Theorem nadddird 36718

Description: Natural multiplication distributes over natural addition. Deduction form. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
nadddid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
nadddid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
nadddid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
nadddird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +no 𝐵) ·no 𝐶) = ((𝐴 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝐶)))

Proof of Theorem nadddird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nadddid.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)
2		nadddid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
3		nadddid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
4	1, 2, 3	nadddid 36717	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·no (𝐴 +no 𝐵)) = ((𝐶 ·no 𝐴) +no (𝐶 ·no 𝐵)))
5	2, 3	naddcld 8662	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)
6	5, 1	nmulcomd 36698	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +no 𝐵) ·no 𝐶) = (𝐶 ·no (𝐴 +no 𝐵)))
7	2, 1	nmulcomd 36698	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·no 𝐶) = (𝐶 ·no 𝐴))
8	3, 1	nmulcomd 36698	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·no 𝐶) = (𝐶 ·no 𝐵))
9	7, 8	oveq12d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝐶)) = ((𝐶 ·no 𝐴) +no (𝐶 ·no 𝐵)))
10	4, 6, 9	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +no 𝐵) ·no 𝐶) = ((𝐴 ·no 𝐶) +no (𝐵 ·no 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Oncon0 6360  (class class class)co 7410   +no cnadd 8647   ·_no cnmul 36679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-nadd 8648  df-nmul 36680

This theorem is referenced by: (None)