MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirauto Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirauto 27624
Description: Point inversion preserves point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirauto.m 𝑀 = (𝑆𝑇)
mirauto.x 𝑋 = (𝑀𝐴)
mirauto.y 𝑌 = (𝑀𝐵)
mirauto.z 𝑍 = (𝑀𝐶)
mirauto.0 (𝜑𝑇𝑃)
mirauto.1 (𝜑𝐴𝑃)
mirauto.2 (𝜑𝐵𝑃)
mirauto.3 (𝜑𝐶𝑃)
mirauto.4 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐵) = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
mirauto (𝜑 → ((𝑆𝑋)‘𝑌) = 𝑍)

Proof of Theorem mirauto
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirauto.x . . . 4 𝑋 = (𝑀𝐴)
8 mirauto.0 . . . . . 6 (𝜑𝑇𝑃)
9 mirauto.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑆𝑇)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9mirf 27600 . . . . 5 (𝜑𝑀:𝑃𝑃)
11 mirauto.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1210, 11ffvelcdmd 7035 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ 𝑃)
137, 12eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑𝑋𝑃)
14 eqid 2736 . . 3 (𝑆𝑋) = (𝑆𝑋)
15 mirauto.y . . . 4 𝑌 = (𝑀𝐵)
16 mirauto.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1710, 16ffvelcdmd 7035 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ 𝑃)
1815, 17eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑𝑌𝑃)
19 mirauto.z . . . 4 𝑍 = (𝑀𝐶)
20 mirauto.3 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
2110, 20ffvelcdmd 7035 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐶) ∈ 𝑃)
2219, 21eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑𝑍𝑃)
23 mirauto.4 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐵) = 𝐶)
2423, 20eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑃)
25 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑆𝐴) = (𝑆𝐴)
261, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 25, 16mircgr 27597 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝐵)) = (𝐴 𝐵))
271, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 24, 11, 16, 26mircgrs 27613 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝐴) (𝑀‘((𝑆𝐴)‘𝐵))) = ((𝑀𝐴) (𝑀𝐵)))
287a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (𝑀𝐴))
2923fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘((𝑆𝐴)‘𝐵)) = (𝑀𝐶))
3019, 29eqtr4id 2795 . . . . 5 (𝜑𝑍 = (𝑀‘((𝑆𝐴)‘𝐵)))
3128, 30oveq12d 7374 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑍) = ((𝑀𝐴) (𝑀‘((𝑆𝐴)‘𝐵))))
327, 15oveq12i 7368 . . . . 5 (𝑋 𝑌) = ((𝑀𝐴) (𝑀𝐵))
3332a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = ((𝑀𝐴) (𝑀𝐵)))
3427, 31, 333eqtr4d 2786 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑍) = (𝑋 𝑌))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 25, 16mirbtwn 27598 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (((𝑆𝐴)‘𝐵)𝐼𝐵))
3623oveq1d 7371 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑆𝐴)‘𝐵)𝐼𝐵) = (𝐶𝐼𝐵))
3735, 36eleqtrd 2840 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
381, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 20, 11, 16, 37mirbtwni 27611 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ((𝑀𝐶)𝐼(𝑀𝐵)))
3919, 15oveq12i 7368 . . . 4 (𝑍𝐼𝑌) = ((𝑀𝐶)𝐼(𝑀𝐵))
4038, 7, 393eltr4g 2855 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌))
411, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 14, 18, 22, 34, 40ismir 27599 . 2 (𝜑𝑍 = ((𝑆𝑋)‘𝑌))
4241eqcomd 2742 1 (𝜑 → ((𝑆𝑋)‘𝑌) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7356  Basecbs 17082  distcds 17141  TarskiGcstrkg 27367  Itvcitv 27373  LineGclng 27374  pInvGcmir 27592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8647  df-pm 8767  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-dju 9836  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-n0 12413  df-xnn0 12485  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-hash 14230  df-word 14402  df-concat 14458  df-s1 14483  df-s2 14736  df-s3 14737  df-trkgc 27388  df-trkgb 27389  df-trkgcb 27390  df-trkg 27393  df-cgrg 27451  df-mir 27593
This theorem is referenced by:  miduniq2  27627  krippenlem  27630
  Copyright terms: Public domain W3C validator