MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmgt0 23892
Description: The norm of a nonzero element is a positive real. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nmgt0.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
nmgt0.n 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
nmgt0.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
nmgt0 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 β‰  0 ↔ 0 < (π‘β€˜π΄)))

Proof of Theorem nmgt0
StepHypRef Expression
1 nmgt0.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
2 nmgt0.n . . . 4 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
3 nmgt0.z . . . 4 0 = (0gβ€˜πΊ)
41, 2, 3nmeq0 23880 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
54necon3bid 2985 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) β‰  0 ↔ 𝐴 β‰  0 ))
61, 2nmcl 23878 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
71, 2nmge0 23879 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
8 ne0gt0 11181 . . 3 (((π‘β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘β€˜π΄)) β†’ ((π‘β€˜π΄) β‰  0 ↔ 0 < (π‘β€˜π΄)))
96, 7, 8syl2anc 584 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) β‰  0 ↔ 0 < (π‘β€˜π΄)))
105, 9bitr3d 280 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 β‰  0 ↔ 0 < (π‘β€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2940   class class class wbr 5092  β€˜cfv 6479  β„cr 10971  0cc0 10972   < clt 11110   ≀ cle 11111  Basecbs 17009  0gc0g 17247  normcnm 23838  NrmGrpcngp 23839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-inf 9300  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xneg 12949  df-xadd 12950  df-xmul 12951  df-0g 17249  df-topgen 17251  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-xms 23579  df-ms 23580  df-nm 23844  df-ngp 23845
This theorem is referenced by:  ncvs1  24427
  Copyright terms: Public domain W3C validator