Theorem mpets 38879

Description: Member Partition-Equivalence Theorem in its shortest possible form: it shows that member partitions and comember equivalence relations are literally the same. Cf. pet 38888, the Partition-Equivalence Theorem, with general 𝑅. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mpets	⊢ MembParts = CoMembErs

Proof of Theorem mpets

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpets2 38878	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ V → ((◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎))
2	1	elv 3441	. . 3 ⊢ ((◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎 ↔ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎)
3	2	abbii 2798	. 2 ⊢ {𝑎 ∣ (◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎} = {𝑎 ∣ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎}
4		df-membparts 38804	. 2 ⊢ MembParts = {𝑎 ∣ (◡ E ↾ 𝑎) Parts 𝑎}
5		df-comembers 38702	. 2 ⊢ CoMembErs = {𝑎 ∣ ≀ (◡ E ↾ 𝑎) Ers 𝑎}
6	3, 4, 5	3eqtr4i 2764	1 ⊢ MembParts = CoMembErs

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541  {cab 2709  Vcvv 3436   class class class wbr 5091   E cep 5515  ^◡ccnv 5615   ↾ cres 5618   ≀ ccoss 38214   Ers cers 38239   CoMembErs ccomembers 38241   Parts cparts 38252   MembParts cmembparts 38254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-eprel 5516  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-ec 8624  df-qs 8628  df-coss 38447  df-coels 38448  df-rels 38521  df-ssr 38534  df-refs 38546  df-refrels 38547  df-refrel 38548  df-cnvrefs 38561  df-cnvrefrels 38562  df-cnvrefrel 38563  df-syms 38578  df-symrels 38579  df-symrel 38580  df-trs 38608  df-trrels 38609  df-trrel 38610  df-eqvrels 38620  df-eqvrel 38621  df-coeleqvrel 38623  df-dmqss 38674  df-dmqs 38675  df-ers 38700  df-erALTV 38701  df-comembers 38702  df-comember 38703  df-funALTV 38719  df-disjss 38740  df-disjs 38741  df-disjALTV 38742  df-eldisj 38744  df-parts 38802  df-part 38803  df-membparts 38804  df-membpart 38805

This theorem is referenced by: (None)