Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirauto Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirauto 26481
 Description: Point inversion preserves point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirauto.m 𝑀 = (𝑆𝑇)
mirauto.x 𝑋 = (𝑀𝐴)
mirauto.y 𝑌 = (𝑀𝐵)
mirauto.z 𝑍 = (𝑀𝐶)
mirauto.0 (𝜑𝑇𝑃)
mirauto.1 (𝜑𝐴𝑃)
mirauto.2 (𝜑𝐵𝑃)
mirauto.3 (𝜑𝐶𝑃)
mirauto.4 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐵) = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
mirauto (𝜑 → ((𝑆𝑋)‘𝑌) = 𝑍)

Proof of Theorem mirauto
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirauto.x . . . 4 𝑋 = (𝑀𝐴)
8 mirauto.0 . . . . . 6 (𝜑𝑇𝑃)
9 mirauto.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑆𝑇)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9mirf 26457 . . . . 5 (𝜑𝑀:𝑃𝑃)
11 mirauto.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1210, 11ffvelrnd 6833 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ 𝑃)
137, 12eqeltrid 2897 . . 3 (𝜑𝑋𝑃)
14 eqid 2801 . . 3 (𝑆𝑋) = (𝑆𝑋)
15 mirauto.y . . . 4 𝑌 = (𝑀𝐵)
16 mirauto.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1710, 16ffvelrnd 6833 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ 𝑃)
1815, 17eqeltrid 2897 . . 3 (𝜑𝑌𝑃)
19 mirauto.z . . . 4 𝑍 = (𝑀𝐶)
20 mirauto.3 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
2110, 20ffvelrnd 6833 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐶) ∈ 𝑃)
2219, 21eqeltrid 2897 . . 3 (𝜑𝑍𝑃)
23 mirauto.4 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐵) = 𝐶)
2423, 20eqeltrd 2893 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑃)
25 eqid 2801 . . . . . 6 (𝑆𝐴) = (𝑆𝐴)
261, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 25, 16mircgr 26454 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝐵)) = (𝐴 𝐵))
271, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 24, 11, 16, 26mircgrs 26470 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝐴) (𝑀‘((𝑆𝐴)‘𝐵))) = ((𝑀𝐴) (𝑀𝐵)))
287a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (𝑀𝐴))
2923fveq2d 6653 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘((𝑆𝐴)‘𝐵)) = (𝑀𝐶))
3019, 29eqtr4id 2855 . . . . 5 (𝜑𝑍 = (𝑀‘((𝑆𝐴)‘𝐵)))
3128, 30oveq12d 7157 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑍) = ((𝑀𝐴) (𝑀‘((𝑆𝐴)‘𝐵))))
327, 15oveq12i 7151 . . . . 5 (𝑋 𝑌) = ((𝑀𝐴) (𝑀𝐵))
3332a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = ((𝑀𝐴) (𝑀𝐵)))
3427, 31, 333eqtr4d 2846 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑍) = (𝑋 𝑌))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 25, 16mirbtwn 26455 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (((𝑆𝐴)‘𝐵)𝐼𝐵))
3623oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑆𝐴)‘𝐵)𝐼𝐵) = (𝐶𝐼𝐵))
3735, 36eleqtrd 2895 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
381, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 20, 11, 16, 37mirbtwni 26468 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ((𝑀𝐶)𝐼(𝑀𝐵)))
3919, 15oveq12i 7151 . . . 4 (𝑍𝐼𝑌) = ((𝑀𝐶)𝐼(𝑀𝐵))
4038, 7, 393eltr4g 2910 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌))
411, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 14, 18, 22, 34, 40ismir 26456 . 2 (𝜑𝑍 = ((𝑆𝑋)‘𝑌))
4241eqcomd 2807 1 (𝜑 → ((𝑆𝑋)‘𝑌) = 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  distcds 16569  TarskiGcstrkg 26227  Itvcitv 26233  LineGclng 26234  pInvGcmir 26449 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-concat 13918  df-s1 13945  df-s2 14205  df-s3 14206  df-trkgc 26245  df-trkgb 26246  df-trkgcb 26247  df-trkg 26250  df-cgrg 26308  df-mir 26450 This theorem is referenced by:  miduniq2  26484  krippenlem  26487
 Copyright terms: Public domain W3C validator