Theorem climabs0 14934

Description: Convergence to zero of the absolute value is equivalent to convergence to zero. (Contributed by NM, 8-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climabs0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climabs0.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climabs0.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climabs0.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climabs0.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climabs0.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climabs0	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ 𝐺 ⇝ 0))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climabs0

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climabs0.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	uztrn2 12250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
3		climabs0.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
4		absidm 14675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
6	5	breq1d 5040	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
7	2, 6	sylan2 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
8	7	anassrs 471	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
9	8	ralbidva 3161	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
10	9	rexbidva 3255	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
11	10	ralbidv 3162	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
12		climabs0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		climabs0.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
14		climabs0.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
15	3	abscld 14788	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 10658	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
17	1, 12, 13, 14, 16	clim0c 14856	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
18		climabs0.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
19		eqidd 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
20	1, 12, 18, 19, 3	clim0c 14856	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
21	11, 17, 20	3bitr4rd 315	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ 𝐺 ⇝ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  ℂcc 10524  0cc0 10526   < clt 10664  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ℝ⁺crp 12377  abscabs 14585   ⇝ cli 14833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837

This theorem is referenced by:  expcnv  15211  explecnv  15212  plyeq0lem  24807