Theorem nghmfval 24712

Description: A normed group homomorphism is a group homomorphism with bounded norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nghmfval	⊢ (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ)

Proof of Theorem nghmfval

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 7372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑠 normOp 𝑡) = (𝑆 normOp 𝑇))
2		nmofval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
3	1, 2	eqtr4di 2793	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑠 normOp 𝑡) = 𝑁)
4	3	cnveqd 5824	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → ◡(𝑠 normOp 𝑡) = ◡𝑁)
5	4	imaeq1d 6018	. . 3 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (◡(𝑠 normOp 𝑡) “ ℝ) = (◡𝑁 “ ℝ))
6		df-nghm 24699	. . 3 ⊢ NGHom = (𝑠 ∈ NrmGrp, 𝑡 ∈ NrmGrp ↦ (◡(𝑠 normOp 𝑡) “ ℝ))
7	2	ovexi 7397	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ V
8	7	cnvex 7872	. . . 4 ⊢ ◡𝑁 ∈ V
9	8	imaex 7861	. . 3 ⊢ (◡𝑁 “ ℝ) ∈ V
10	5, 6, 9	ovmpoa 7518	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ))
11	6	mpondm0 7603	. . 3 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 NGHom 𝑇) = ∅)
12		nmoffn 24701	. . . . . . . . . 10 ⊢ normOp Fn (NrmGrp × NrmGrp)
13	12	fndmi 6596	. . . . . . . . 9 ⊢ dom normOp = (NrmGrp × NrmGrp)
14	13	ndmov 7547	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 normOp 𝑇) = ∅)
15	2, 14	eqtrid 2787	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
16	15	cnveqd 5824	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ◡𝑁 = ◡∅)
17		cnv0 6097	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
18	16, 17	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ◡𝑁 = ∅)
19	18	imaeq1d 6018	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (◡𝑁 “ ℝ) = (∅ “ ℝ))
20		0ima 6037	. . . 4 ⊢ (∅ “ ℝ) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2791	. . 3 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (◡𝑁 “ ℝ) = ∅)
22	11, 21	eqtr4d 2778	. 2 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ))
23	10, 22	pm2.61i 183	1 ⊢ (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∅c0 4268   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  NrmGrpcngp 24567   normOp cnmo 24695   NGHom cnghm 24696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-ico 13302  df-nmo 24698  df-nghm 24699

This theorem is referenced by:  isnghm  24713