Theorem ne0gt0d 11274

Description: A nonzero nonnegative number is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ne0gt0d.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
ne0gt0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
ne0gt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem ne0gt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0gt0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ne0gt0d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4		ne0gt0 11242	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < 𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < 𝐴))
6	1, 5	mpbid 233	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072  ℝcr 11028  0cc0 11029   < clt 11170   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-addrcl 11090  ax-rnegex 11100  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176

This theorem is referenced by:  sqrtgt0  15211  absrpcl  15241  sqreulem  15313  fprodle  15952  efgt0  16061  abvgt0  20792  nmrpcl  24603  lebnumlem1  24946  ipcau2  25219  recxpcl  26657  mulcxp  26667  rlimcnp  26947  lgsdilem  27305  pntleml  27592  ttgcontlem1  28971  axsegconlem6  29009  axpaschlem  29027  axcontlem2  29052  axcontlem4  29054  axcontlem7  29057  sgnval2  32827  xrge0iifhom  34121  cndprobprob  34622  usgrgt2cycl  35358  tan2h  37979  dvasin  38071  explt1d  42800  expeq1d  42801  radcnvrat  44758  ioodvbdlimc1lem2  46375  ioodvbdlimc2lem  46377  fourierdlem30  46580  fourierdlem48  46597  fourierdlem49  46598  fourierdlem54  46603  fourierdlem102  46651  fourierdlem114  46663  sqwvfoura  46671