Theorem nghmfval 24764

Description: A normed group homomorphism is a group homomorphism with bounded norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nghmfval	⊢ (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ)

Proof of Theorem nghmfval

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 7457	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑠 normOp 𝑡) = (𝑆 normOp 𝑇))
2		nmofval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
3	1, 2	eqtr4di 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑠 normOp 𝑡) = 𝑁)
4	3	cnveqd 5900	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → ◡(𝑠 normOp 𝑡) = ◡𝑁)
5	4	imaeq1d 6088	. . 3 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (◡(𝑠 normOp 𝑡) “ ℝ) = (◡𝑁 “ ℝ))
6		df-nghm 24751	. . 3 ⊢ NGHom = (𝑠 ∈ NrmGrp, 𝑡 ∈ NrmGrp ↦ (◡(𝑠 normOp 𝑡) “ ℝ))
7	2	ovexi 7482	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ V
8	7	cnvex 7965	. . . 4 ⊢ ◡𝑁 ∈ V
9	8	imaex 7954	. . 3 ⊢ (◡𝑁 “ ℝ) ∈ V
10	5, 6, 9	ovmpoa 7605	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ))
11	6	mpondm0 7690	. . 3 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 NGHom 𝑇) = ∅)
12		nmoffn 24753	. . . . . . . . . 10 ⊢ normOp Fn (NrmGrp × NrmGrp)
13	12	fndmi 6683	. . . . . . . . 9 ⊢ dom normOp = (NrmGrp × NrmGrp)
14	13	ndmov 7634	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 normOp 𝑇) = ∅)
15	2, 14	eqtrid 2792	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
16	15	cnveqd 5900	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ◡𝑁 = ◡∅)
17		cnv0 6172	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
18	16, 17	eqtrdi 2796	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ◡𝑁 = ∅)
19	18	imaeq1d 6088	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (◡𝑁 “ ℝ) = (∅ “ ℝ))
20		0ima 6107	. . . 4 ⊢ (∅ “ ℝ) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2796	. . 3 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (◡𝑁 “ ℝ) = ∅)
22	11, 21	eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ))
23	10, 22	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∅c0 4352   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  NrmGrpcngp 24611   normOp cnmo 24747   NGHom cnghm 24748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-ico 13413  df-nmo 24750  df-nghm 24751

This theorem is referenced by:  isnghm  24765