Theorem mpets 39277

Description: Member Partition-Equivalence Theorem in its shortest possible form: it shows that member partitions and comember equivalence relations are literally the same. Cf. pet 39286, the Partition-Equivalence Theorem, with general 𝑅. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mpets	⊢ MembParts = CoMembErs

Proof of Theorem mpets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpets2 39276	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ V → ((◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎))
2	1	elv 3434	. . 3 ⊢ ((◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎)
3	2	abbii 2803	. 2 ⊢ {𝑎 ∣ (◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎} = {𝑎 ∣ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎}
4		df-membparts 39191	. 2 ⊢ MembParts = {𝑎 ∣ (◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎}
5		df-comembers 39071	. 2 ⊢ CoMembErs = {𝑎 ∣ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎}
6	3, 4, 5	3eqtr4i 2769	1 ⊢ MembParts = CoMembErs

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542  {cab 2714  Vcvv 3429   class class class wbr 5085   E cep 5530  ^◡ccnv 5630   ↾ cres 5633   ≀ ccoss 38504   Ers cers 38529   CoMembErs ccomembers 38533   Parts cparts 38544   MembParts cmembparts 38546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-eprel 5531  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ec 8645  df-qs 8649  df-rels 38761  df-coss 38822  df-coels 38823  df-ssr 38899  df-refs 38911  df-refrels 38912  df-refrel 38913  df-cnvrefs 38926  df-cnvrefrels 38927  df-cnvrefrel 38928  df-syms 38943  df-symrels 38944  df-symrel 38945  df-trs 38977  df-trrels 38978  df-trrel 38979  df-eqvrels 38989  df-eqvrel 38990  df-coeleqvrel 38992  df-dmqss 39043  df-dmqs 39044  df-ers 39069  df-erALTV 39070  df-comembers 39071  df-comember 39072  df-funALTV 39088  df-disjss 39109  df-disjs 39110  df-disjALTV 39111  df-eldisj 39113  df-parts 39189  df-part 39190  df-membparts 39191  df-membpart 39192

This theorem is referenced by:  petseq  39297