MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegle0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegle0 25442
Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mdegle0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
mdegle0.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘Œ)
mdegle0.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mdegle0 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ 𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})))))

Proof of Theorem mdegle0
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegle0.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
2 0xr 11202 . . 3 0 ∈ ℝ*
3 mdegaddle.d . . . 4 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
4 mdegaddle.y . . . 4 π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
5 mdegle0.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
6 eqid 2736 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
7 eqid 2736 . . . 4 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
8 eqid 2736 . . . 4 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) = (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))
93, 4, 5, 6, 7, 8mdegleb 25429 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
101, 2, 9sylancl 586 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
117, 8tdeglem1 25420 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0)
1312ffvelcdmda 7035 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
14 nn0re 12422 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
15 nn0ge0 12438 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯))
1614, 15jca 512 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯)))
17 ne0gt0 11260 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯)) β†’ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ 0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯)))
1813, 16, 173syl 18 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ 0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯)))
197, 8tdeglem4 25424 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0})))
2019adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0})))
2120necon3abid 2980 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0})))
2218, 21bitr3d 280 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) ↔ Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0})))
2322imbi1d 341 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
24 eqeq2 2748 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
2524bibi1d 343 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))))
26 eqeq2 2748 . . . . . . . 8 ((0gβ€˜π‘…) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
2726bibi1d 343 . . . . . . 7 ((0gβ€˜π‘…) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))))
28 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})))
29 pm2.24 124 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))
3028, 292thd 264 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
3130adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0})) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
32 biimt 360 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
3332adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0})) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
3425, 27, 31, 33ifbothda 4524 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
3534adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)) ↔ (Β¬ π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
3623, 35bitr4d 281 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
3736ralbidva 3172 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
38 eqid 2736 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
394, 38, 5, 7, 1mplelf 21404 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
4039feqmptd 6910 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
41 mdegle0.a . . . . . 6 𝐴 = (algScβ€˜π‘Œ)
42 mdegaddle.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
43 mdegaddle.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
447psrbag0 21470 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
4542, 44syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
4639, 45ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
474, 7, 6, 38, 41, 42, 43, 46mplascl 21472 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜(πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0}))) = (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
4840, 47eqeq12d 2752 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0}))) ↔ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…)))))
49 fvex 6855 . . . . . 6 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
5049rgenw 3068 . . . . 5 βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
51 mpteqb 6967 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V β†’ ((π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
5250, 51mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
5348, 52bitrd 278 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0}))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})), (0gβ€˜π‘…))))
5437, 53bitr4d 281 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (0 < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)) ↔ 𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})))))
5510, 54bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ 0 ↔ 𝐹 = (π΄β€˜(πΉβ€˜(𝐼 Γ— {0})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2943  βˆ€wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   Γ— cxp 5631  β—‘ccnv 5632   β€œ cima 5636  βŸΆwf 6492  β€˜cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑m cmap 8765  Fincfn 8883  β„cr 11050  0cc0 11051  β„*cxr 11188   < clt 11189   ≀ cle 11190  β„•cn 12153  β„•0cn0 12413  Basecbs 17083  0gc0g 17321   Ξ£g cgsu 17322  Ringcrg 19964  β„‚fldccnfld 20796  algSccascl 21258   mPoly cmpl 21308   mDeg cmdg 25415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-cnfld 20797  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mpl 21313  df-mdeg 25417
This theorem is referenced by:  deg1le0  25476
  Copyright terms: Public domain W3C validator