MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnghm 24744
Description: A normed group homomorphism is a group homomorphism with bounded norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
Assertion
Ref Expression
isnghm (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem isnghm
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . 4 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
21nghmfval 24743 . . 3 (𝑆 NGHom 𝑇) = (𝑁 “ ℝ)
32eleq2i 2833 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑁 “ ℝ))
4 n0i 4340 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑁 “ ℝ) → ¬ (𝑁 “ ℝ) = ∅)
5 nmoffn 24732 . . . . . . . . . . 11 normOp Fn (NrmGrp × NrmGrp)
65fndmi 6672 . . . . . . . . . 10 dom normOp = (NrmGrp × NrmGrp)
76ndmov 7617 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 normOp 𝑇) = ∅)
81, 7eqtrid 2789 . . . . . . . 8 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
98cnveqd 5886 . . . . . . 7 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
10 cnv0 6160 . . . . . . 7 ∅ = ∅
119, 10eqtrdi 2793 . . . . . 6 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
1211imaeq1d 6077 . . . . 5 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁 “ ℝ) = (∅ “ ℝ))
13 0ima 6096 . . . . 5 (∅ “ ℝ) = ∅
1412, 13eqtrdi 2793 . . . 4 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁 “ ℝ) = ∅)
154, 14nsyl2 141 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑁 “ ℝ) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
161nmof 24740 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*)
17 ffn 6736 . . . 4 (𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*𝑁 Fn (𝑆 GrpHom 𝑇))
18 elpreima 7078 . . . 4 (𝑁 Fn (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹 ∈ (𝑁 “ ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ)))
1916, 17, 183syl 18 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐹 ∈ (𝑁 “ ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ)))
2015, 19biadanii 822 . 2 (𝐹 ∈ (𝑁 “ ℝ) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ)))
213, 20bitri 275 1 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  c0 4333   × cxp 5683  ccnv 5684  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  *cxr 11294   GrpHom cghm 19230  NrmGrpcngp 24590   normOp cnmo 24726   NGHom cnghm 24727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-ico 13393  df-nmo 24729  df-nghm 24730
This theorem is referenced by:  isnghm2  24745  nghmcl  24748  nmoi  24749  nghmrcl1  24753  nghmrcl2  24754  nghmghm  24755  isnmhm2  24773
  Copyright terms: Public domain W3C validator