Theorem nosepeq 33888

Description: The values of two surreals at a point less than their separators are equal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nosepeq	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → (𝐴‘𝑋) = (𝐵‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋

Proof of Theorem nosepeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nosepon 33868	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ On)
2		onelon 6291	. . . 4 ⊢ ((∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ On ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → 𝑋 ∈ On)
3	1, 2	sylan 580	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → 𝑋 ∈ On)
4		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)})
5		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑋))
6		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵‘𝑥) = (𝐵‘𝑋))
7	5, 6	neeq12d 3005	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥) ↔ (𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋)))
8	7	onnminsb 7649	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ On → (𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} → ¬ (𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋)))
9	3, 4, 8	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → ¬ (𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋))
10		df-ne 2944	. . 3 ⊢ ((𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋) ↔ ¬ (𝐴‘𝑋) = (𝐵‘𝑋))
11	10	con2bii 358	. 2 ⊢ ((𝐴‘𝑋) = (𝐵‘𝑋) ↔ ¬ (𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋))
12	9, 11	sylibr 233	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → (𝐴‘𝑋) = (𝐵‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {crab 3068  ∩ cint 4879  Oncon0 6266  ‘cfv 6433   No csur 33843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-1o 8297  df-2o 8298  df-no 33846

This theorem is referenced by:  nosepssdm  33889  nodenselem7  33893