Theorem fvmptnn04ifb 22344

Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the second case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptnn04if.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fvmptnn04ifb	⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptnn04if.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2		fvmptnn04if.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3	2	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4		fvmptnn04if.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉)
7		nn0re 12477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
8		nn0ge0 12493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
9	7, 8	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
10		ne0gt0 11315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 0 ↔ 0 < 𝑁))
11	4, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 ↔ 0 < 𝑁))
12	11	biimprcd 249	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 𝑁 → (𝜑 → 𝑁 ≠ 0))
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → (𝜑 → 𝑁 ≠ 0))
14	13	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆)) → 𝑁 ≠ 0)
15	14	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑁 ≠ 0)
16		neneq 2946	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ¬ 𝑁 = 0)
17	16	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 = 0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
18	15, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
19	18	imp 407	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)
20		eqidd 2733	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)
21	4, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
23		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑆) → 𝑁 < 𝑆)
24	22, 23	ltned 11346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑆) → 𝑁 ≠ 𝑆)
25	24	neneqd 2945	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑆) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
26	25	adantrl 714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆)) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
27	26	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
28	27	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
29	28	imp 407	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶)
30	2	nnred 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
31		ltnsym 11308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑆 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
32	21, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑆 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
33	32	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 𝑆 → (𝜑 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
34	33	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → (𝜑 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
35	34	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆)) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
36	35	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
37	36	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑆 < 𝑁 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷))
38	37	imp 407	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)
39	1, 3, 5, 6, 19, 20, 29, 38	fvmptnn04if 22342	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ⦋csb 3892  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  ℝcr 11105  0cc0 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469

This theorem is referenced by: (None)