MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nadd4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nadd4 8718
Description: Rearragement of terms in a quadruple sum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
nadd4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))

Proof of Theorem nadd4
StepHypRef Expression
1 nadd32 8717 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) = ((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵))
213expa 1116 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) = ((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵))
32adantrr 716 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) = ((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵))
43oveq1d 7435 . 2 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) +no 𝐷) = (((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵) +no 𝐷))
5 naddcl 8697 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)
65adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)
7 simprl 770 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐶 ∈ On)
8 simprr 772 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐷 ∈ On)
9 naddass 8716 . . 3 (((𝐴 +no 𝐵) ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)))
106, 7, 8, 9syl3anc 1369 . 2 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)))
11 naddcl 8697 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐶) ∈ On)
1211ad2ant2r 746 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +no 𝐶) ∈ On)
13 simplr 768 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵 ∈ On)
14 naddass 8716 . . 3 (((𝐴 +no 𝐶) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))
1512, 13, 8, 14syl3anc 1369 . 2 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))
164, 10, 153eqtr3d 2776 1 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  Oncon0 6369  (class class class)co 7420   +no cnadd 8685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-nadd 8686
This theorem is referenced by:  nadd42  8719
  Copyright terms: Public domain W3C validator