Theorem nadd4 8708

Description: Rearragement of terms in a quadruple sum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nadd4	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))

Proof of Theorem nadd4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nadd32 8707	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) = ((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵))
2	1	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) = ((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵))
3	2	adantrr 730	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) = ((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵))
4	3	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) +no 𝐷) = (((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵) +no 𝐷))
5		naddcl 8686	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)
7		simprl 783	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐶 ∈ On)
8		simprr 785	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐷 ∈ On)
9		naddass 8706	. . 3 ⊢ (((𝐴 +no 𝐵) ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)))
11		naddcl 8686	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐶) ∈ On)
12	11	ad2ant2r 760	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +no 𝐶) ∈ On)
13		simplr 781	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵 ∈ On)
14		naddass 8706	. . 3 ⊢ (((𝐴 +no 𝐶) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))
15	12, 13, 8, 14	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))
16	4, 10, 15	3eqtr3d 2804	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Oncon0 6362  (class class class)co 7420   +no cnadd 8674

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-nadd 8675

This theorem is used by:  nadd42  8709