Theorem nosepeq 27573

Description: The values of two surreals at a point less than their separators are equal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nosepeq	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → (𝐴‘𝑋) = (𝐵‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋

Proof of Theorem nosepeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nosepon 27553	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ On)
2		onelon 6345	. . . 4 ⊢ ((∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ On ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → 𝑋 ∈ On)
3	1, 2	sylan 580	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → 𝑋 ∈ On)
4		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)})
5		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑋))
6		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵‘𝑥) = (𝐵‘𝑋))
7	5, 6	neeq12d 2986	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥) ↔ (𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋)))
8	7	onnminsb 7755	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ On → (𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} → ¬ (𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋)))
9	3, 4, 8	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → ¬ (𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋))
10		df-ne 2926	. . 3 ⊢ ((𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋) ↔ ¬ (𝐴‘𝑋) = (𝐵‘𝑋))
11	10	con2bii 357	. 2 ⊢ ((𝐴‘𝑋) = (𝐵‘𝑋) ↔ ¬ (𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋))
12	9, 11	sylibr 234	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → (𝐴‘𝑋) = (𝐵‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3402  ∩ cint 4906  Oncon0 6320  ‘cfv 6499   No csur 27527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-1o 8411  df-2o 8412  df-no 27530

This theorem is referenced by:  nosepssdm  27574  nodenselem7  27578