Theorem naddcl 8679

Description: Closure law for natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 26-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
naddcl	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)

Proof of Theorem naddcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naddcllem 8678	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) ∈ On ∧ (𝐴 +no 𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (( +no “ ({𝐴} × 𝐵)) ⊆ 𝑥 ∧ ( +no “ (𝐴 × {𝐵})) ⊆ 𝑥)}))
2	1	simpld 500	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ∩ cint 4907   × cxp 5649   “ cima 5654  Oncon0 6361  (class class class)co 7418   +no cnadd 8667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-nadd 8668

This theorem is used by:  naddcld  8682  naddf  8684  naddel1  8690  naddss1  8692  naddasslem1  8697  naddasslem2  8698  nadd4  8701  naddel12  8703  naddsuc2  8704  addsproplem2  28349  addsprop  28355  addbdaylem  28396  addbday  28397  mulsproplem5  28499  mulsproplem6  28500  mulsproplem7  28501  mulsproplem8  28502  mulsprop  28509  addonbday  28658  ltnadd  36947  naddle  36948  naddass1  44379  naddgeoa  44380  naddwordnexlem4  44387