Theorem naddcld 8665

Description: Closure law for natural addition. Deduction version. (Contributed by Scott Fenton, 10-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
naddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
naddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
naddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)

Proof of Theorem naddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
2		naddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
3		naddcl 8662	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  Oncon0 6360  (class class class)co 7410   +no cnadd 8650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-nadd 8651

This theorem is referenced by:  naddssim  8671  nmulprop  36636