Theorem mdegle0 26271

Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegaddle.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdegle0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegle0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑌)
mdegle0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdegle0	⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0})))))

Proof of Theorem mdegle0

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegle0.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		0xr 11274	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		mdegaddle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
4		mdegaddle.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		mdegle0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7		eqid 2766	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
8		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	mdegleb 26258	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
10	1, 2, 9	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
11	7, 8	tdeglem1 26252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0)
13	12	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0)
14		nn0re 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℝ)
15		nn0ge0 12547	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))
16	14, 15	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0 → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)))
17		ne0gt0 11333	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)))
18	13, 16, 17	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)))
19	7, 8	tdeglem4 26254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
20	19	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
21	20	necon3abid 2997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
22	18, 21	bitr3d 284	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ↔ ¬ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
23	22	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
24		eqeq2 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 × {0})) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
25	24	bibi1d 346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 × {0})) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) → (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))) ↔ ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)))))
26		eqeq2 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝑅) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
27	26	bibi1d 346	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘𝑅) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) → (((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))) ↔ ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)))))
28		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})))
29		pm2.24 125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
30	28, 29	2thd 268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
31	30	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
32		biimt 363	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
33	32	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
34	25, 27, 31, 33	ifbothda 4531	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
35	34	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
36	23, 35	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
37	36	ralbidva 3189	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
38		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
39	4, 38, 5, 7, 1	mplelf 22184	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
40	39	feqmptd 6956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹‘𝑥)))
41		mdegle0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑌)
42		mdegaddle.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
43		mdegaddle.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
44	7	psrbag0 22250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
45	42, 44	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
46	39, 45	ffvelcdmd 7087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐼 × {0})) ∈ (Base‘𝑅))
47	4, 7, 6, 38, 41, 42, 43, 46	mplascl 22252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0}))) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
48	40, 47	eqeq12d 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0}))) ↔ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)))))
49		fvex 6901	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
50	49	rgenw 3086	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) ∈ V
51		mpteqb 7016	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) ∈ V → ((𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
52	50, 51	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
53	48, 52	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0}))) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
54	37, 53	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0})))))
55	10, 54	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0})))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  {crab 3419  Vcvv 3458  ifcif 4492  {csn 4594   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197   × cxp 5664  ^◡ccnv 5665   “ cima 5669  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↑_m cmap 8833  Fincfn 8952  ℝcr 11117  0cc0 11118  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   ≤ cle 11262  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  Basecbs 17294  0_gc0g 17517   Σ_g cgsu 17518  Ringcrg 20346  ℂ_fldccnfld 21559  algSccascl 22039   mPoly cmpl 22093   mDeg cmdg 26247

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-cring 20349  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-cnfld 21560  df-ascl 22042  df-psr 22096  df-mpl 22098  df-mdeg 26249

This theorem is used by:  deg1le0  26305