Theorem mpets 39705

Description: Member Partition-Equivalence Theorem in its shortest possible form: it shows that member partitions and comember equivalence relations are literally the same. Cf. pet 39714, the Partition-Equivalence Theorem, with general 𝑅. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mpets	⊢ MembParts = CoMembErs

Proof of Theorem mpets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpets2 39704	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ V → ((◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎))
2	1	elv 3455	. . 3 ⊢ ((◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎)
3	2	abbii 2827	. 2 ⊢ {𝑎 ∣ (◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎} = {𝑎 ∣ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎}
4		df-membparts 39619	. 2 ⊢ MembParts = {𝑎 ∣ (◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎}
5		df-comembers 39499	. 2 ⊢ CoMembErs = {𝑎 ∣ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎}
6	3, 4, 5	3eqtr4i 2793	1 ⊢ MembParts = CoMembErs

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  {cab 2738  Vcvv 3450   class class class wbr 5103   E cep 5554  ^◡ccnv 5654   ↾ cres 5657   ≀ ccoss 38932   Ers cers 38957   CoMembErs ccomembers 38961   Parts cparts 38972   MembParts cmembparts 38974

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-eprel 5555  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ec 8699  df-qs 8703  df-rels 39189  df-coss 39250  df-coels 39251  df-ssr 39327  df-refs 39339  df-refrels 39340  df-refrel 39341  df-cnvrefs 39354  df-cnvrefrels 39355  df-cnvrefrel 39356  df-syms 39371  df-symrels 39372  df-symrel 39373  df-trs 39405  df-trrels 39406  df-trrel 39407  df-eqvrels 39417  df-eqvrel 39418  df-coeleqvrel 39420  df-dmqss 39471  df-dmqs 39472  df-ers 39497  df-erALTV 39498  df-comembers 39499  df-comember 39500  df-funALTV 39516  df-disjss 39537  df-disjs 39538  df-disjALTV 39539  df-eldisj 39541  df-parts 39617  df-part 39618  df-membparts 39619  df-membpart 39620

This theorem is used by:  petseq  39725