Theorem nghmfval 24860

Description: A normed group homomorphism is a group homomorphism with bounded norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nghmfval	⊢ (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ)

Proof of Theorem nghmfval

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 7421	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑠 normOp 𝑡) = (𝑆 normOp 𝑇))
2		nmofval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
3	1, 2	eqtr4di 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑠 normOp 𝑡) = 𝑁)
4	3	cnveqd 5863	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → ◡(𝑠 normOp 𝑡) = ◡𝑁)
5	4	imaeq1d 6063	. . 3 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (◡(𝑠 normOp 𝑡) “ ℝ) = (◡𝑁 “ ℝ))
6		df-nghm 24847	. . 3 ⊢ NGHom = (𝑠 ∈ NrmGrp, 𝑡 ∈ NrmGrp ↦ (◡(𝑠 normOp 𝑡) “ ℝ))
7	2	ovexi 7446	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ V
8	7	cnvex 7923	. . . 4 ⊢ ◡𝑁 ∈ V
9	8	imaex 7912	. . 3 ⊢ (◡𝑁 “ ℝ) ∈ V
10	5, 6, 9	ovmpoa 7567	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ))
11	6	mpondm0 7652	. . 3 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 NGHom 𝑇) = ∅)
12		nmoffn 24849	. . . . . . . . . 10 ⊢ normOp Fn (NrmGrp × NrmGrp)
13	12	fndmi 6641	. . . . . . . . 9 ⊢ dom normOp = (NrmGrp × NrmGrp)
14	13	ndmov 7596	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 normOp 𝑇) = ∅)
15	2, 14	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
16	15	cnveqd 5863	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ◡𝑁 = ◡∅)
17		cnv0 5871	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
18	16, 17	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ◡𝑁 = ∅)
19	18	imaeq1d 6063	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (◡𝑁 “ ℝ) = (∅ “ ℝ))
20		0ima 6082	. . . 4 ⊢ (∅ “ ℝ) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (◡𝑁 “ ℝ) = ∅)
22	11, 21	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ))
23	10, 22	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝑆 NGHom 𝑇) = (◡𝑁 “ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∅c0 4287   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  NrmGrpcngp 24715   normOp cnmo 24843   NGHom cnghm 24844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-ico 13379  df-nmo 24846  df-nghm 24847

This theorem is referenced by:  isnghm  24861