Theorem nvgt0 29892

Description: A nonzero norm is positive. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvgt0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvgt0.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nvgt0.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvgt0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 𝑍 ↔ 0 < (𝑁‘𝐴)))

Proof of Theorem nvgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvgt0.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nvgt0.5	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3		nvgt0.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
4	1, 2, 3	nvz 29887	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))
5	4	necon3bid 2986	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝑍))
6	1, 3	nvcl 29879	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
7	1, 3	nvge0 29891	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
8		ne0gt0 11306	. . 3 ⊢ (((𝑁‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐴)) → ((𝑁‘𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁‘𝐴)))
9	6, 7, 8	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁‘𝐴)))
10	5, 9	bitr3d 281	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 𝑍 ↔ 0 < (𝑁‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5144  ‘cfv 6535  ℝcr 11096  0cc0 11097   < clt 11235   ≤ cle 11236  NrmCVeccnv 29802  BaseSetcba 29804  0_veccn0v 29806  norm_CVcnmcv 29808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9424  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12962  df-seq 13954  df-exp 14015  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-grpo 29711  df-gid 29712  df-ginv 29713  df-ablo 29763  df-vc 29777  df-nv 29810  df-va 29813  df-ba 29814  df-sm 29815  df-0v 29816  df-nmcv 29818

This theorem is referenced by:  nv1  29893  nmlno0lem  30011  nmblolbii  30017  blocnilem  30022