MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ne0gt0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ne0gt0d 11299
Description: A nonzero nonnegative number is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ne0gt0d.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
ne0gt0d.3 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
ne0gt0d (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem ne0gt0d
StepHypRef Expression
1 ne0gt0d.3 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
2 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ne0gt0d.2 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4 ne0gt0 11267 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < 𝐴))
52, 3, 4syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < 𝐴))
61, 5mpbid 231 1 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2107  wne 2944   class class class wbr 5110  cr 11057  0cc0 11058   < clt 11196  cle 11197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-addrcl 11119  ax-rnegex 11129  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202
This theorem is referenced by:  sqrtgt0  15150  absrpcl  15180  sqreulem  15251  fprodle  15886  efgt0  15992  abvgt0  20303  nmrpcl  23992  lebnumlem1  24340  ipcau2  24614  recxpcl  26046  mulcxp  26056  rlimcnp  26331  lgsdilem  26688  pntleml  26975  ttgcontlem1  27875  axsegconlem6  27913  axpaschlem  27931  axcontlem2  27956  axcontlem4  27958  axcontlem7  27961  xrge0iifhom  32558  cndprobprob  33078  usgrgt2cycl  33764  tan2h  36099  dvasin  36191  radcnvrat  42668  ioodvbdlimc1lem2  44247  ioodvbdlimc2lem  44249  fourierdlem30  44452  fourierdlem48  44469  fourierdlem49  44470  fourierdlem54  44475  fourierdlem102  44523  fourierdlem114  44535  sqwvfoura  44543
  Copyright terms: Public domain W3C validator