MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmgt0 22842
Description: The norm of a nonzero element is a positive real. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nmgt0.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmgt0.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmgt0.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmgt0 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))

Proof of Theorem nmgt0
StepHypRef Expression
1 nmgt0.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 nmgt0.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
3 nmgt0.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
41, 2, 3nmeq0 22830 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
54necon3bid 3013 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴0 ))
61, 2nmcl 22828 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
71, 2nmge0 22829 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
8 ne0gt0 10481 . . 3 (((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁𝐴)) → ((𝑁𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
96, 7, 8syl2anc 579 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
105, 9bitr3d 273 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969   class class class wbr 4886  cfv 6135  cr 10271  0cc0 10272   < clt 10411  cle 10412  Basecbs 16255  0gc0g 16486  normcnm 22789  NrmGrpcngp 22790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-0g 16488  df-topgen 16490  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-xms 22533  df-ms 22534  df-nm 22795  df-ngp 22796
This theorem is referenced by:  ncvs1  23364
  Copyright terms: Public domain W3C validator