Theorem mpets 37707

Description: Member Partition-Equivalence Theorem in its shortest possible form: it shows that member partitions and comember equivalence relations are literally the same. Cf. pet 37716, the Partition-Equivalence Theorem, with general 𝑅. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mpets	⊢ MembParts = CoMembErs

Proof of Theorem mpets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpets2 37706	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ V → ((◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎))
2	1	elv 3480	. . 3 ⊢ ((◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎)
3	2	abbii 2802	. 2 ⊢ {𝑎 ∣ (◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎} = {𝑎 ∣ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎}
4		df-membparts 37632	. 2 ⊢ MembParts = {𝑎 ∣ (◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎}
5		df-comembers 37530	. 2 ⊢ CoMembErs = {𝑎 ∣ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎}
6	3, 4, 5	3eqtr4i 2770	1 ⊢ MembParts = CoMembErs

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1541  {cab 2709  Vcvv 3474   class class class wbr 5148   E cep 5579  ^◡ccnv 5675   ↾ cres 5678   ≀ ccoss 37038   Ers cers 37063   CoMembErs ccomembers 37065   Parts cparts 37076   MembParts cmembparts 37078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-eprel 5580  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ec 8704  df-qs 8708  df-coss 37276  df-coels 37277  df-rels 37350  df-ssr 37363  df-refs 37375  df-refrels 37376  df-refrel 37377  df-cnvrefs 37390  df-cnvrefrels 37391  df-cnvrefrel 37392  df-syms 37407  df-symrels 37408  df-symrel 37409  df-trs 37437  df-trrels 37438  df-trrel 37439  df-eqvrels 37449  df-eqvrel 37450  df-coeleqvrel 37452  df-dmqss 37503  df-dmqs 37504  df-ers 37528  df-erALTV 37529  df-comembers 37530  df-comember 37531  df-funALTV 37547  df-disjss 37568  df-disjs 37569  df-disjALTV 37570  df-eldisj 37572  df-parts 37630  df-part 37631  df-membparts 37632  df-membpart 37633

This theorem is referenced by: (None)