Theorem nadddird 36807

Description: Natural multiplication distributes over natural addition. Deduction form. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
nadddid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
nadddid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
nadddid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
nadddird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +no 𝐵) ·no 𝐶) = ((𝐴 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝐶)))

Proof of Theorem nadddird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nadddid.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)
2		nadddid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
3		nadddid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
4	1, 2, 3	nadddid 36806	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·no (𝐴 +no 𝐵)) = ((𝐶 ·no 𝐴) +no (𝐶 ·no 𝐵)))
5	2, 3	naddcld 8669	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)
6	5, 1	nmulcomd 36787	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +no 𝐵) ·no 𝐶) = (𝐶 ·no (𝐴 +no 𝐵)))
7	2, 1	nmulcomd 36787	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·no 𝐶) = (𝐶 ·no 𝐴))
8	3, 1	nmulcomd 36787	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·no 𝐶) = (𝐶 ·no 𝐵))
9	7, 8	oveq12d 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝐶)) = ((𝐶 ·no 𝐴) +no (𝐶 ·no 𝐵)))
10	4, 6, 9	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +no 𝐵) ·no 𝐶) = ((𝐴 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Oncon0 6357  (class class class)co 7414   +no cnadd 8654   ·_no cnmul 36768

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-nadd 8655  df-nmul 36769

This theorem is used by: (None)