Theorem isnghm 25048

Description: A normed group homomorphism is a group homomorphism with bounded norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
isnghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem isnghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmofval.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2	1	nghmfval 25047	. . 3 ⊢ (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ)
3	2	eleq2i 2852	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ))
4		n0i 4285	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) → ¬ (◡𝑁 “ ℝ) = ∅)
5		nmoffn 25036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ normOp Fn (NrmGrp × NrmGrp)
6	5	fndmi 6644	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom normOp = (NrmGrp × NrmGrp)
7	6	ndmov 7606	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 normOp 𝑇) = ∅)
8	1, 7	eqtrid 2807	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
9	8	cnveqd 5852	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ◡𝑁 = ◡∅)
10		cnv0 5860	. . . . . . 7 ⊢ ◡∅ = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ◡𝑁 = ∅)
12	11	imaeq1d 6050	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (◡𝑁 “ ℝ) = (∅ “ ℝ))
13		0ima 6200	. . . . 5 ⊢ (∅ “ ℝ) = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (◡𝑁 “ ℝ) = ∅)
15	4, 14	nsyl2 142	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
16	1	nmof 25044	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*)
17		ffn 6710	. . . 4 ⊢ (𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ* → 𝑁 Fn (𝑆 GrpHom 𝑇))
18		elpreima 7058	. . . 4 ⊢ (𝑁 Fn (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
19	16, 17, 18	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
20	15, 19	biadanii 834	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
21	3, 20	bitri 278	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  ℝ^*cxr 11346   GrpHom cghm 19433  NrmGrpcngp 24902   normOp cnmo 25030   NGHom cnghm 25031

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-ico 13486  df-nmo 25033  df-nghm 25034

This theorem is used by:  isnghm2  25049  nghmcl  25052  nmoi  25053  nghmrcl1  25057  nghmrcl2  25058  nghmghm  25059  isnmhm2  25077