MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nghmfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nghmfval 24758
Description: A normed group homomorphism is a group homomorphism with bounded norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
Assertion
Ref Expression
nghmfval (𝑆 NGHom 𝑇) = (𝑁 “ ℝ)

Proof of Theorem nghmfval
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 7439 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (𝑠 normOp 𝑡) = (𝑆 normOp 𝑇))
2 nmofval.1 . . . . . 6 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
31, 2eqtr4di 2792 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (𝑠 normOp 𝑡) = 𝑁)
43cnveqd 5888 . . . 4 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (𝑠 normOp 𝑡) = 𝑁)
54imaeq1d 6078 . . 3 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → ((𝑠 normOp 𝑡) “ ℝ) = (𝑁 “ ℝ))
6 df-nghm 24745 . . 3 NGHom = (𝑠 ∈ NrmGrp, 𝑡 ∈ NrmGrp ↦ ((𝑠 normOp 𝑡) “ ℝ))
72ovexi 7464 . . . . 5 𝑁 ∈ V
87cnvex 7947 . . . 4 𝑁 ∈ V
98imaex 7936 . . 3 (𝑁 “ ℝ) ∈ V
105, 6, 9ovmpoa 7587 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 NGHom 𝑇) = (𝑁 “ ℝ))
116mpondm0 7672 . . 3 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 NGHom 𝑇) = ∅)
12 nmoffn 24747 . . . . . . . . . 10 normOp Fn (NrmGrp × NrmGrp)
1312fndmi 6672 . . . . . . . . 9 dom normOp = (NrmGrp × NrmGrp)
1413ndmov 7616 . . . . . . . 8 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 normOp 𝑇) = ∅)
152, 14eqtrid 2786 . . . . . . 7 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
1615cnveqd 5888 . . . . . 6 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
17 cnv0 6162 . . . . . 6 ∅ = ∅
1816, 17eqtrdi 2790 . . . . 5 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
1918imaeq1d 6078 . . . 4 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁 “ ℝ) = (∅ “ ℝ))
20 0ima 6097 . . . 4 (∅ “ ℝ) = ∅
2119, 20eqtrdi 2790 . . 3 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁 “ ℝ) = ∅)
2211, 21eqtr4d 2777 . 2 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 NGHom 𝑇) = (𝑁 “ ℝ))
2310, 22pm2.61i 182 1 (𝑆 NGHom 𝑇) = (𝑁 “ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  c0 4338   × cxp 5686  ccnv 5687  cima 5691  (class class class)co 7430  cr 11151  NrmGrpcngp 24605   normOp cnmo 24741   NGHom cnghm 24742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-ico 13389  df-nmo 24744  df-nghm 24745
This theorem is referenced by:  isnghm  24759
  Copyright terms: Public domain W3C validator