Theorem mpets 39291

Description: Member Partition-Equivalence Theorem in its shortest possible form: it shows that member partitions and comember equivalence relations are literally the same. Cf. pet 39300, the Partition-Equivalence Theorem, with general 𝑅. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mpets	⊢ MembParts = CoMembErs

Proof of Theorem mpets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpets2 39290	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ V → ((◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎))
2	1	elv 3435	. . 3 ⊢ ((◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎)
3	2	abbii 2804	. 2 ⊢ {𝑎 ∣ (◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎} = {𝑎 ∣ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎}
4		df-membparts 39205	. 2 ⊢ MembParts = {𝑎 ∣ (◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎}
5		df-comembers 39085	. 2 ⊢ CoMembErs = {𝑎 ∣ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎}
6	3, 4, 5	3eqtr4i 2770	1 ⊢ MembParts = CoMembErs

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542  {cab 2715  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   E cep 5523  ^◡ccnv 5623   ↾ cres 5626   ≀ ccoss 38518   Ers cers 38543   CoMembErs ccomembers 38547   Parts cparts 38558   MembParts cmembparts 38560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5519  df-eprel 5524  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ec 8638  df-qs 8642  df-rels 38775  df-coss 38836  df-coels 38837  df-ssr 38913  df-refs 38925  df-refrels 38926  df-refrel 38927  df-cnvrefs 38940  df-cnvrefrels 38941  df-cnvrefrel 38942  df-syms 38957  df-symrels 38958  df-symrel 38959  df-trs 38991  df-trrels 38992  df-trrel 38993  df-eqvrels 39003  df-eqvrel 39004  df-coeleqvrel 39006  df-dmqss 39057  df-dmqs 39058  df-ers 39083  df-erALTV 39084  df-comembers 39085  df-comember 39086  df-funALTV 39102  df-disjss 39123  df-disjs 39124  df-disjALTV 39125  df-eldisj 39127  df-parts 39203  df-part 39204  df-membparts 39205  df-membpart 39206

This theorem is referenced by:  petseq  39311