Theorem mdegle0 26396

Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegaddle.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdegle0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegle0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑌)
mdegle0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdegle0	⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0})))))

Proof of Theorem mdegle0

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegle0.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		0xr 11357	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		mdegaddle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
4		mdegaddle.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		mdegle0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	mdegleb 26383	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
10	1, 2, 9	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
11	7, 8	tdeglem1 26377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0)
13	12	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0)
14		nn0re 12616	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℝ)
15		nn0ge0 12632	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))
16	14, 15	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0 → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)))
17		ne0gt0 11416	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)))
18	13, 16, 17	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)))
19	7, 8	tdeglem4 26379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
20	19	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
21	20	necon3abid 2991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
22	18, 21	bitr3d 284	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ↔ ¬ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
23	22	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
24		eqeq2 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 × {0})) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
25	24	bibi1d 346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 × {0})) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) → (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))) ↔ ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)))))
26		eqeq2 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝑅) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
27	26	bibi1d 346	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘𝑅) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) → (((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))) ↔ ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)))))
28		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})))
29		pm2.24 125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
30	28, 29	2thd 268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
31	30	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
32		biimt 363	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
33	32	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
34	25, 27, 31, 33	ifbothda 4520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
35	34	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
36	23, 35	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
37	36	ralbidva 3183	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
38		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
39	4, 38, 5, 7, 1	mplelf 22306	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
40	39	feqmptd 6953	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹‘𝑥)))
41		mdegle0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑌)
42		mdegaddle.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
43		mdegaddle.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
44	7	psrbag0 22372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
45	42, 44	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
46	39, 45	ffvelcdmd 7085	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐼 × {0})) ∈ (Base‘𝑅))
47	4, 7, 6, 38, 41, 42, 43, 46	mplascl 22374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0}))) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
48	40, 47	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0}))) ↔ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)))))
49		fvex 6898	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
50	49	rgenw 3080	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) ∈ V
51		mpteqb 7013	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) ∈ V → ((𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
52	50, 51	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
53	48, 52	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0}))) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
54	37, 53	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0})))))
55	10, 54	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0})))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450  ifcif 4481  {csn 4583   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8848  Fincfn 8974  ℝcr 11200  0cc0 11201  ℝ^*cxr 11343   < clt 11344   ≤ cle 11345  ℕcn 12336  ℕ₀cn0 12607  Basecbs 17388  0_gc0g 17611   Σ_g cgsu 17612  Ringcrg 20460  ℂ_fldccnfld 21679  algSccascl 22161   mPoly cmpl 22215   mDeg cmdg 26372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-sup 9435  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-hash 14476  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-hom 17453  df-cco 17454  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-prds 17619  df-pws 17621  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-mhm 18979  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-mulg 19279  df-subg 19334  df-ghm 19429  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-cring 20463  df-subrng 20799  df-subrg 20823  df-cnfld 21680  df-ascl 22164  df-psr 22218  df-mpl 22220  df-mdeg 26374

This theorem is used by:  deg1le0  26430