Theorem axpasch 28179

Description: The inner Pasch axiom. Take a triangle 𝐴𝐶𝐸, a point 𝐷 on 𝐴𝐶, and a point 𝐵 extending 𝐶𝐸. Then 𝐴𝐸 and 𝐷𝐵 intersect at some point 𝑥. Axiom A7 of [Schwabhauser] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axpasch	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Proof of Theorem axpasch

Dummy variables 𝑖 𝑞 𝑟 𝑠 𝑡 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpaschlem 28178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)))
2	1	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)))
3		simp1 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → 𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)))
4	3	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (𝑞 · (𝐴‘𝑖)) = (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴‘𝑖)))
5	4	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴‘𝑖)) = (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))
6		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)))
7	6	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (𝑟 · (𝐵‘𝑖)) = (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵‘𝑖)))
8	5, 7	oveq12d 7422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → ((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = ((𝑞 · (𝐴‘𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵‘𝑖))))
9		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))
10	9	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) = (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶‘𝑖)))
11	8, 10	oveq12d 7422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶‘𝑖))) = (((𝑞 · (𝐴‘𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵‘𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶‘𝑖))))
12	11	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶‘𝑖))) = (((𝑞 · (𝐴‘𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵‘𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶‘𝑖))))
13	12	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶‘𝑖))) = (((𝑞 · (𝐴‘𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵‘𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶‘𝑖))))
14		1re 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		simpl2l 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑟 ∈ (0[,]1))
16		elicc01 13439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 1))
17	16	simp1bi 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ (0[,]1) → 𝑟 ∈ ℝ)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑟 ∈ ℝ)
19		resubcl 11520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (1 − 𝑟) ∈ ℝ)
20	14, 18, 19	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑟) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑟) ∈ ℂ)
22		simp13l 1289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
23	22	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
24		elicc01 13439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
25	24	simp1bi 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℝ)
27		resubcl 11520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
28	14, 26, 27	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
29		simp121 1306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
30		fveere 28139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
31	29, 30	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
32	28, 31	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
34		simp123 1308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
35		fveere 28139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
36	34, 35	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℝ)
37	26, 36	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝐶‘𝑖)) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝐶‘𝑖)) ∈ ℂ)
39	21, 33, 38	adddid 11234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) = (((1 − 𝑟) · ((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖))) + ((1 − 𝑟) · (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
40	28	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
41	31	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
42	21, 40, 41	mulassd 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴‘𝑖)) = ((1 − 𝑟) · ((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖))))
43	26	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℂ)
44		fveecn 28140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
45	34, 44	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
46	21, 43, 45	mulassd 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) = ((1 − 𝑟) · (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
47	42, 46	oveq12d 7422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴‘𝑖)) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · ((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖))) + ((1 − 𝑟) · (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
48	39, 47	eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) = ((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴‘𝑖)) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶‘𝑖))))
49	48	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴‘𝑖)) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶‘𝑖))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))))
50	20, 28	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∈ ℝ)
51	50, 31	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
52	51	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
53	20, 26	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · 𝑡) ∈ ℝ)
54	53, 36	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶‘𝑖)) ∈ ℂ)
56		simp122 1307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
57		fveere 28139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
58	56, 57	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
59	18, 58	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑟 · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
60	59	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑟 · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
61	52, 55, 60	add32d 11437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴‘𝑖)) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶‘𝑖))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶‘𝑖))))
62	49, 61	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶‘𝑖))))
63		simpl2r 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑞 ∈ (0[,]1))
64		elicc01 13439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 1))
65	64	simp1bi 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 ∈ (0[,]1) → 𝑞 ∈ ℝ)
66	63, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑞 ∈ ℝ)
67		resubcl 11520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ) → (1 − 𝑞) ∈ ℝ)
68	14, 66, 67	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑞) ∈ ℝ)
69		simp13r 1290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
70	69	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
71		elicc01 13439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 ≤ 1))
72	71	simp1bi 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,]1) → 𝑠 ∈ ℝ)
73	70, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℝ)
74		resubcl 11520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (1 − 𝑠) ∈ ℝ)
75	14, 73, 74	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑠) ∈ ℝ)
76	75, 58	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
77	68, 76	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖))) ∈ ℝ)
78	77	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖))) ∈ ℂ)
79	73, 36	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 · (𝐶‘𝑖)) ∈ ℝ)
80	68, 79	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶‘𝑖))) ∈ ℝ)
81	80	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶‘𝑖))) ∈ ℂ)
82	66, 31	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑞 · (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
83	82	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑞 · (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
84	78, 81, 83	add32d 11437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))) = ((((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))))
85	68	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑞) ∈ ℂ)
86	76	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
87	79	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 · (𝐶‘𝑖)) ∈ ℂ)
88	85, 86, 87	adddid 11234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) = (((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))))
89	88	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))) = ((((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))
90	75	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
91	58	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
92	85, 90, 91	mulassd 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵‘𝑖)) = ((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖))))
93	92	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑞 · (𝐴‘𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵‘𝑖))) = ((𝑞 · (𝐴‘𝑖)) + ((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)))))
94	83, 78, 93	comraddd 11424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑞 · (𝐴‘𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))
95	73	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
96	85, 95, 45	mulassd 11233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶‘𝑖)) = ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶‘𝑖))))
97	94, 96	oveq12d 7422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑞 · (𝐴‘𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵‘𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶‘𝑖))) = ((((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))))
98	84, 89, 97	3eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))) = (((𝑞 · (𝐴‘𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵‘𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶‘𝑖))))
99	13, 62, 98	3eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))
100	99	ralrimiva 3147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))
101	100	3expia 1122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
102	101	reximdvva 3206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
103	2, 102	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))
104		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑟 ∈ (0[,]1))
105	104, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑟 ∈ ℝ)
106	14, 105, 19	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑟) ∈ ℝ)
107		simpl3l 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
108	107	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
109	108, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℝ)
110	14, 109, 27	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
111		simpl21 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
112		fveere 28139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
113	111, 112	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
114	110, 113	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) ∈ ℝ)
115		simpl23 1254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
116		fveere 28139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑘) ∈ ℝ)
117	115, 116	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑘) ∈ ℝ)
118	109, 117	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝐶‘𝑘)) ∈ ℝ)
119	114, 118	readdcld 11239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) ∈ ℝ)
120	106, 119	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) ∈ ℝ)
121		simpl22 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
122		fveere 28139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
123	121, 122	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
124	105, 123	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑟 · (𝐵‘𝑘)) ∈ ℝ)
125	120, 124	readdcld 11239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
126	125	ralrimiva 3147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
127	126	anassrs 469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
128		simpll1 1213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
129		mptelee 28133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ))
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ))
131	127, 130	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁))
132		fveq1 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘)))) → (𝑥‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘))))‘𝑖))
133		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑖))
134	133	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) = ((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)))
135		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘𝑖))
136	135	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑡 · (𝐶‘𝑘)) = (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))
137	134, 136	oveq12d 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘))) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))))
138	137	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) = ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
139		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑖))
140	139	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑟 · (𝐵‘𝑘)) = (𝑟 · (𝐵‘𝑖)))
141	138, 140	oveq12d 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))))
142		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘))))
143		ovex 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∈ V
144	141, 142, 143	fvmpt 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘))))‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))))
145	132, 144	sylan9eq 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))))
146	145	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ↔ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖)))))
147	145	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))) ↔ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
148	146, 147	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) ↔ ((((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))))
149		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖)))
150	149	biantrur 532	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))) ↔ ((((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
151	148, 150	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) ↔ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
152	151	ralbidva 3176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
153	152	rspcev 3612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
154	153	ex 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑘)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))))
155	131, 154	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))))
156	155	reximdva 3169	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) → (∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))) → ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))))
157	156	reximdva 3169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))))
158	103, 157	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
159		rexcom 3288	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
160	159	rexbii 3095	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
161		rexcom 3288	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
162	160, 161	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
163	158, 162	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
164		oveq2 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) → ((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) = ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
165	164	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) → (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))))
166	165	eqeq2d 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) → ((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ↔ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖)))))
167		oveq2 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖))) → ((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) = ((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))))
168	167	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖))) → (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))
169	168	eqeq2d 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖))) → ((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))) ↔ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
170	166, 169	bi2anan9 638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) → (((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) ↔ ((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))))
171	170	ralimi 3084	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) ↔ ((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))))
172		ralbi 3104	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) ↔ ((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))))
173	171, 172	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))))
174	173	rexbidv 3179	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) → (∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))))
175	174	2rexbidv 3220	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))))
176	163, 175	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))))
177	176	3expia 1122	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))))
178	177	rexlimdvv 3211	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))))
179	178	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))))
180		simp3l 1202	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
181		simp21 1207	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
182		simp23 1209	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
183		brbtwn 28137	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
184	180, 181, 182, 183	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖)))))
185		simp3r 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
186		simp22 1208	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
187		brbtwn 28137	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))))
188	185, 186, 182, 187	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))))
189	184, 188	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖))))))
190		r19.26 3112	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))))
191	190	2rexbii 3130	. . . 4 ⊢ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))))
192		reeanv 3227	. . . 4 ⊢ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))))
193	191, 192	bitri 275	. . 3 ⊢ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖)))))
194	189, 193	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝐶‘𝑖))) ∧ (𝐸‘𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑠 · (𝐶‘𝑖))))))
195		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
196		simpl3l 1229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
197		simpl22 1253	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
198		brbtwn 28137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖)))))
199	195, 196, 197, 198	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖)))))
200		simpl3r 1230	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
201		simpl21 1252	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
202		brbtwn 28137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩ ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
203	195, 200, 201, 202	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩ ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
204	199, 203	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))))
205		r19.26 3112	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
206	205	2rexbii 3130	. . . . 5 ⊢ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
207		reeanv 3227	. . . . 5 ⊢ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
208	206, 207	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖)))))
209	204, 208	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))))
210	209	rexbidva 3177	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷‘𝑖)) + (𝑟 · (𝐵‘𝑖))) ∧ (𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸‘𝑖)) + (𝑞 · (𝐴‘𝑖))))))
211	179, 194, 210	3imtr4d 294	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  ⟨cop 4633   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  [,]cicc 13323  ...cfz 13480  𝔼cee 28126   Btwn cbtwn 28127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-z 12555  df-uz 12819  df-icc 13327  df-fz 13481  df-ee 28129  df-btwn 28130

This theorem is referenced by:  eengtrkg  28224  btwncomim  34923  btwnswapid  34927  btwnintr  34929  btwnexch3  34930  trisegint  34938  btwnconn1lem13  35009