MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnghm 22747
Description: A normed group homomorphism is a group homomorphism with bounded norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
Assertion
Ref Expression
isnghm (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem isnghm
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . 4 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
21nghmfval 22746 . . 3 (𝑆 NGHom 𝑇) = (𝑁 “ ℝ)
32eleq2i 2842 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑁 “ ℝ))
4 n0i 4068 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑁 “ ℝ) → ¬ (𝑁 “ ℝ) = ∅)
5 nmoffn 22735 . . . . . . . . . . 11 normOp Fn (NrmGrp × NrmGrp)
6 fndm 6129 . . . . . . . . . . 11 ( normOp Fn (NrmGrp × NrmGrp) → dom normOp = (NrmGrp × NrmGrp))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 dom normOp = (NrmGrp × NrmGrp)
87ndmov 6969 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 normOp 𝑇) = ∅)
91, 8syl5eq 2817 . . . . . . . 8 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
109cnveqd 5435 . . . . . . 7 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
11 cnv0 5675 . . . . . . 7 ∅ = ∅
1210, 11syl6eq 2821 . . . . . 6 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
1312imaeq1d 5605 . . . . 5 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁 “ ℝ) = (∅ “ ℝ))
14 0ima 5622 . . . . 5 (∅ “ ℝ) = ∅
1513, 14syl6eq 2821 . . . 4 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁 “ ℝ) = ∅)
164, 15nsyl2 144 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑁 “ ℝ) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
171nmof 22743 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*)
18 ffn 6184 . . . 4 (𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*𝑁 Fn (𝑆 GrpHom 𝑇))
19 elpreima 6482 . . . 4 (𝑁 Fn (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹 ∈ (𝑁 “ ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ)))
2017, 18, 193syl 18 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐹 ∈ (𝑁 “ ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ)))
2116, 20biadan2 820 . 2 (𝐹 ∈ (𝑁 “ ℝ) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ)))
223, 21bitri 264 1 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  c0 4063   × cxp 5248  ccnv 5249  dom cdm 5250  cima 5253   Fn wfn 6025  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cr 10141  *cxr 10279   GrpHom cghm 17865  NrmGrpcngp 22602   normOp cnmo 22729   NGHom cnghm 22730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-ico 12386  df-nmo 22732  df-nghm 22733
This theorem is referenced by:  isnghm2  22748  nghmcl  22751  nmoi  22752  nghmrcl1  22756  nghmrcl2  22757  nghmghm  22758  isnmhm2  22776
  Copyright terms: Public domain W3C validator