Theorem isnghm 24688

Description: A normed group homomorphism is a group homomorphism with bounded norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
isnghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem isnghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmofval.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2	1	nghmfval 24687	. . 3 ⊢ (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ)
3	2	eleq2i 2828	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ))
4		n0i 4280	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) → ¬ (◡𝑁 “ ℝ) = ∅)
5		nmoffn 24676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ normOp Fn (NrmGrp × NrmGrp)
6	5	fndmi 6602	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom normOp = (NrmGrp × NrmGrp)
7	6	ndmov 7551	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 normOp 𝑇) = ∅)
8	1, 7	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
9	8	cnveqd 5830	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ◡𝑁 = ◡∅)
10		cnv0 6103	. . . . . . 7 ⊢ ◡∅ = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ◡𝑁 = ∅)
12	11	imaeq1d 6024	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (◡𝑁 “ ℝ) = (∅ “ ℝ))
13		0ima 6043	. . . . 5 ⊢ (∅ “ ℝ) = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (◡𝑁 “ ℝ) = ∅)
15	4, 14	nsyl2 141	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
16	1	nmof 24684	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*)
17		ffn 6668	. . . 4 ⊢ (𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ* → 𝑁 Fn (𝑆 GrpHom 𝑇))
18		elpreima 7010	. . . 4 ⊢ (𝑁 Fn (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
19	16, 17, 18	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
20	15, 19	biadanii 822	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
21	3, 20	bitri 275	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4273   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  ℝ^*cxr 11178   GrpHom cghm 19187  NrmGrpcngp 24542   normOp cnmo 24670   NGHom cnghm 24671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-ico 13304  df-nmo 24673  df-nghm 24674

This theorem is referenced by:  isnghm2  24689  nghmcl  24692  nmoi  24693  nghmrcl1  24697  nghmrcl2  24698  nghmghm  24699  isnmhm2  24717