  df-s3 14924  df-trkgc 28797  df-trkgb 28798  df-trkgcb 28799  df-trkg 28802  df-cgrg 28861  df-mir 29012

This theorem is used by: (None)