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Theorem axpasch 26029
Description: The inner Pasch axiom. Take a triangle 𝐴𝐶𝐸, a point 𝐷 on 𝐴𝐶, and a point 𝐵 extending 𝐶𝐸. Then 𝐴𝐸 and 𝐷𝐵 intersect at some point 𝑥. Axiom A7 of [Schwabhauser] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axpasch ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Proof of Theorem axpasch
Dummy variables 𝑖 𝑞 𝑟 𝑠 𝑡 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axpaschlem 26028 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)))
213ad2ant3 1158 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)))
3 simp1 1159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → 𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)))
43oveq1d 6883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (𝑞 · (𝐴𝑖)) = (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)))
54eqcomd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) = (𝑞 · (𝐴𝑖)))
6 simp2 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)))
76oveq1d 6883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (𝑟 · (𝐵𝑖)) = (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖)))
85, 7oveq12d 6886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → ((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = ((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))))
9 simp3 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))
109oveq1d 6883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖)) = (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖)))
118, 10oveq12d 6886 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))) = (((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖))))
12113ad2ant3 1158 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))) = (((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖))))
1312adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))) = (((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖))))
14 1re 10319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ
15 simpl2l 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑟 ∈ (0[,]1))
16 elicc01 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1))
1716simp1bi 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 ∈ (0[,]1) → 𝑟 ∈ ℝ)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑟 ∈ ℝ)
19 resubcl 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (1 − 𝑟) ∈ ℝ)
2014, 18, 19sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑟) ∈ ℝ)
2120recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑟) ∈ ℂ)
22 simp13l 1380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
2322adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
24 elicc01 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
2524simp1bi 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℝ)
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℝ)
27 resubcl 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
2814, 26, 27sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
29 simp121 1397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
30 fveere 25989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3129, 30sylan 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3228, 31remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
3332recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
34 simp123 1399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
35 fveere 25989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
3634, 35sylan 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
3726, 36remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
3837recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
3921, 33, 38adddid 10343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) = (((1 − 𝑟) · ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑟) · (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4028recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
4131recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
4221, 40, 41mulassd 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑟) · ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖))))
4326recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℂ)
44 fveecn 25990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
4534, 44sylan 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
4621, 43, 45mulassd 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖)) = ((1 − 𝑟) · (𝑡 · (𝐶𝑖))))
4742, 46oveq12d 6886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))) = (((1 − 𝑟) · ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑟) · (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4839, 47eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) = ((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))))
4948oveq1d 6883 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))))
5020, 28remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∈ ℝ)
5150, 31remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
5251recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
5320, 26remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · 𝑡) ∈ ℝ)
5453, 36remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
5554recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
56 simp122 1398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
57 fveere 25989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
5856, 57sylan 571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
5918, 58remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑟 · (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
6059recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑟 · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
6152, 55, 60add32d 10542 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))))
6249, 61eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑟) · 𝑡) · (𝐶𝑖))))
63 simpl2r 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑞 ∈ (0[,]1))
64 elicc01 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞𝑞 ≤ 1))
6564simp1bi 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ (0[,]1) → 𝑞 ∈ ℝ)
6663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑞 ∈ ℝ)
67 resubcl 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ) → (1 − 𝑞) ∈ ℝ)
6814, 66, 67sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑞) ∈ ℝ)
69 simp13r 1381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
7069adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
71 elicc01 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑠 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑠𝑠 ≤ 1))
7271simp1bi 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (0[,]1) → 𝑠 ∈ ℝ)
7370, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℝ)
74 resubcl 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (1 − 𝑠) ∈ ℝ)
7514, 73, 74sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑠) ∈ ℝ)
7675, 58remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
7768, 76remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) ∈ ℝ)
7877recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) ∈ ℂ)
7973, 36remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 · (𝐶𝑖)) ∈ ℝ)
8068, 79remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖))) ∈ ℝ)
8180recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖))) ∈ ℂ)
8266, 31remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑞 · (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
8382recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑞 · (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
8478, 81, 83add32d 10542 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) = ((((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
8568recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑞) ∈ ℂ)
8676recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
8779recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 · (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
8885, 86, 87adddid 10343 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) = (((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
8988oveq1d 6883 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) = ((((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))
9075recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
9158recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
9285, 90, 91mulassd 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖)) = ((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))))
9392oveq2d 6884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) = ((𝑞 · (𝐴𝑖)) + ((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)))))
9483, 78, 93comraddd 10529 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))
9573recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
9685, 95, 45mulassd 10342 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖)) = ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖))))
9794, 96oveq12d 6886 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖))) = ((((1 − 𝑞) · ((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑞) · (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
9884, 89, 973eqtr4d 2846 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) = (((𝑞 · (𝐴𝑖)) + (((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) · (𝐵𝑖))) + (((1 − 𝑞) · 𝑠) · (𝐶𝑖))))
9913, 62, 983eqtr4d 2846 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))
10099ralrimiva 3150 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))
1011003expia 1143 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → ((𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
102101reximdvva 3203 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(𝑞 = ((1 − 𝑟) · (1 − 𝑡)) ∧ 𝑟 = ((1 − 𝑞) · (1 − 𝑠)) ∧ ((1 − 𝑟) · 𝑡) = ((1 − 𝑞) · 𝑠)) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
1032, 102mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))
104 simplrl 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑟 ∈ (0[,]1))
105104, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑟 ∈ ℝ)
10614, 105, 19sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑟) ∈ ℝ)
107 simpl3l 1294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
108107adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
109108, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑡 ∈ ℝ)
11014, 109, 27sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
111 simpl21 1328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
112 fveere 25989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
113111, 112sylan 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
114110, 113remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
115 simpl23 1332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
116 fveere 25989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
117115, 116sylan 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
118109, 117remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝐶𝑘)) ∈ ℝ)
119114, 118readdcld 10348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) ∈ ℝ)
120106, 119remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) ∈ ℝ)
121 simpl22 1330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
122 fveere 25989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
123121, 122sylan 571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
124105, 123remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑟 · (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
125120, 124readdcld 10348 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
126125ralrimiva 3150 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑟 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
127126anassrs 455 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
128 simpll1 1262 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
129 mptelee 25983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))) ∈ ℝ))
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))) ∈ ℝ))
131127, 130mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁))
132 fveq1 6401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) → (𝑥𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))))‘𝑖))
133 fveq2 6402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑖))
134133oveq2d 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑖 → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) = ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)))
135 fveq2 6402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑖 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑖))
136135oveq2d 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑖 → (𝑡 · (𝐶𝑘)) = (𝑡 · (𝐶𝑖)))
137134, 136oveq12d 6886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘))) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))
138137oveq2d 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) = ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
139 fveq2 6402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
140139oveq2d 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → (𝑟 · (𝐵𝑘)) = (𝑟 · (𝐵𝑖)))
141138, 140oveq12d 6886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))))
142 eqid 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))))
143 ovex 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∈ V
144141, 142, 143fvmpt 6497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘))))‘𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))))
145132, 144sylan9eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))))
146145eqeq1d 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ↔ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖)))))
147145eqeq1d 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) ↔ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
148146, 147anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ((((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
149 eqid 2802 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖)))
150149biantrur 522 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) ↔ ((((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
151148, 150syl6bbr 280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
152151ralbidva 3169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
153152rspcev 3498 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
154153ex 399 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑘)) + (𝑡 · (𝐶𝑘)))) + (𝑟 · (𝐵𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
155131, 154syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
156155reximdva 3200 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]1)) → (∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) → ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
157156reximdva 3200 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
158103, 157mpd 15 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
159 rexcom 3283 . . . . . . . . 9 (∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
160159rexbii 3225 . . . . . . . 8 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
161 rexcom 3283 . . . . . . . 8 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
162160, 161bitri 266 . . . . . . 7 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
163158, 162sylib 209 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
164 oveq2 6876 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) = ((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
165164oveq1d 6883 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))))
166165eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ↔ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖)))))
167 oveq2 6876 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖))) → ((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) = ((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
168167oveq1d 6883 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖))) → (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))
169168eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖))) → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))) ↔ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
170166, 169bi2anan9 622 . . . . . . . . . 10 (((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → (((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
171170ralimi 3136 . . . . . . . . 9 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
172 ralbi 3252 . . . . . . . . 9 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
173171, 172syl 17 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
174173rexbidv 3236 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → (∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
1751742rexbidv 3241 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
176163, 175syl5ibrcom 238 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
1771763expia 1143 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))))
178177rexlimdvv 3221 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
1791783adant3 1155 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
180 simp3l 1251 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
181 simp21 1256 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
182 simp23 1258 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
183 brbtwn 25987 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
184180, 181, 182, 183syl3anc 1483 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
185 simp3r 1252 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
186 simp22 1257 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
187 brbtwn 25987 . . . . 5 ((𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
188185, 186, 182, 187syl3anc 1483 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
189184, 188anbi12d 618 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖))))))
190 r19.26 3248 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
1911902rexbii 3226 . . . 4 (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
192 reeanv 3291 . . . 4 (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
193191, 192bitri 266 . . 3 (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))) ↔ (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖)))))
194189, 193syl6bbr 280 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ∧ (𝐸𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐵𝑖)) + (𝑠 · (𝐶𝑖))))))
195 simpr 473 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
196 simpl3l 1294 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
197 simpl22 1330 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
198 brbtwn 25987 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖)))))
199195, 196, 197, 198syl3anc 1483 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖)))))
200 simpl3r 1296 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
201 simpl21 1328 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
202 brbtwn 25987 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩ ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
203195, 200, 201, 202syl3anc 1483 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩ ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
204199, 203anbi12d 618 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
205 r19.26 3248 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
2062052rexbii 3226 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
207 reeanv 3291 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
208206, 207bitri 266 . . . 4 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖)))))
209204, 208syl6bbr 280 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
210209rexbidva 3233 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐷𝑖)) + (𝑟 · (𝐵𝑖))) ∧ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐸𝑖)) + (𝑞 · (𝐴𝑖))))))
211179, 194, 2103imtr4d 285 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐸 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐷, 𝐵⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝐸, 𝐴⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2155  wral 3092  wrex 3093  cop 4370   class class class wbr 4837  cmpt 4916  cfv 6095  (class class class)co 6868  cc 10213  cr 10214  0cc0 10215  1c1 10216   + caddc 10218   · cmul 10220  cle 10354  cmin 10545  cn 11299  [,]cicc 12390  ...cfz 12543  𝔼cee 25976   Btwn cbtwn 25977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-er 7973  df-map 8088  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-div 10964  df-nn 11300  df-z 11638  df-uz 11899  df-icc 12394  df-fz 12544  df-ee 25979  df-btwn 25980
This theorem is referenced by:  eengtrkg  26073  btwncomim  32435  btwnswapid  32439  btwnintr  32441  btwnexch3  32442  trisegint  32450  btwnconn1lem13  32521
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