MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmgt0 23774
Description: The norm of a nonzero element is a positive real. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nmgt0.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmgt0.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmgt0.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmgt0 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))

Proof of Theorem nmgt0
StepHypRef Expression
1 nmgt0.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 nmgt0.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
3 nmgt0.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
41, 2, 3nmeq0 23762 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
54necon3bid 2988 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴0 ))
61, 2nmcl 23760 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
71, 2nmge0 23761 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
8 ne0gt0 11068 . . 3 (((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁𝐴)) → ((𝑁𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
96, 7, 8syl2anc 584 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
105, 9bitr3d 280 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5074  cfv 6427  cr 10858  0cc0 10859   < clt 10997  cle 10998  Basecbs 16900  0gc0g 17138  normcnm 23720  NrmGrpcngp 23721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-er 8486  df-map 8605  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-sup 9189  df-inf 9190  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-q 12677  df-rp 12719  df-xneg 12836  df-xadd 12837  df-xmul 12838  df-0g 17140  df-topgen 17142  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-grp 18568  df-psmet 20577  df-xmet 20578  df-met 20579  df-bl 20580  df-mopn 20581  df-top 22031  df-topon 22048  df-topsp 22070  df-bases 22084  df-xms 23461  df-ms 23462  df-nm 23726  df-ngp 23727
This theorem is referenced by:  ncvs1  24309
  Copyright terms: Public domain W3C validator