Theorem mpets 38824

Description: Member Partition-Equivalence Theorem in its shortest possible form: it shows that member partitions and comember equivalence relations are literally the same. Cf. pet 38833, the Partition-Equivalence Theorem, with general 𝑅. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mpets	⊢ MembParts = CoMembErs

Proof of Theorem mpets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpets2 38823	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ V → ((◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎))
2	1	elv 3483	. . 3 ⊢ ((◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎)
3	2	abbii 2807	. 2 ⊢ {𝑎 ∣ (◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎} = {𝑎 ∣ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎}
4		df-membparts 38749	. 2 ⊢ MembParts = {𝑎 ∣ (◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎}
5		df-comembers 38647	. 2 ⊢ CoMembErs = {𝑎 ∣ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎}
6	3, 4, 5	3eqtr4i 2773	1 ⊢ MembParts = CoMembErs

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537  {cab 2712  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   E cep 5588  ^◡ccnv 5688   ↾ cres 5691   ≀ ccoss 38162   Ers cers 38187   CoMembErs ccomembers 38189   Parts cparts 38200   MembParts cmembparts 38202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-eprel 5589  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ec 8746  df-qs 8750  df-coss 38393  df-coels 38394  df-rels 38467  df-ssr 38480  df-refs 38492  df-refrels 38493  df-refrel 38494  df-cnvrefs 38507  df-cnvrefrels 38508  df-cnvrefrel 38509  df-syms 38524  df-symrels 38525  df-symrel 38526  df-trs 38554  df-trrels 38555  df-trrel 38556  df-eqvrels 38566  df-eqvrel 38567  df-coeleqvrel 38569  df-dmqss 38620  df-dmqs 38621  df-ers 38645  df-erALTV 38646  df-comembers 38647  df-comember 38648  df-funALTV 38664  df-disjss 38685  df-disjs 38686  df-disjALTV 38687  df-eldisj 38689  df-parts 38747  df-part 38748  df-membparts 38749  df-membpart 38750

This theorem is referenced by: (None)