Theorem nadd4 8694

Description: Rearragement of terms in a quadruple sum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nadd4	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))

Proof of Theorem nadd4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nadd32 8693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) = ((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵))
2	1	3expa 1115	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) = ((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵))
3	2	adantrr 714	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) = ((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵))
4	3	oveq1d 7417	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) +no 𝐷) = (((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵) +no 𝐷))
5		naddcl 8673	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)
7		simprl 768	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐶 ∈ On)
8		simprr 770	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐷 ∈ On)
9		naddass 8692	. . 3 ⊢ (((𝐴 +no 𝐵) ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (((𝐴 +no 𝐵) +no 𝐶) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)))
11		naddcl 8673	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐶) ∈ On)
12	11	ad2ant2r 744	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +no 𝐶) ∈ On)
13		simplr 766	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵 ∈ On)
14		naddass 8692	. . 3 ⊢ (((𝐴 +no 𝐶) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))
15	12, 13, 8, 14	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → (((𝐴 +no 𝐶) +no 𝐵) +no 𝐷) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))
16	4, 10, 15	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On)) → ((𝐴 +no 𝐵) +no (𝐶 +no 𝐷)) = ((𝐴 +no 𝐶) +no (𝐵 +no 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Oncon0 6355  (class class class)co 7402   +no cnadd 8661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-ot 4630  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-nadd 8662

This theorem is referenced by:  nadd42  8695