MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvmptnn04ifb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvmptnn04ifb 22727
Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the second case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmptnn04if.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
fvmptnn04ifb ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝐺𝑁) = 𝑁 / 𝑛𝐵)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifb
StepHypRef Expression
1 fvmptnn04if.g . 2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2 fvmptnn04if.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
323ad2ant1 1131 . 2 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4 fvmptnn04if.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
543ad2ant1 1131 . 2 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 simp3 1136 . 2 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉)
7 nn0re 12497 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
8 nn0ge0 12513 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
97, 8jca 511 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
10 ne0gt0 11335 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 0 ↔ 0 < 𝑁))
114, 9, 103syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 ↔ 0 < 𝑁))
1211biimprcd 249 . . . . . . 7 (0 < 𝑁 → (𝜑𝑁 ≠ 0))
1312adantr 480 . . . . . 6 ((0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) → (𝜑𝑁 ≠ 0))
1413impcom 407 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆)) → 𝑁 ≠ 0)
15143adant3 1130 . . . 4 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → 𝑁 ≠ 0)
16 neneq 2941 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 → ¬ 𝑁 = 0)
1716pm2.21d 121 . . . 4 (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 = 0 → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐴))
1815, 17syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝑁 = 0 → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐴))
1918imp 406 . 2 (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐴)
20 eqidd 2728 . 2 (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) ∧ 0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐵)
214, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2221adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 < 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
23 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 < 𝑆) → 𝑁 < 𝑆)
2422, 23ltned 11366 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 < 𝑆) → 𝑁𝑆)
2524neneqd 2940 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 < 𝑆) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
2625adantrl 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆)) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
27263adant3 1130 . . . 4 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
2827pm2.21d 121 . . 3 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝑁 = 𝑆𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐶))
2928imp 406 . 2 (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐶)
302nnred 12243 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
31 ltnsym 11328 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑆 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
3221, 30, 31syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 < 𝑆 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
3332com12 32 . . . . . . 7 (𝑁 < 𝑆 → (𝜑 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
3433adantl 481 . . . . . 6 ((0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) → (𝜑 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
3534impcom 407 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆)) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
36353adant3 1130 . . . 4 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
3736pm2.21d 121 . . 3 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐷))
3837imp 406 . 2 (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐷)
391, 3, 5, 6, 19, 20, 29, 38fvmptnn04if 22725 1 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝐺𝑁) = 𝑁 / 𝑛𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  csb 3889  ifcif 4524   class class class wbr 5142  cmpt 5225  cfv 6542  cr 11123  0cc0 11124   < clt 11264  cle 11265  cn 12228  0cn0 12488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator