Theorem mdegle0 26309

Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegaddle.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdegle0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegle0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑌)
mdegle0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdegle0	⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0})))))

Proof of Theorem mdegle0

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegle0.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		0xr 11284	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		mdegaddle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
4		mdegaddle.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		mdegle0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
8		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	mdegleb 26296	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
10	1, 2, 9	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
11	7, 8	tdeglem1 26290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0)
13	12	ffvelcdmda 7081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0)
14		nn0re 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℝ)
15		nn0ge0 12557	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))
16	14, 15	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0 → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)))
17		ne0gt0 11343	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)))
18	13, 16, 17	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)))
19	7, 8	tdeglem4 26292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
20	19	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
21	20	necon3abid 2993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
22	18, 21	bitr3d 284	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ↔ ¬ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
23	22	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
24		eqeq2 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 × {0})) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
25	24	bibi1d 346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 × {0})) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) → (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))) ↔ ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)))))
26		eqeq2 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝑅) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
27	26	bibi1d 346	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘𝑅) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) → (((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))) ↔ ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)))))
28		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})))
29		pm2.24 125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
30	28, 29	2thd 268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
31	30	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
32		biimt 363	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
33	32	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
34	25, 27, 31, 33	ifbothda 4524	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
35	34	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
36	23, 35	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
37	36	ralbidva 3185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
38		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
39	4, 38, 5, 7, 1	mplelf 22218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
40	39	feqmptd 6950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹‘𝑥)))
41		mdegle0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑌)
42		mdegaddle.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
43		mdegaddle.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
44	7	psrbag0 22284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
45	42, 44	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
46	39, 45	ffvelcdmd 7082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐼 × {0})) ∈ (Base‘𝑅))
47	4, 7, 6, 38, 41, 42, 43, 46	mplascl 22286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0}))) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
48	40, 47	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0}))) ↔ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)))))
49		fvex 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
50	49	rgenw 3082	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) ∈ V
51		mpteqb 7010	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) ∈ V → ((𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
52	50, 51	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
53	48, 52	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0}))) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
54	37, 53	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0})))))
55	10, 54	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0})))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  {crab 3414  Vcvv 3453  ifcif 4485  {csn 4587   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8956  ℝcr 11127  0cc0 11128  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   ≤ cle 11272  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  Basecbs 17307  0_gc0g 17530   Σ_g cgsu 17531  Ringcrg 20378  ℂ_fldccnfld 21591  algSccascl 22073   mPoly cmpl 22127   mDeg cmdg 26285

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-prds 17538  df-pws 17540  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-cring 20381  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-cnfld 21592  df-ascl 22076  df-psr 22130  df-mpl 22132  df-mdeg 26287

This theorem is used by:  deg1le0  26343