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Theorem axpasch 28956
Description: The inner Pasch axiom. Take a triangle 𝐴𝐶𝐸, a point 𝐷 on 𝐴𝐶, and a point 𝐵 extending 𝐶𝐸. Then 𝐴𝐸 and 𝐷𝐵 intersect at some point 𝑥. Axiom A7 of [Schwabhauser] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axpasch ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Proof of Theorem axpasch
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑞 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axpaschlem 28955 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)))
213ad2ant3 1136 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)))
3 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → 𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)))
43oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (𝑞 · (𝐴𝑖)) = (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)))
54eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) = (𝑞 · (𝐴𝑖)))
6 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)))
76oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (𝑟 · (𝐵𝑖)) = (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖)))
85, 7oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → ((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = ((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))))
9 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))
109oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖)) = (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖)))
118, 10oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))) = (((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖))))
12113ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))) = (((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖))))
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))) = (((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖))))
14 1re 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ
15 simpl2l 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑟 ∈ (0[,]1))
16 elicc01 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1))
1716simp1bi 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 ∈ (0[,]1) → 𝑟 ∈ ℝ)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑟 ∈ ℝ)
19 resubcl 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (1 − 𝑟) ∈ ℝ)
2014, 18, 19sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑟) ∈ ℝ)
2120recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑟) ∈ ℂ)
22 simp13l 1289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
24 elicc01 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
2524simp1bi 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℝ)
27 resubcl 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
2814, 26, 27sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
29 simp121 1306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
30 fveere 28916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3129, 30sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3228, 31remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
3332recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
34 simp123 1308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
35 fveere 28916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
3634, 35sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
3726, 36remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
3837recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
3921, 33, 38adddid 11285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) = (((1 − 𝑟) · ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑟) · (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4028recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
4131recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
4221, 40, 41mulassd 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑟) · ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖))))
4326recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℂ)
44 fveecn 28917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
4534, 44sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
4621, 43, 45mulassd 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖)) = ((1 − 𝑟) · (𝑡 · (𝐶𝑖))))
4742, 46oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))) = (((1 − 𝑟) · ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑟) · (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4839, 47eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) = ((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))))
4948oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))))
5020, 28remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∈ ℝ)
5150, 31remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
5251recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
5320, 26remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · 𝑡) ∈ ℝ)
5453, 36remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
5554recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
56 simp122 1307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
57 fveere 28916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
5856, 57sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
5918, 58remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑟 · (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
6059recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑟 · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
6152, 55, 60add32d 11489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))))
6249, 61eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))))
63 simpl2r 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑞 ∈ (0[,]1))
64 elicc01 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞𝑞 ≤ 1))
6564simp1bi 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ (0[,]1) → 𝑞 ∈ ℝ)
6663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑞 ∈ ℝ)
67 resubcl 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ) → (1 − 𝑞) ∈ ℝ)
6814, 66, 67sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑞) ∈ ℝ)
69 simp13r 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
71 elicc01 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑠𝑠 ≤ 1))
7271simp1bi 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (0[,]1) → 𝑠 ∈ ℝ)
7370, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℝ)
74 resubcl 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (1 − 𝑠) ∈ ℝ)
7514, 73, 74sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑠) ∈ ℝ)
7675, 58remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
7768, 76remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) ∈ ℝ)
7877recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) ∈ ℂ)
7973, 36remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 · (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
8068, 79remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖))) ∈ ℝ)
8180recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖))) ∈ ℂ)
8266, 31remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑞 · (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
8382recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑞 · (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
8478, 81, 83add32d 11489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) = ((((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
8568recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑞) ∈ ℂ)
8676recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
8779recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 · (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
8885, 86, 87adddid 11285 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) = (((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
8988oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) = ((((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))
9075recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
9158recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
9285, 90, 91mulassd 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖)) = ((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))))
9392oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) = ((𝑞 · (𝐴𝑖)) + ((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)))))
9483, 78, 93comraddd 11475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))
9573recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
9685, 95, 45mulassd 11284 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖)) = ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖))))
9794, 96oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖))) = ((((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
9884, 89, 973eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) = (((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖))))
9913, 62, 983eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))
10099ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))
1011003expia 1122 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
102101reximdvva 3207 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
1032, 102mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))
104 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑟 ∈ (0[,]1))
105104, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑟 ∈ ℝ)
10614, 105, 19sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑟) ∈ ℝ)
107 simpl3l 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
108107adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
109108, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℝ)
11014, 109, 27sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
111 simpl21 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
112 fveere 28916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
113111, 112sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
114110, 113remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
115 simpl23 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
116 fveere 28916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
117115, 116sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
118109, 117remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝐶𝑘)) ∈ ℝ)
119114, 118readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∈ ℝ)
120106, 119remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) ∈ ℝ)
121 simpl22 1253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
122 fveere 28916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
123121, 122sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
124105, 123remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑟 · (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
125120, 124readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
126125ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
127126anassrs 467 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
128 simpll1 1213 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
129 mptelee 28910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))) ∈ ℝ))
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))) ∈ ℝ))
131127, 130mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁))
132 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) → (𝑥𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))))‘𝑖))
133 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑖))
134133oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑖 → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) = ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)))
135 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑖 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑖))
136135oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑖 → (𝑡 · (𝐶𝑘)) = (𝑡 · (𝐶𝑖)))
137134, 136oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))
138137oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) = ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
139 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
140139oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → (𝑟 · (𝐵𝑘)) = (𝑟 · (𝐵𝑖)))
141138, 140oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))))
142 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))))
143 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∈ V
144141, 142, 143fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))))‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))))
145132, 144sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))))
146145eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ↔ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖)))))
147145eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) ↔ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
148146, 147anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ((((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
149 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖)))
150149biantrur 530 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) ↔ ((((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
151148, 150bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
152151ralbidva 3176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
153152rspcev 3622 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
154153ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
155131, 154syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
156155reximdva 3168 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) → (∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) → ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
157156reximdva 3168 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
158103, 157mpd 15 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
159 rexcom 3290 . . . . . . . . 9 (∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
160159rexbii 3094 . . . . . . . 8 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
161 rexcom 3290 . . . . . . . 8 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
162160, 161bitri 275 . . . . . . 7 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
163158, 162sylib 218 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
164 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) = ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
165164oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))))
166165eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ↔ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖)))))
167 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖))) → ((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) = ((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
168167oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖))) → (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))
169168eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖))) → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) ↔ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
170166, 169bi2anan9 638 . . . . . . . . . 10 (((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → (((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
171170ralimi 3083 . . . . . . . . 9 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
172 ralbi 3103 . . . . . . . . 9 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
173171, 172syl 17 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
174173rexbidv 3179 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → (∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
1751742rexbidv 3222 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
176163, 175syl5ibrcom 247 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
1771763expia 1122 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))))
178177rexlimdvv 3212 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
1791783adant3 1133 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
180 simp3l 1202 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
181 simp21 1207 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
182 simp23 1209 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
183 brbtwn 28914 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
184180, 181, 182, 183syl3anc 1373 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
185 simp3r 1203 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
186 simp22 1208 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
187 brbtwn 28914 . . . . 5 ((𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
188185, 186, 182, 187syl3anc 1373 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
189184, 188anbi12d 632 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖))))))
190 r19.26 3111 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
1911902rexbii 3129 . . . 4 (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
192 reeanv 3229 . . . 4 (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
193191, 192bitri 275 . . 3 (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
194189, 193bitr4di 289 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖))))))
195 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
196 simpl3l 1229 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
197 simpl22 1253 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
198 brbtwn 28914 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖)))))
199195, 196, 197, 198syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖)))))
200 simpl3r 1230 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
201 simpl21 1252 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
202 brbtwn 28914 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩ ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
203195, 200, 201, 202syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩ ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
204199, 203anbi12d 632 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
205 r19.26 3111 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
2062052rexbii 3129 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
207 reeanv 3229 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
208206, 207bitri 275 . . . 4 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
209204, 208bitr4di 289 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
210209rexbidva 3177 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
211179, 194, 2103imtr4d 294 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  cop 4632   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  𝔼cee 28903   Btwn cbtwn 28904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-z 12614  df-uz 12879  df-icc 13394  df-fz 13548  df-ee 28906  df-btwn 28907
This theorem is referenced by:  eengtrkg  29001  btwncomim  36014  btwnswapid  36018  btwnintr  36020  btwnexch3  36021  trisegint  36029  btwnconn1lem13  36100
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