Theorem fvmptnn04ifb 22766

Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the second case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptnn04if.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fvmptnn04ifb	⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptnn04if.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2		fvmptnn04if.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3	2	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4		fvmptnn04if.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		simp3 1135	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉)
7		nn0re 12506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
8		nn0ge0 12522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
9	7, 8	jca 510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
10		ne0gt0 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 0 ↔ 0 < 𝑁))
11	4, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 ↔ 0 < 𝑁))
12	11	biimprcd 249	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 𝑁 → (𝜑 → 𝑁 ≠ 0))
13	12	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → (𝜑 → 𝑁 ≠ 0))
14	13	impcom 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆)) → 𝑁 ≠ 0)
15	14	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑁 ≠ 0)
16		neneq 2936	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ¬ 𝑁 = 0)
17	16	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 = 0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
18	15, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
19	18	imp 405	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)
20		eqidd 2726	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)
21	4, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
23		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑆) → 𝑁 < 𝑆)
24	22, 23	ltned 11375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑆) → 𝑁 ≠ 𝑆)
25	24	neneqd 2935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑆) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
26	25	adantrl 714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆)) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
27	26	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
28	27	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
29	28	imp 405	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶)
30	2	nnred 12252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
31		ltnsym 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑆 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
32	21, 30, 31	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑆 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
33	32	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 𝑆 → (𝜑 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
34	33	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → (𝜑 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
35	34	impcom 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆)) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
36	35	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
37	36	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑆 < 𝑁 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷))
38	37	imp 405	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)
39	1, 3, 5, 6, 19, 20, 29, 38	fvmptnn04if 22764	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ⦋csb 3886  ifcif 4525   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  ‘cfv 6543  ℝcr 11132  0cc0 11133   < clt 11273   ≤ cle 11274  ℕcn 12237  ℕ₀cn0 12497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498

This theorem is referenced by: (None)