Theorem ne0gt0d 11282

Description: A nonzero nonnegative number is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ne0gt0d.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
ne0gt0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
ne0gt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem ne0gt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0gt0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ne0gt0d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4		ne0gt0 11250	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < 𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < 𝐴))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11178   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184

This theorem is referenced by:  sqrtgt0  15193  absrpcl  15223  sqreulem  15295  fprodle  15931  efgt0  16040  abvgt0  20765  nmrpcl  24576  lebnumlem1  24928  ipcau2  25202  recxpcl  26652  mulcxp  26662  rlimcnp  26943  lgsdilem  27303  pntleml  27590  ttgcontlem1  28969  axsegconlem6  29007  axpaschlem  29025  axcontlem2  29050  axcontlem4  29052  axcontlem7  29055  sgnval2  32825  xrge0iifhom  34115  cndprobprob  34616  usgrgt2cycl  35346  tan2h  37863  dvasin  37955  explt1d  42693  expeq1d  42694  radcnvrat  44670  ioodvbdlimc1lem2  46290  ioodvbdlimc2lem  46292  fourierdlem30  46495  fourierdlem48  46512  fourierdlem49  46513  fourierdlem54  46518  fourierdlem102  46566  fourierdlem114  46578  sqwvfoura  46586