Theorem fvmptnn04ifb 22759

Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the second case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptnn04if.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fvmptnn04ifb	⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptnn04if.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2		fvmptnn04if.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3	2	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4		fvmptnn04if.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉)
7		nn0re 12382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
8		nn0ge0 12398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
9	7, 8	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
10		ne0gt0 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 0 ↔ 0 < 𝑁))
11	4, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 ↔ 0 < 𝑁))
12	11	biimprcd 250	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 𝑁 → (𝜑 → 𝑁 ≠ 0))
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → (𝜑 → 𝑁 ≠ 0))
14	13	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆)) → 𝑁 ≠ 0)
15	14	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑁 ≠ 0)
16		neneq 2932	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ¬ 𝑁 = 0)
17	16	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 = 0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
18	15, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
19	18	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)
20		eqidd 2731	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)
21	4, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
23		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑆) → 𝑁 < 𝑆)
24	22, 23	ltned 11241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑆) → 𝑁 ≠ 𝑆)
25	24	neneqd 2931	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑆) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
26	25	adantrl 716	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆)) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
27	26	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
28	27	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
29	28	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶)
30	2	nnred 12132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
31		ltnsym 11203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑆 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
32	21, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑆 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
33	32	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 𝑆 → (𝜑 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
34	33	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → (𝜑 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
35	34	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆)) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
36	35	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
37	36	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑆 < 𝑁 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷))
38	37	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)
39	1, 3, 5, 6, 19, 20, 29, 38	fvmptnn04if 22757	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ⦋csb 3848  ifcif 4473   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6477  ℝcr 10997  0cc0 10998   < clt 11138   ≤ cle 11139  ℕcn 12117  ℕ₀cn0 12373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-n0 12374

This theorem is referenced by: (None)