MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegle0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mdegle0 25963
Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mdegle0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
mdegle0.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘Œ)
mdegle0.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mdegle0 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ 𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})))))
Proof of Theorem mdegle0
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegle0.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
2 0xr 11262 . . 3 0 ∈ ℝ*
3 mdegaddle.d . . . 4 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
4 mdegaddle.y . . . 4 π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
5 mdegle0.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
6 eqid 2726 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
7 eqid 2726 . . . 4 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
8 eqid 2726 . . . 4 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) = (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))
93, 4, 5, 6, 7, 8mdegleb 25950 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
101, 2, 9sylancl 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
117, 8tdeglem1 25941 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0)
1312ffvelcdmda 7079 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
14 nn0re 12482 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
15 nn0ge0 12498 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯))
1614, 15jca 511 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯)))
17 ne0gt0 11320 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯)) β†’ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ 0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯)))
1813, 16, 173syl 18 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ 0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯)))
197, 8tdeglem4 25945 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0})))
2019adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0})))
2120necon3abid 2971 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0})))
2218, 21bitr3d 281 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ↔ Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0})))
2322imbi1d 341 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
24 eqeq2 2738 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
2524bibi1d 343 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))))
26 eqeq2 2738 . . . . . . . 8 ((0gβ€˜π‘…) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
2726bibi1d 343 . . . . . . 7 ((0gβ€˜π‘…) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))))
28 fveq2 6884 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})))
29 pm2.24 124 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))
3028, 292thd 265 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
3130adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0})) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
32 biimt 360 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
3332adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0})) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
3425, 27, 31, 33ifbothda 4561 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
3534adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
3623, 35bitr4d 282 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
3736ralbidva 3169 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
38 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
394, 38, 5, 7, 1mplelf 21894 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
4039feqmptd 6953 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
41 mdegle0.a . . . . . 6 𝐴 = (algScβ€˜π‘Œ)
42 mdegaddle.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
43 mdegaddle.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
447psrbag0 21960 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
4542, 44syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
4639, 45ffvelcdmd 7080 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
474, 7, 6, 38, 41, 42, 43, 46mplascl 21962 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜(πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0}))) = (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
4840, 47eqeq12d 2742 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0}))) ↔ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)))))
49 fvex 6897 . . . . . 6 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
5049rgenw 3059 . . . . 5 βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
51 mpteqb 7010 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V β†’ ((π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
5250, 51mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
5348, 52bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0}))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
5437, 53bitr4d 282 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)) ↔ 𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})))))
5510, 54bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ 𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938  β„cr 11108  0cc0 11109  β„*cxr 11248   < clt 11249   ≀ cle 11250  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  Basecbs 17150  0gc0g 17391   Ξ£g cgsu 17392  Ringcrg 20135  β„‚fldccnfld 21235  algSccascl 21742   mPoly cmpl 21795   mDeg cmdg 25936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-cnfld 21236  df-ascl 21745  df-psr 21798  df-mpl 21800  df-mdeg 25938
This theorem is referenced by:  deg1le0  25997
  Copyright terms: Public domain W3C validator