Theorem nadd4 8624

Description: Rearragement of terms in a quadruple sum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nadd4	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))

Proof of Theorem nadd4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nadd32 8623	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) = ((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵))
2	1	3expa 1124	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) = ((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵))
3	2	adantrr 723	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) = ((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵))
4	3	oveq1d 7371	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) +no 𝐷) = (((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵) +no 𝐷))
5		naddcl 8603	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)
6	5	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)
7		simprl 776	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐶 ∈ On)
8		simprr 778	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐷 ∈ On)
9		naddass 8622	. . 3 ⊢ (((𝐴 +no 𝐵) ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)))
11		naddcl 8603	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐶) ∈ On)
12	11	ad2ant2r 753	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +no 𝐶) ∈ On)
13		simplr 774	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵 ∈ On)
14		naddass 8622	. . 3 ⊢ (((𝐴 +no 𝐶) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))
15	12, 13, 8, 14	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))
16	4, 10, 15	3eqtr3d 2782	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Oncon0 6310  (class class class)co 7356   +no cnadd 8591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-ot 4564  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-nadd 8592

This theorem is referenced by:  nadd42  8625