MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegle0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegle0 24830
Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (𝜑𝐼𝑉)
mdegaddle.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdegle0.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegle0.a 𝐴 = (algSc‘𝑌)
mdegle0.f (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
mdegle0 (𝜑 → ((𝐷𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0})))))

Proof of Theorem mdegle0
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegle0.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
2 0xr 10767 . . 3 0 ∈ ℝ*
3 mdegaddle.d . . . 4 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
4 mdegaddle.y . . . 4 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5 mdegle0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
6 eqid 2738 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
7 eqid 2738 . . . 4 {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
8 eqid 2738 . . . 4 (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
93, 4, 5, 6, 7, 8mdegleb 24817 . . 3 ((𝐹𝐵 ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹𝑥) = (0g𝑅))))
101, 2, 9sylancl 589 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐹) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹𝑥) = (0g𝑅))))
117, 8tdeglem1 24808 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0)
1312ffvelrnda 6862 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0)
14 nn0re 11986 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℝ)
15 nn0ge0 12002 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))
1614, 15jca 515 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0 → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)))
17 ne0gt0 10824 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)))
1813, 16, 173syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)))
197, 8tdeglem4 24812 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
2019adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
2120necon3abid 2970 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
2218, 21bitr3d 284 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ↔ ¬ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
2322imbi1d 345 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹𝑥) = (0g𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹𝑥) = (0g𝑅))))
24 eqeq2 2750 . . . . . . . 8 ((𝐹‘(𝐼 × {0})) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅))))
2524bibi1d 347 . . . . . . 7 ((𝐹‘(𝐼 × {0})) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅)) → (((𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹𝑥) = (0g𝑅))) ↔ ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹𝑥) = (0g𝑅)))))
26 eqeq2 2750 . . . . . . . 8 ((0g𝑅) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅)) → ((𝐹𝑥) = (0g𝑅) ↔ (𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅))))
2726bibi1d 347 . . . . . . 7 ((0g𝑅) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅)) → (((𝐹𝑥) = (0g𝑅) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹𝑥) = (0g𝑅))) ↔ ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹𝑥) = (0g𝑅)))))
28 fveq2 6675 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})))
29 pm2.24 124 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹𝑥) = (0g𝑅)))
3028, 292thd 268 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → ((𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹𝑥) = (0g𝑅))))
3130adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = (𝐼 × {0})) → ((𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹𝑥) = (0g𝑅))))
32 biimt 364 . . . . . . . 8 𝑥 = (𝐼 × {0}) → ((𝐹𝑥) = (0g𝑅) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹𝑥) = (0g𝑅))))
3332adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → ((𝐹𝑥) = (0g𝑅) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹𝑥) = (0g𝑅))))
3425, 27, 31, 33ifbothda 4453 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹𝑥) = (0g𝑅))))
3534adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹𝑥) = (0g𝑅))))
3623, 35bitr4d 285 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹𝑥) = (0g𝑅)) ↔ (𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅))))
3736ralbidva 3108 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹𝑥) = (0g𝑅)) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅))))
38 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
394, 38, 5, 7, 1mplelf 20815 . . . . . 6 (𝜑𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
4039feqmptd 6738 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹𝑥)))
41 mdegle0.a . . . . . 6 𝐴 = (algSc‘𝑌)
42 mdegaddle.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
43 mdegaddle.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
447psrbag0 20875 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
4542, 44syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
4639, 45ffvelrnd 6863 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝐼 × {0})) ∈ (Base‘𝑅))
474, 7, 6, 38, 41, 42, 43, 46mplascl 20877 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0}))) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅))))
4840, 47eqeq12d 2754 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0}))) ↔ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅)))))
49 fvex 6688 . . . . . 6 (𝐹𝑥) ∈ V
5049rgenw 3065 . . . . 5 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹𝑥) ∈ V
51 mpteqb 6795 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹𝑥) ∈ V → ((𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅))) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅))))
5250, 51mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅))) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅))))
5348, 52bitrd 282 . . 3 (𝜑 → (𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0}))) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g𝑅))))
5437, 53bitr4d 285 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹𝑥) = (0g𝑅)) ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0})))))
5510, 54bitrd 282 1 (𝜑 → ((𝐷𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wral 3053  {crab 3057  Vcvv 3398  ifcif 4415  {csn 4517   class class class wbr 5031  cmpt 5111   × cxp 5524  ccnv 5525  cima 5529  wf 6336  cfv 6340  (class class class)co 7171  m cmap 8438  Fincfn 8556  cr 10615  0cc0 10616  *cxr 10753   < clt 10754  cle 10755  cn 11717  0cn0 11977  Basecbs 16587  0gc0g 16817   Σg cgsu 16818  Ringcrg 19417  fldccnfld 20218  algSccascl 20669   mPoly cmpl 20720   mDeg cmdg 24803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693  ax-pre-sup 10694  ax-addf 10695  ax-mulf 10696
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-of 7426  df-ofr 7427  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-supp 7858  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-er 8321  df-map 8440  df-pm 8441  df-ixp 8509  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-fsupp 8908  df-sup 8980  df-oi 9048  df-card 9442  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-7 11785  df-8 11786  df-9 11787  df-n0 11978  df-z 12064  df-dec 12181  df-uz 12326  df-fz 12983  df-fzo 13126  df-seq 13462  df-hash 13784  df-struct 16589  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-starv 16684  df-sca 16685  df-vsca 16686  df-tset 16688  df-ple 16689  df-ds 16691  df-unif 16692  df-0g 16819  df-gsum 16820  df-mre 16961  df-mrc 16962  df-acs 16964  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-mhm 18073  df-submnd 18074  df-grp 18223  df-minusg 18224  df-mulg 18344  df-subg 18395  df-ghm 18475  df-cntz 18566  df-cmn 19027  df-abl 19028  df-mgp 19360  df-ur 19372  df-ring 19419  df-cring 19420  df-subrg 19653  df-cnfld 20219  df-ascl 20672  df-psr 20723  df-mpl 20725  df-mdeg 24805
This theorem is referenced by:  deg1le0  24864
  Copyright terms: Public domain W3C validator