MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nosepeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nosepeq 27534
Description: The values of two surreals at a point less than their separators are equal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
nosepeq (((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) ∧ 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)}) → (𝐴𝑋) = (𝐵𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋

Proof of Theorem nosepeq
StepHypRef Expression
1 nosepon 27514 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)} ∈ On)
2 onelon 6379 . . . 4 (( {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)} ∈ On ∧ 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)}) → 𝑋 ∈ On)
31, 2sylan 579 . . 3 (((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) ∧ 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)}) → 𝑋 ∈ On)
4 simpr 484 . . 3 (((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) ∧ 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)}) → 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)})
5 fveq2 6881 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑋))
6 fveq2 6881 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑋))
75, 6neeq12d 2994 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ (𝐴𝑋) ≠ (𝐵𝑋)))
87onnminsb 7780 . . 3 (𝑋 ∈ On → (𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)} → ¬ (𝐴𝑋) ≠ (𝐵𝑋)))
93, 4, 8sylc 65 . 2 (((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) ∧ 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)}) → ¬ (𝐴𝑋) ≠ (𝐵𝑋))
10 df-ne 2933 . . 3 ((𝐴𝑋) ≠ (𝐵𝑋) ↔ ¬ (𝐴𝑋) = (𝐵𝑋))
1110con2bii 357 . 2 ((𝐴𝑋) = (𝐵𝑋) ↔ ¬ (𝐴𝑋) ≠ (𝐵𝑋))
129, 11sylibr 233 1 (((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) ∧ 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)}) → (𝐴𝑋) = (𝐵𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  {crab 3424   cint 4940  Oncon0 6354  cfv 6533   No csur 27489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-1o 8461  df-2o 8462  df-no 27492
This theorem is referenced by:  nosepssdm  27535  nodenselem7  27539
  Copyright terms: Public domain W3C validator