Theorem fvmptnn04ifb 21453

Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the second case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptnn04if.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fvmptnn04ifb	⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptnn04if.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2		fvmptnn04if.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3	2	3ad2ant1 1129	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4		fvmptnn04if.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant1 1129	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		simp3 1134	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉)
7		nn0re 11900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
8		nn0ge0 11916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
9	7, 8	jca 514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
10		ne0gt0 10739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 0 ↔ 0 < 𝑁))
11	4, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 ↔ 0 < 𝑁))
12	11	biimprcd 252	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 𝑁 → (𝜑 → 𝑁 ≠ 0))
13	12	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → (𝜑 → 𝑁 ≠ 0))
14	13	impcom 410	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆)) → 𝑁 ≠ 0)
15	14	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑁 ≠ 0)
16		neneq 3022	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ¬ 𝑁 = 0)
17	16	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 = 0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
18	15, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
19	18	imp 409	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)
20		eqidd 2822	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)
21	4, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
23		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑆) → 𝑁 < 𝑆)
24	22, 23	ltned 10770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑆) → 𝑁 ≠ 𝑆)
25	24	neneqd 3021	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑆) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
26	25	adantrl 714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆)) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
27	26	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
28	27	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
29	28	imp 409	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶)
30	2	nnred 11647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
31		ltnsym 10732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑆 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
32	21, 30, 31	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑆 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
33	32	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 𝑆 → (𝜑 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
34	33	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → (𝜑 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
35	34	impcom 410	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆)) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
36	35	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
37	36	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑆 < 𝑁 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷))
38	37	imp 409	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)
39	1, 3, 5, 6, 19, 20, 29, 38	fvmptnn04if 21451	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ⦋csb 3883  ifcif 4467   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139  ‘cfv 6350  ℝcr 10530  0cc0 10531   < clt 10669   ≤ cle 10670  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892

This theorem is referenced by: (None)