Theorem isnghm 24641

Description: A normed group homomorphism is a group homomorphism with bounded norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
isnghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem isnghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmofval.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2	1	nghmfval 24640	. . 3 ⊢ (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ)
3	2	eleq2i 2825	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ))
4		n0i 4289	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) → ¬ (◡𝑁 “ ℝ) = ∅)
5		nmoffn 24629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ normOp Fn (NrmGrp × NrmGrp)
6	5	fndmi 6592	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom normOp = (NrmGrp × NrmGrp)
7	6	ndmov 7538	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 normOp 𝑇) = ∅)
8	1, 7	eqtrid 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
9	8	cnveqd 5821	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ◡𝑁 = ◡∅)
10		cnv0 6093	. . . . . . 7 ⊢ ◡∅ = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2784	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ◡𝑁 = ∅)
12	11	imaeq1d 6014	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (◡𝑁 “ ℝ) = (∅ “ ℝ))
13		0ima 6033	. . . . 5 ⊢ (∅ “ ℝ) = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (◡𝑁 “ ℝ) = ∅)
15	4, 14	nsyl2 141	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
16	1	nmof 24637	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*)
17		ffn 6658	. . . 4 ⊢ (𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ* → 𝑁 Fn (𝑆 GrpHom 𝑇))
18		elpreima 6999	. . . 4 ⊢ (𝑁 Fn (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
19	16, 17, 18	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
20	15, 19	biadanii 821	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
21	3, 20	bitri 275	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4282   × cxp 5619  ^◡ccnv 5620   “ cima 5624   Fn wfn 6483  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  ℝcr 11014  ℝ^*cxr 11154   GrpHom cghm 19128  NrmGrpcngp 24495   normOp cnmo 24623   NGHom cnghm 24624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-ico 13255  df-nmo 24626  df-nghm 24627

This theorem is referenced by:  isnghm2  24642  nghmcl  24645  nmoi  24646  nghmrcl1  24650  nghmrcl2  24651  nghmghm  24652  isnmhm2  24670