MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txnlly Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem txnlly 23561
Description: If the property 𝐴 is preserved under topological products, then so is the property of being n-locally 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txlly.1 ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑗 Γ—t π‘˜) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
txnlly ((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,𝐴   𝑅,𝑗,π‘˜   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑗)
Proof of Theorem txnlly
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘Ÿ 𝑠 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 23397 . . 3 (𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Top)
2 nllytop 23397 . . 3 (𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ Top)
3 txtop 23493 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top)
41, 2, 3syl2an 594 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top)
5 eltx 23492 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯)))
6 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
7 simprll 777 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑅)
8 simprrl 779 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣))
9 xp1st 8031 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) β†’ (1st β€˜π‘¦) ∈ 𝑒)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ (1st β€˜π‘¦) ∈ 𝑒)
11 nlly2i 23400 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝑅 ∧ (1st β€˜π‘¦) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 π‘’βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 ((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴))
126, 7, 10, 11syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 π‘’βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 ((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴))
13 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
14 simprlr 778 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑣 ∈ 𝑆)
15 xp2nd 8032 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) β†’ (2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑣)
168, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ (2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑣)
17 nlly2i 23400 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ (2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘£βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))
1813, 14, 16, 17syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘£βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))
19 reeanv 3224 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 π‘’βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 𝑣(βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 ((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 π‘’βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 ((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘£βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)))
20 reeanv 3224 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)) ↔ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 ((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)))
214ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top)
221ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑅 ∈ Top)
2322ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑅 ∈ Top)
2413, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ 𝑆 ∈ Top)
2524ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑆 ∈ Top)
26 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑅)
2726adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑅)
28 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
2928adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
30 txopn 23526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
3123, 25, 27, 29, 30syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
328ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣))
33 1st2nd2 8038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) β†’ 𝑦 = ⟨(1st β€˜π‘¦), (2nd β€˜π‘¦)⟩)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑦 = ⟨(1st β€˜π‘¦), (2nd β€˜π‘¦)⟩)
35 simprl1 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ)
36 simprr1 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠)
3735, 36opelxpd 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ ⟨(1st β€˜π‘¦), (2nd β€˜π‘¦)⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
3834, 37eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
39 opnneip 23043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ ((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}))
4021, 31, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ ((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}))
41 simprl2 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž)
42 simprr2 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑏)
43 xpss12 5697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏))
4441, 42, 43syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏))
45 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒)
4645adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒)
4746elpwid 4615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑒)
487ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑅)
49 elssuni 4944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 ∈ 𝑅 β†’ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑅)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑅)
5147, 50sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑅)
52 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) β†’ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣)
5352adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣)
5453elpwid 4615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑏 βŠ† 𝑣)
5514ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑣 ∈ 𝑆)
56 elssuni 4944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 ∈ 𝑆 β†’ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝑆)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝑆)
5854, 57sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑆)
59 xpss12 5697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑏 βŠ† βˆͺ 𝑆) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
6051, 58, 59syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
61 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
62 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
6361, 62txuni 23516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
6423, 25, 63syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
6560, 64sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
66 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)
6766ssnei2 23040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ ((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦})) ∧ ((π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏) ∧ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ ((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}))
6821, 40, 44, 65, 67syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ ((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}))
69 xpss12 5697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Ž βŠ† 𝑒 ∧ 𝑏 βŠ† 𝑣) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝑒 Γ— 𝑣))
7047, 54, 69syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝑒 Γ— 𝑣))
71 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯)
7271ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯)
7370, 72sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† π‘₯)
74 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π‘₯ ∈ V
7574elpw2 5351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ 𝒫 π‘₯ ↔ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† π‘₯)
7673, 75sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ 𝒫 π‘₯)
7768, 76elind 4196 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯))
78 txrest 23555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣)) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (π‘Ž Γ— 𝑏)) = ((𝑅 β†Ύt π‘Ž) Γ—t (𝑆 β†Ύt 𝑏)))
7923, 25, 46, 53, 78syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (π‘Ž Γ— 𝑏)) = ((𝑅 β†Ύt π‘Ž) Γ—t (𝑆 β†Ύt 𝑏)))
80 simprl3 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴)
81 simprr3 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)
82 txlly.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑗 Γ—t π‘˜) ∈ 𝐴)
8382caovcl 7621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑅 β†Ύt π‘Ž) Γ—t (𝑆 β†Ύt 𝑏)) ∈ 𝐴)
8480, 81, 83syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ ((𝑅 β†Ύt π‘Ž) Γ—t (𝑆 β†Ύt 𝑏)) ∈ 𝐴)
8579, 84eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (π‘Ž Γ— 𝑏)) ∈ 𝐴)
86 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (π‘Ž Γ— 𝑏) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) = ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (π‘Ž Γ— 𝑏)))
8786eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (π‘Ž Γ— 𝑏) β†’ (((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (π‘Ž Γ— 𝑏)) ∈ 𝐴))
8887rspcev 3611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯) ∧ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (π‘Ž Γ— 𝑏)) ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴)
8977, 85, 88syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) ∧ (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴)
9089ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))) β†’ ((((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
9190anassrs 466 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ ((((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
9291rexlimdvva 3209 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
9320, 92biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑒 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑣)) β†’ ((βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 ((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
9493rexlimdvva 3209 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 π‘’βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 𝑣(βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 ((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
9519, 94biimtrrid 242 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ ((βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 π‘’βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 ((1st β€˜π‘¦) ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† π‘Ž ∧ (𝑅 β†Ύt π‘Ž) ∈ 𝐴) ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘£βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((2nd β€˜π‘¦) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑏 ∧ (𝑆 β†Ύt 𝑏) ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
9612, 18, 95mp2and 697 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ ((𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴)
9796expr 455 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
9897rexlimdvva 3209 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
9998ralimdv 3166 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
1005, 99sylbid 239 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
101100ralrimiv 3142 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴)
102 isnlly 23393 . 2 ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ↔ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ (((neiβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))β€˜{𝑦}) ∩ 𝒫 π‘₯)((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt 𝑧) ∈ 𝐴))
1034, 101, 102sylanbrc 581 1 ((𝑅 ∈ 𝑛-Locally 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝑛-Locally 𝐴) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606  {csn 4632  βŸ¨cop 4638  βˆͺ cuni 4912   Γ— cxp 5680  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1st c1st 7997  2nd c2nd 7998   β†Ύt crest 17409  Topctop 22815  neicnei 23021  π‘›-Locally cnlly 23389   Γ—t ctx 23484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-rest 17411  df-topgen 17432  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-nei 23022  df-nlly 23391  df-tx 23486
This theorem is referenced by:  xkohmeo  23739  cvmlift2lem13  34958
  Copyright terms: Public domain W3C validator