MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegle0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegle0 26033
Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mdegle0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
mdegle0.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘Œ)
mdegle0.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mdegle0 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ 𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})))))

Proof of Theorem mdegle0
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegle0.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
2 0xr 11299 . . 3 0 ∈ ℝ*
3 mdegaddle.d . . . 4 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
4 mdegaddle.y . . . 4 π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
5 mdegle0.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
6 eqid 2728 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
7 eqid 2728 . . . 4 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
8 eqid 2728 . . . 4 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) = (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))
93, 4, 5, 6, 7, 8mdegleb 26020 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
101, 2, 9sylancl 584 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
117, 8tdeglem1 26011 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0)
1312ffvelcdmda 7099 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
14 nn0re 12519 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
15 nn0ge0 12535 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯))
1614, 15jca 510 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯)))
17 ne0gt0 11357 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯)) β†’ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ 0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯)))
1813, 16, 173syl 18 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ 0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯)))
197, 8tdeglem4 26015 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0})))
2019adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0})))
2120necon3abid 2974 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0})))
2218, 21bitr3d 280 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ↔ Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0})))
2322imbi1d 340 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
24 eqeq2 2740 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
2524bibi1d 342 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))))
26 eqeq2 2740 . . . . . . . 8 ((0gβ€˜π‘…) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
2726bibi1d 342 . . . . . . 7 ((0gβ€˜π‘…) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))))
28 fveq2 6902 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})))
29 pm2.24 124 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))
3028, 292thd 264 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
3130adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0})) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
32 biimt 359 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
3332adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0})) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
3425, 27, 31, 33ifbothda 4570 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
3534adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
3623, 35bitr4d 281 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
3736ralbidva 3173 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
38 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
394, 38, 5, 7, 1mplelf 21947 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
4039feqmptd 6972 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
41 mdegle0.a . . . . . 6 𝐴 = (algScβ€˜π‘Œ)
42 mdegaddle.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
43 mdegaddle.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
447psrbag0 22013 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
4542, 44syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
4639, 45ffvelcdmd 7100 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
474, 7, 6, 38, 41, 42, 43, 46mplascl 22015 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜(πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0}))) = (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
4840, 47eqeq12d 2744 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0}))) ↔ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)))))
49 fvex 6915 . . . . . 6 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
5049rgenw 3062 . . . . 5 βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
51 mpteqb 7029 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V β†’ ((π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
5250, 51mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
5348, 52bitrd 278 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0}))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
5437, 53bitr4d 281 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)) ↔ 𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})))))
5510, 54bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ 𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  {crab 3430  Vcvv 3473  ifcif 4532  {csn 4632   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680  β—‘ccnv 5681   β€œ cima 5685  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8851  Fincfn 8970  β„cr 11145  0cc0 11146  β„*cxr 11285   < clt 11286   ≀ cle 11287  β„•cn 12250  β„•0cn0 12510  Basecbs 17187  0gc0g 17428   Ξ£g cgsu 17429  Ringcrg 20180  β„‚fldccnfld 21286  algSccascl 21793   mPoly cmpl 21846   mDeg cmdg 26006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-cnfld 21287  df-ascl 21796  df-psr 21849  df-mpl 21851  df-mdeg 26008
This theorem is referenced by:  deg1le0  26067
  Copyright terms: Public domain W3C validator