MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nllyrest Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nllyrest 22981
Description: An open subspace of an n-locally 𝐴 space is also n-locally 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nllyrest ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
Proof of Theorem nllyrest
Dummy variables 𝑠 𝑒 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 22968 . . 3 (𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 resttop 22655 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Top)
31, 2sylan 580 . 2 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Top)
4 restopn2 22672 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡)))
51, 4sylan 580 . . . 4 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡)))
6 simp1l 1197 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
7 simp2l 1199 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
8 simp3 1138 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
9 nlly2i 22971 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 π‘₯βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
106, 7, 8, 9syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 π‘₯βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
1133ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Top)
12113ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Top)
13 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
14 simp3r2 1282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑒 βŠ† 𝑠)
15 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯)
1615elpwid 4610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 βŠ† π‘₯)
17 simp12r 1287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐡)
1816, 17sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
1914, 18sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑒 βŠ† 𝐡)
2063ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
2120, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
22 simp11r 1285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)
23 restopn2 22672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝑒 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ↔ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐡)))
2421, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ (𝑒 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ↔ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐡)))
2513, 19, 24mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑒 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐡))
26 simp3r1 1281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑒)
27 opnneip 22614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Top ∧ 𝑒 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}))
2812, 25, 26, 27syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}))
29 elssuni 4940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽)
3022, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽)
31 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
3231restuni 22657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝐡 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐡))
3321, 30, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝐡 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐡))
3418, 33sseqtrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐡))
35 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐡)
3635ssnei2 22611 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Top ∧ 𝑒 ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦})) ∧ (𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝑠 ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}))
3712, 28, 14, 34, 36syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 ∈ ((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}))
3837, 15elind 4193 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯))
39 restabs 22660 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑠 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) = (𝐽 β†Ύt 𝑠))
4021, 18, 22, 39syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) = (𝐽 β†Ύt 𝑠))
41 simp3r3 1283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)
4240, 41eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)
4338, 42jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ (𝑠 ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯) ∧ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
44433expa 1118 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯) ∧ (𝑒 ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))) β†’ (𝑠 ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯) ∧ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
4544rexlimdvaa 3156 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴) β†’ (𝑠 ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯) ∧ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)))
4645expimpd 454 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((𝑠 ∈ 𝒫 π‘₯ ∧ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)) β†’ (𝑠 ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯) ∧ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)))
4746reximdv2 3164 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 π‘₯βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑦 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑠 ∧ (𝐽 β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘  ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
4810, 47mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘  ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)
49483expa 1118 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘  ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)
5049ralrimiva 3146 . . . . 5 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘  ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)
5150ex 413 . . . 4 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘  ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
525, 51sylbid 239 . . 3 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘  ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
5352ralrimiv 3145 . 2 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘  ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴)
54 isnlly 22964 . 2 ((𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ↔ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘  ∈ (((neiβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝐽 β†Ύt 𝐡) β†Ύt 𝑠) ∈ 𝐴))
553, 53, 54sylanbrc 583 1 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   β†Ύt crest 17362  Topctop 22386  neicnei 22592  π‘›-Locally cnlly 22960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-en 8936  df-fin 8939  df-fi 9402  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-nei 22593  df-nlly 22962
This theorem is referenced by:  loclly  22982  nllyidm  22984
  Copyright terms: Public domain W3C validator