Theorem ne0gt0d 11320

Description: A nonzero nonnegative number is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ne0gt0d.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
ne0gt0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
ne0gt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem ne0gt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0gt0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ne0gt0d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4		ne0gt0 11288	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < 𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < 𝐴))
6	1, 5	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  ℝcr 11072  0cc0 11073   < clt 11216   ≤ cle 11217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-addrcl 11134  ax-rnegex 11144  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222

This theorem is referenced by:  sqrtgt0  15285  absrpcl  15315  sqreulem  15387  fprodle  16026  efgt0  16135  abvgt0  20866  nmrpcl  24677  lebnumlem1  25020  ipcau2  25293  recxpcl  26737  mulcxp  26747  rlimcnp  27027  lgsdilem  27385  pntleml  27672  ttgcontlem1  29082  axsegconlem6  29120  axpaschlem  29138  axcontlem2  29163  axcontlem4  29165  axcontlem7  29168  sgnval2  32934  xrge0iifhom  34231  cndprobprob  34732  usgrgt2cycl  35477  tan2h  38108  dvasin  38200  explt1d  42929  expeq1d  42930  radcnvrat  44887  ioodvbdlimc1lem2  46503  ioodvbdlimc2lem  46505  fourierdlem30  46708  fourierdlem48  46725  fourierdlem49  46726  fourierdlem54  46731  fourierdlem102  46779  fourierdlem114  46791  sqwvfoura  46799