Theorem mdegle0 25147

Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegaddle.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdegle0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegle0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑌)
mdegle0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdegle0	⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0})))))

Proof of Theorem mdegle0

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegle0.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		0xr 10953	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		mdegaddle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
4		mdegaddle.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		mdegle0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	mdegleb 25134	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
10	1, 2, 9	sylancl 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
11	7, 8	tdeglem1 25125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0)
13	12	ffvelrnda 6943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0)
14		nn0re 12172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℝ)
15		nn0ge0 12188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))
16	14, 15	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℕ0 → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)))
17		ne0gt0 11010	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)))
18	13, 16, 17	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥)))
19	7, 8	tdeglem4 25129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
20	19	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
21	20	necon3abid 2979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
22	18, 21	bitr3d 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) ↔ ¬ 𝑥 = (𝐼 × {0})))
23	22	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
24		eqeq2 2750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 × {0})) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
25	24	bibi1d 343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝐼 × {0})) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) → (((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))) ↔ ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)))))
26		eqeq2 2750	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝑅) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
27	26	bibi1d 343	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘𝑅) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) → (((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))) ↔ ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)))))
28		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})))
29		pm2.24 124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
30	28, 29	2thd 264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
31	30	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐼 × {0})) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
32		biimt 360	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
33	32	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = (𝐼 × {0})) → ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
34	25, 27, 31, 33	ifbothda 4494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 = (𝐼 × {0}) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
36	23, 35	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
37	36	ralbidva 3119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
38		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
39	4, 38, 5, 7, 1	mplelf 21114	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
40	39	feqmptd 6819	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹‘𝑥)))
41		mdegle0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑌)
42		mdegaddle.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
43		mdegaddle.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
44	7	psrbag0 21180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
45	42, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
46	39, 45	ffvelrnd 6944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐼 × {0})) ∈ (Base‘𝑅))
47	4, 7, 6, 38, 41, 42, 43, 46	mplascl 21182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0}))) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
48	40, 47	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0}))) ↔ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅)))))
49		fvex 6769	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
50	49	rgenw 3075	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) ∈ V
51		mpteqb 6876	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) ∈ V → ((𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
52	50, 51	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
53	48, 52	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0}))) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (𝐹‘(𝐼 × {0})), (0g‘𝑅))))
54	37, 53	bitr4d 281	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑅)) ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0})))))
55	10, 54	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ 0 ↔ 𝐹 = (𝐴‘(𝐹‘(𝐼 × {0})))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  {crab 3067  Vcvv 3422  ifcif 4456  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  ℝcr 10801  0cc0 10802  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  Ringcrg 19698  ℂ_fldccnfld 20510  algSccascl 20969   mPoly cmpl 21019   mDeg cmdg 25120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-subrg 19937  df-cnfld 20511  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mpl 21024  df-mdeg 25122

This theorem is referenced by:  deg1le0  25181