Theorem mirauto 28190

Description: Point inversion preserves point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirauto.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑇)
mirauto.x	⊢ 𝑋 = (𝑀‘𝐴)
mirauto.y	⊢ 𝑌 = (𝑀‘𝐵)
mirauto.z	⊢ 𝑍 = (𝑀‘𝐶)
mirauto.0	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
mirauto.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirauto.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
mirauto.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
mirauto.4	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝐵) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mirauto	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 𝑍)

Proof of Theorem mirauto

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirauto.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑀‘𝐴)
8		mirauto.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
9		mirauto.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑇)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9	mirf 28166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃⟶𝑃)
11		mirauto.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12	10, 11	ffvelcdmd 7087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑃)
13	7, 12	eqeltrid 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
14		eqid 2732	. . 3 ⊢ (𝑆‘𝑋) = (𝑆‘𝑋)
15		mirauto.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑀‘𝐵)
16		mirauto.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
17	10, 16	ffvelcdmd 7087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
18	15, 17	eqeltrid 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
19		mirauto.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑀‘𝐶)
20		mirauto.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
21	10, 20	ffvelcdmd 7087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐶) ∈ 𝑃)
22	19, 21	eqeltrid 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
23		mirauto.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝐵) = 𝐶)
24	23, 20	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑃)
25		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 25, 16	mircgr 28163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 24, 11, 16, 26	mircgrs 28179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘((𝑆‘𝐴)‘𝐵))) = ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐵)))
28	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑀‘𝐴))
29	23	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑆‘𝐴)‘𝐵)) = (𝑀‘𝐶))
30	19, 29	eqtr4id 2791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑀‘((𝑆‘𝐴)‘𝐵)))
31	28, 30	oveq12d 7429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) = ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘((𝑆‘𝐴)‘𝐵))))
32	7, 15	oveq12i 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑋 − 𝑌) = ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐵))
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = ((𝑀‘𝐴) − (𝑀‘𝐵)))
34	27, 31, 33	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝑌))
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 25, 16	mirbtwn 28164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((𝑆‘𝐴)‘𝐵)𝐼𝐵))
36	23	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐴)‘𝐵)𝐼𝐵) = (𝐶𝐼𝐵))
37	35, 36	eleqtrd 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
38	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 20, 11, 16, 37	mirbtwni 28177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ((𝑀‘𝐶)𝐼(𝑀‘𝐵)))
39	19, 15	oveq12i 7423	. . . 4 ⊢ (𝑍𝐼𝑌) = ((𝑀‘𝐶)𝐼(𝑀‘𝐵))
40	38, 7, 39	3eltr4g 2850	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌))
41	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 14, 18, 22, 34, 40	ismir 28165	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = ((𝑆‘𝑋)‘𝑌))
42	41	eqcomd 2738	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  distcds 17210  TarskiGcstrkg 27933  Itvcitv 27939  LineGclng 27940  pInvGcmir 28158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-trkgc 27954  df-trkgb 27955  df-trkgcb 27956  df-trkg 27959  df-cgrg 28017  df-mir 28159

This theorem is referenced by:  miduniq2  28193  krippenlem  28196