MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nllyrest Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nllyrest 23345
Description: An open subspace of an n-locally 𝐴 space is also n-locally 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nllyrest ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
Proof of Theorem nllyrest
Dummy variables 𝑠 𝑒 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 23332 . . 3 (𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 resttop 23019 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Top)
31, 2sylan 579 . 2 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Top)
4 restopn2 23036 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡)))
51, 4sylan 579 . . . 4 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡)))
6 simp1l 1194 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
7 simp2l 1196 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
8 simp3 1135 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
9 nlly2i 23335 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 π‘₯βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
106, 7, 8, 9syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 π‘₯βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
1133ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Top)
12113ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Top)
13 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
14 simp3r2 1279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑒 βŠ† 𝑠)
15 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯)
1615elpwid 4606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 βŠ† π‘₯)
17 simp12r 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐡)
1816, 17sstrd 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
1914, 18sstrd 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑒 βŠ† 𝐡)
2063ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
2120, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
22 simp11r 1282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)
23 restopn2 23036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝑒 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ↔ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐡)))
2421, 22, 23syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ (𝑒 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ↔ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐡)))
2513, 19, 24mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑒 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐡))
26 simp3r1 1278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑒)
27 opnneip 22978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Top ∧ 𝑒 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}))
2812, 25, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}))
29 elssuni 4934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽)
3022, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽)
31 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
3231restuni 23021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝐡 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐡))
3321, 30, 32syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝐡 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐡))
3418, 33sseqtrd 4017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐡))
35 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐡)
3635ssnei2 22975 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Top ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦})) ∧ (𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝑠 ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}))
3712, 28, 14, 34, 36syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}))
3837, 15elind 4189 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯))
39 restabs 23024 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) = (𝐽 β†Ύt 𝑠))
4021, 18, 22, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) = (𝐽 β†Ύt 𝑠))
41 simp3r3 1280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)
4240, 41eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)
4338, 42jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ (𝑠 ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯) ∧ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
44433expa 1115 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ (𝑠 ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯) ∧ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
4544rexlimdvaa 3150 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴) β†’ (𝑠 ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯) ∧ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)))
4645expimpd 453 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)) β†’ (𝑠 ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯) ∧ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)))
4746reximdv2 3158 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 π‘₯βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘  ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
4810, 47mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘  ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)
49483expa 1115 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘  ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)
5049ralrimiva 3140 . . . . 5 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘  ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)
5150ex 412 . . . 4 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘  ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
525, 51sylbid 239 . . 3 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘  ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
5352ralrimiv 3139 . 2 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘  ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)
54 isnlly 23328 . 2 ((𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ↔ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘  ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
553, 53, 54sylanbrc 582 1 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   β†Ύt crest 17375  Topctop 22750  neicnei 22956  π‘›-Locally cnlly 23324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-nei 22957  df-nlly 23326
This theorem is referenced by:  loclly  23346  nllyidm  23348
  Copyright terms: Public domain W3C validator