Theorem nadd4 8684

Description: Rearragement of terms in a quadruple sum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nadd4	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))

Proof of Theorem nadd4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nadd32 8683	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) = ((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵))
2	1	3expa 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) = ((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵))
3	2	adantrr 729	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) = ((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵))
4	3	oveq1d 7426	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) +no 𝐷) = (((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵) +no 𝐷))
5		naddcl 8662	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)
6	5	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)
7		simprl 782	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐶 ∈ On)
8		simprr 784	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐷 ∈ On)
9		naddass 8682	. . 3 ⊢ (((𝐴 +no 𝐵) ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)))
11		naddcl 8662	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐶) ∈ On)
12	11	ad2ant2r 759	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +no 𝐶) ∈ On)
13		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵 ∈ On)
14		naddass 8682	. . 3 ⊢ (((𝐴 +no 𝐶) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))
15	12, 13, 8, 14	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))
16	4, 10, 15	3eqtr3d 2812	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Oncon0 6361  (class class class)co 7411   +no cnadd 8650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-nadd 8651

This theorem is referenced by:  nadd42  8685