Theorem mpets 39201

Description: Member Partition-Equivalence Theorem in its shortest possible form: it shows that member partitions and comember equivalence relations are literally the same. Cf. pet 39210, the Partition-Equivalence Theorem, with general 𝑅. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mpets	⊢ MembParts = CoMembErs

Proof of Theorem mpets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpets2 39200	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ V → ((◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎))
2	1	elv 3447	. . 3 ⊢ ((◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎)
3	2	abbii 2804	. 2 ⊢ {𝑎 ∣ (◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎} = {𝑎 ∣ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎}
4		df-membparts 39115	. 2 ⊢ MembParts = {𝑎 ∣ (◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎}
5		df-comembers 38995	. 2 ⊢ CoMembErs = {𝑎 ∣ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎}
6	3, 4, 5	3eqtr4i 2770	1 ⊢ MembParts = CoMembErs

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542  {cab 2715  Vcvv 3442   class class class wbr 5100   E cep 5531  ^◡ccnv 5631   ↾ cres 5634   ≀ ccoss 38428   Ers cers 38453   CoMembErs ccomembers 38457   Parts cparts 38468   MembParts cmembparts 38470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-eprel 5532  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-rels 38685  df-coss 38746  df-coels 38747  df-ssr 38823  df-refs 38835  df-refrels 38836  df-refrel 38837  df-cnvrefs 38850  df-cnvrefrels 38851  df-cnvrefrel 38852  df-syms 38867  df-symrels 38868  df-symrel 38869  df-trs 38901  df-trrels 38902  df-trrel 38903  df-eqvrels 38913  df-eqvrel 38914  df-coeleqvrel 38916  df-dmqss 38967  df-dmqs 38968  df-ers 38993  df-erALTV 38994  df-comembers 38995  df-comember 38996  df-funALTV 39012  df-disjss 39033  df-disjs 39034  df-disjALTV 39035  df-eldisj 39037  df-parts 39113  df-part 39114  df-membparts 39115  df-membpart 39116

This theorem is referenced by:  petseq  39221