MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmgt0 23242
Description: The norm of a nonzero element is a positive real. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nmgt0.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmgt0.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmgt0.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmgt0 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))

Proof of Theorem nmgt0
StepHypRef Expression
1 nmgt0.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 nmgt0.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
3 nmgt0.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
41, 2, 3nmeq0 23230 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
54necon3bid 3058 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴0 ))
61, 2nmcl 23228 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
71, 2nmge0 23229 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
8 ne0gt0 10743 . . 3 (((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁𝐴)) → ((𝑁𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
96, 7, 8syl2anc 587 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
105, 9bitr3d 284 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5052  cfv 6343  cr 10534  0cc0 10535   < clt 10673  cle 10674  Basecbs 16483  0gc0g 16713  normcnm 23189  NrmGrpcngp 23190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-0g 16715  df-topgen 16717  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-xms 22933  df-ms 22934  df-nm 23195  df-ngp 23196
This theorem is referenced by:  ncvs1  23768
  Copyright terms: Public domain W3C validator