Theorem mpets 39663

Description: Member Partition-Equivalence Theorem in its shortest possible form: it shows that member partitions and comember equivalence relations are literally the same. Cf. pet 39672, the Partition-Equivalence Theorem, with general 𝑅. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mpets	⊢ MembParts = CoMembErs

Proof of Theorem mpets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpets2 39662	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ V → ((◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎))
2	1	elv 3462	. . 3 ⊢ ((◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎)
3	2	abbii 2832	. 2 ⊢ {𝑎 ∣ (◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎} = {𝑎 ∣ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎}
4		df-membparts 39577	. 2 ⊢ MembParts = {𝑎 ∣ (◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎}
5		df-comembers 39457	. 2 ⊢ CoMembErs = {𝑎 ∣ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎}
6	3, 4, 5	3eqtr4i 2798	1 ⊢ MembParts = CoMembErs

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  {cab 2743  Vcvv 3457   class class class wbr 5111   E cep 5562  ^◡ccnv 5662   ↾ cres 5665   ≀ ccoss 38890   Ers cers 38915   CoMembErs ccomembers 38919   Parts cparts 38930   MembParts cmembparts 38932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-eprel 5563  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ec 8702  df-qs 8706  df-rels 39147  df-coss 39208  df-coels 39209  df-ssr 39285  df-refs 39297  df-refrels 39298  df-refrel 39299  df-cnvrefs 39312  df-cnvrefrels 39313  df-cnvrefrel 39314  df-syms 39329  df-symrels 39330  df-symrel 39331  df-trs 39363  df-trrels 39364  df-trrel 39365  df-eqvrels 39375  df-eqvrel 39376  df-coeleqvrel 39378  df-dmqss 39429  df-dmqs 39430  df-ers 39455  df-erALTV 39456  df-comembers 39457  df-comember 39458  df-funALTV 39474  df-disjss 39495  df-disjs 39496  df-disjALTV 39497  df-eldisj 39499  df-parts 39575  df-part 39576  df-membparts 39577  df-membpart 39578

This theorem is used by:  petseq  39683