MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txnlly Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem txnlly 23132
Description: If the property 𝐴 is preserved under topological products, then so is the property of being n-locally 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txlly.1 ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑗 Γ—t π‘˜) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
txnlly ((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,𝐴   𝑅,𝑗,π‘˜   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑗)
Proof of Theorem txnlly
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘Ÿ 𝑠 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 22968 . . 3 (𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Top)
2 nllytop 22968 . . 3 (𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ Top)
3 txtop 23064 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top)
41, 2, 3syl2an 596 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top)
5 eltx 23063 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯)))
6 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
7 simprll 777 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑅)
8 simprrl 779 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣))
9 xp1st 8003 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) β†’ (1st β€˜π‘¦) ∈ 𝑒)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ (1st β€˜π‘¦) ∈ 𝑒)
11 nlly2i 22971 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝑅 ∧ (1st β€˜π‘¦) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 π‘’βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 ((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴))
126, 7, 10, 11syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 π‘’βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 ((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴))
13 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
14 simprlr 778 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑣 ∈ 𝑆)
15 xp2nd 8004 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) β†’ (2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑣)
168, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ (2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑣)
17 nlly2i 22971 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ (2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘£βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))
1813, 14, 16, 17syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘£βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))
19 reeanv 3226 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 π‘’βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 𝑣(βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 ((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 π‘’βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 ((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘£βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)))
20 reeanv 3226 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)) ↔ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 ((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)))
214ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top)
221ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑅 ∈ Top)
2322ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑅 ∈ Top)
2413, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑆 ∈ Top)
2524ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑆 ∈ Top)
26 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑅)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑅)
28 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
30 txopn 23097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
3123, 25, 27, 29, 30syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
328ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣))
33 1st2nd2 8010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) β†’ 𝑦 = ⟨(1st β€˜π‘¦), (2nd β€˜π‘¦)⟩)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑦 = ⟨(1st β€˜π‘¦), (2nd β€˜π‘¦)⟩)
35 simprl1 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ)
36 simprr1 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠)
3735, 36opelxpd 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ ⟨(1st β€˜π‘¦), (2nd β€˜π‘¦)⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
3834, 37eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
39 opnneip 22614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ ((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}))
4021, 31, 38, 39syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ ((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}))
41 simprl2 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž)
42 simprr2 1222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑏)
43 xpss12 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏))
4441, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏))
45 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒)
4746elpwid 4610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑒)
487ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑅)
49 elssuni 4940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 ∈ 𝑅 β†’ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑅)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑅)
5147, 50sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑅)
52 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) β†’ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣)
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣)
5453elpwid 4610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑏 βŠ† 𝑣)
5514ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑣 ∈ 𝑆)
56 elssuni 4940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 ∈ 𝑆 β†’ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝑆)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝑆)
5854, 57sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑆)
59 xpss12 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
6051, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
61 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
62 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
6361, 62txuni 23087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
6423, 25, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
6560, 64sseqtrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
66 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)
6766ssnei2 22611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ ((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦})) ∧ ((π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏) ∧ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ ((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}))
6821, 40, 44, 65, 67syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ ((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}))
69 xpss12 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Ž βŠ† 𝑒 ∧ 𝑏 βŠ† 𝑣) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝑒 Γ— 𝑣))
7047, 54, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝑒 Γ— 𝑣))
71 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯)
7271ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯)
7370, 72sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† π‘₯)
74 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π‘₯ ∈ V
7574elpw2 5344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ 𝒫 π‘₯ ↔ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† π‘₯)
7673, 75sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ 𝒫 π‘₯)
7768, 76elind 4193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯))
78 txrest 23126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣)) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (π‘Ž Γ— 𝑏)) = ((𝑅 β†Ύt π‘Ž) Γ—t (𝑆 β†Ύt 𝑏)))
7923, 25, 46, 53, 78syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (π‘Ž Γ— 𝑏)) = ((𝑅 β†Ύt π‘Ž) Γ—t (𝑆 β†Ύt 𝑏)))
80 simprl3 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴)
81 simprr3 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)
82 txlly.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑗 Γ—t π‘˜) ∈ 𝐴)
8382caovcl 7597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑅 β†Ύt π‘Ž) Γ—t (𝑆 β†Ύt 𝑏)) ∈ 𝐴)
8480, 81, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ ((𝑅 β†Ύt π‘Ž) Γ—t (𝑆 β†Ύt 𝑏)) ∈ 𝐴)
8579, 84eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (π‘Ž Γ— 𝑏)) ∈ 𝐴)
86 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (π‘Ž Γ— 𝑏) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) = ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (π‘Ž Γ— 𝑏)))
8786eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (π‘Ž Γ— 𝑏) β†’ (((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (π‘Ž Γ— 𝑏)) ∈ 𝐴))
8887rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯) ∧ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (π‘Ž Γ— 𝑏)) ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴)
8977, 85, 88syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴)
9089ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) β†’ ((((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
9190anassrs 468 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ ((((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
9291rexlimdvva 3211 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
9320, 92biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣)) β†’ ((βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 ((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
9493rexlimdvva 3211 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 π‘’βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 𝑣(βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 ((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
9519, 94biimtrrid 242 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ ((βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 π‘’βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 ((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘£βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
9612, 18, 95mp2and 697 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴)
9796expr 457 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
9897rexlimdvva 3211 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
9998ralimdv 3169 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
1005, 99sylbid 239 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
101100ralrimiv 3145 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴)
102 isnlly 22964 . 2 ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ↔ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
1034, 101, 102sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907   Γ— cxp 5673  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970   β†Ύt crest 17362  Topctop 22386  neicnei 22592  π‘›-Locally cnlly 22960   Γ—t ctx 23055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-nei 22593  df-nlly 22962  df-tx 23057
This theorem is referenced by:  xkohmeo  23310  cvmlift2lem13  34294
  Copyright terms: Public domain W3C validator