Theorem nghmfval 23992

Description: A normed group homomorphism is a group homomorphism with bounded norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nghmfval	⊢ (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ)

Proof of Theorem nghmfval

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 7346	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑠 normOp 𝑡) = (𝑆 normOp 𝑇))
2		nmofval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
3	1, 2	eqtr4di 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑠 normOp 𝑡) = 𝑁)
4	3	cnveqd 5817	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → ◡(𝑠 normOp 𝑡) = ◡𝑁)
5	4	imaeq1d 5998	. . 3 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (◡(𝑠 normOp 𝑡) “ ℝ) = (◡𝑁 “ ℝ))
6		df-nghm 23979	. . 3 ⊢ NGHom = (𝑠 ∈ NrmGrp, 𝑡 ∈ NrmGrp ↦ (◡(𝑠 normOp 𝑡) “ ℝ))
7	2	ovexi 7371	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ V
8	7	cnvex 7840	. . . 4 ⊢ ◡𝑁 ∈ V
9	8	imaex 7831	. . 3 ⊢ (◡𝑁 “ ℝ) ∈ V
10	5, 6, 9	ovmpoa 7490	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ))
11	6	mpondm0 7572	. . 3 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 NGHom 𝑇) = ∅)
12		nmoffn 23981	. . . . . . . . . 10 ⊢ normOp Fn (NrmGrp × NrmGrp)
13	12	fndmi 6589	. . . . . . . . 9 ⊢ dom normOp = (NrmGrp × NrmGrp)
14	13	ndmov 7518	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 normOp 𝑇) = ∅)
15	2, 14	eqtrid 2788	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
16	15	cnveqd 5817	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ◡𝑁 = ◡∅)
17		cnv0 6079	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
18	16, 17	eqtrdi 2792	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ◡𝑁 = ∅)
19	18	imaeq1d 5998	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (◡𝑁 “ ℝ) = (∅ “ ℝ))
20		0ima 6016	. . . 4 ⊢ (∅ “ ℝ) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2792	. . 3 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (◡𝑁 “ ℝ) = ∅)
22	11, 21	eqtr4d 2779	. 2 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ))
23	10, 22	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∅c0 4269   × cxp 5618  ^◡ccnv 5619   “ cima 5623  (class class class)co 7337  ℝcr 10971  NrmGrpcngp 23839   normOp cnmo 23975   NGHom cnghm 23976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-inf 9300  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-ico 13186  df-nmo 23978  df-nghm 23979

This theorem is referenced by:  isnghm  23993