Theorem mpets 38844

Description: Member Partition-Equivalence Theorem in its shortest possible form: it shows that member partitions and comember equivalence relations are literally the same. Cf. pet 38853, the Partition-Equivalence Theorem, with general 𝑅. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mpets	⊢ MembParts = CoMembErs

Proof of Theorem mpets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpets2 38843	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ V → ((◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎))
2	1	elv 3484	. . 3 ⊢ ((◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎)
3	2	abbii 2808	. 2 ⊢ {𝑎 ∣ (◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎} = {𝑎 ∣ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎}
4		df-membparts 38769	. 2 ⊢ MembParts = {𝑎 ∣ (◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎}
5		df-comembers 38667	. 2 ⊢ CoMembErs = {𝑎 ∣ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎}
6	3, 4, 5	3eqtr4i 2774	1 ⊢ MembParts = CoMembErs

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1539  {cab 2713  Vcvv 3479   class class class wbr 5142   E cep 5582  ^◡ccnv 5683   ↾ cres 5686   ≀ ccoss 38183   Ers cers 38208   CoMembErs ccomembers 38210   Parts cparts 38221   MembParts cmembparts 38223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-eprel 5583  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ec 8748  df-qs 8752  df-coss 38413  df-coels 38414  df-rels 38487  df-ssr 38500  df-refs 38512  df-refrels 38513  df-refrel 38514  df-cnvrefs 38527  df-cnvrefrels 38528  df-cnvrefrel 38529  df-syms 38544  df-symrels 38545  df-symrel 38546  df-trs 38574  df-trrels 38575  df-trrel 38576  df-eqvrels 38586  df-eqvrel 38587  df-coeleqvrel 38589  df-dmqss 38640  df-dmqs 38641  df-ers 38665  df-erALTV 38666  df-comembers 38667  df-comember 38668  df-funALTV 38684  df-disjss 38705  df-disjs 38706  df-disjALTV 38707  df-eldisj 38709  df-parts 38767  df-part 38768  df-membparts 38769  df-membpart 38770

This theorem is referenced by: (None)