MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climabs0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climabs0 14930
Description: Convergence to zero of the absolute value is equivalent to convergence to zero. (Contributed by NM, 8-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climabs0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climabs0.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climabs0.3 (𝜑𝐹𝑉)
climabs0.4 (𝜑𝐺𝑊)
climabs0.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climabs0.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climabs0 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ 𝐺 ⇝ 0))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climabs0
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climabs0.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
21uztrn2 12250 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
3 climabs0.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4 absidm 14671 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) = (abs‘(𝐹𝑘)))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) = (abs‘(𝐹𝑘)))
65breq1d 5067 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
72, 6sylan2 592 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
87anassrs 468 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
98ralbidva 3193 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
109rexbidva 3293 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
1110ralbidv 3194 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
12 climabs0.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 climabs0.4 . . 3 (𝜑𝐺𝑊)
14 climabs0.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
153abscld 14784 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
1615recnd 10657 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
171, 12, 13, 14, 16clim0c 14852 . 2 (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹𝑘))) < 𝑥))
18 climabs0.3 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
19 eqidd 2819 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
201, 12, 18, 19, 3clim0c 14852 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
2111, 17, 203bitr4rd 313 1 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ 𝐺 ⇝ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136   class class class wbr 5057  cfv 6348  cc 10523  0cc0 10525   < clt 10663  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  abscabs 14581  cli 14829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833
This theorem is referenced by:  expcnv  15207  explecnv  15208  plyeq0lem  24727
  Copyright terms: Public domain W3C validator