Theorem ne0gt0d 11401

Description: A nonzero nonnegative number is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ne0gt0d.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
ne0gt0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
ne0gt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem ne0gt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0gt0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ne0gt0d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4		ne0gt0 11369	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < 𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < 𝐴))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   class class class wbr 5153  ℝcr 11157  0cc0 11158   < clt 11298   ≤ cle 11299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-addrcl 11219  ax-rnegex 11229  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304

This theorem is referenced by:  sqrtgt0  15263  absrpcl  15293  sqreulem  15364  fprodle  15998  efgt0  16105  abvgt0  20799  nmrpcl  24620  lebnumlem1  24978  ipcau2  25253  recxpcl  26702  mulcxp  26712  rlimcnp  26993  lgsdilem  27353  pntleml  27640  ttgcontlem1  28818  axsegconlem6  28856  axpaschlem  28874  axcontlem2  28899  axcontlem4  28901  axcontlem7  28904  xrge0iifhom  33752  cndprobprob  34272  usgrgt2cycl  34958  tan2h  37313  dvasin  37405  radcnvrat  43988  ioodvbdlimc1lem2  45553  ioodvbdlimc2lem  45555  fourierdlem30  45758  fourierdlem48  45775  fourierdlem49  45776  fourierdlem54  45781  fourierdlem102  45829  fourierdlem114  45841  sqwvfoura  45849