Theorem nosepeq 27922

Description: The values of two surreals at a point less than their separators are equal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nosepeq	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → (𝐴‘𝑋) = (𝐵‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋

Proof of Theorem nosepeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nosepon 27902	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ On)
2		onelon 6382	. . . 4 ⊢ ((∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ On ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → 𝑋 ∈ On)
3	1, 2	sylan 592	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → 𝑋 ∈ On)
4		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)})
5		fveq2 6879	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑋))
6		fveq2 6879	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵‘𝑥) = (𝐵‘𝑋))
7	5, 6	neeq12d 3016	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥) ↔ (𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋)))
8	7	onnminsb 7799	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ On → (𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} → ¬ (𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋)))
9	3, 4, 8	sylc 66	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → ¬ (𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋))
10		df-ne 2956	. . 3 ⊢ ((𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋) ↔ ¬ (𝐴‘𝑋) = (𝐵‘𝑋))
11	10	con2bii 360	. 2 ⊢ ((𝐴‘𝑋) = (𝐵‘𝑋) ↔ ¬ (𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋))
12	9, 11	sylibr 237	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → (𝐴‘𝑋) = (𝐵‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412  ∩ cint 4907  Oncon0 6357  ‘cfv 6533   No csur 27877

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-1o 8456  df-2o 8457  df-no 27880

This theorem is used by:  nosepssdm  27923  nodenselem7  27927