Theorem naddcld 8664

Description: Closure law for natural addition. Deduction version. (Contributed by Scott Fenton, 10-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
naddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
naddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
naddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)

Proof of Theorem naddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
2		naddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
3		naddcl 8661	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  Oncon0 6360  (class class class)co 7412   +no cnadd 8649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-nadd 8650

This theorem is used by:  naddssim  8670  nmulprop  36690  nmuladdss  36713  ltnmul  36716  nmulle  36717  ltnadd  36718  naddle  36719  nadddilem1  36720  nadddilem2  36721  nadddilem3  36722  nadddilem4  36723  nadddird  36726