Theorem isnghm 25097

Description: A normed group homomorphism is a group homomorphism with bounded norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
isnghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem isnghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmofval.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2	1	nghmfval 25096	. . 3 ⊢ (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ)
3	2	eleq2i 2856	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ))
4		n0i 4289	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) → ¬ (◡𝑁 “ ℝ) = ∅)
5		nmoffn 25085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ normOp Fn (NrmGrp × NrmGrp)
6	5	fndmi 6673	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom normOp = (NrmGrp × NrmGrp)
7	6	ndmov 7637	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 normOp 𝑇) = ∅)
8	1, 7	eqtrid 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
9	8	cnveqd 5865	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ◡𝑁 = ◡∅)
10		cnv0 5873	. . . . . . 7 ⊢ ◡∅ = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ◡𝑁 = ∅)
12	11	imaeq1d 6069	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (◡𝑁 “ ℝ) = (∅ “ ℝ))
13		0ima 6219	. . . . 5 ⊢ (∅ “ ℝ) = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (◡𝑁 “ ℝ) = ∅)
15	4, 14	nsyl2 142	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
16	1	nmof 25093	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*)
17		ffn 6739	. . . 4 ⊢ (𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ* → 𝑁 Fn (𝑆 GrpHom 𝑇))
18		elpreima 7088	. . . 4 ⊢ (𝑁 Fn (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
19	16, 17, 18	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
20	15, 19	biadanii 834	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ ℝ) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
21	3, 20	bitri 278	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281   × cxp 5656  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  ℝ^*cxr 11381   GrpHom cghm 19477  NrmGrpcngp 24951   normOp cnmo 25079   NGHom cnghm 25080

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-ico 13522  df-nmo 25082  df-nghm 25083

This theorem is used by:  isnghm2  25098  nghmcl  25101  nmoi  25102  nghmrcl1  25106  nghmrcl2  25107  nghmghm  25108  isnmhm2  25126