Theorem climabs0 15535

Description: Convergence to zero of the absolute value is equivalent to convergence to zero. (Contributed by NM, 8-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climabs0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climabs0.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climabs0.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climabs0.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climabs0.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climabs0.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climabs0	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ 𝐺 ⇝ 0))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climabs0

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climabs0.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	uztrn2 12845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
3		climabs0.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
4		absidm 15276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
6	5	breq1d 5151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
7	2, 6	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
8	7	anassrs 467	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
9	8	ralbidva 3169	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
10	9	rexbidva 3170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
11	10	ralbidv 3171	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
12		climabs0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		climabs0.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
14		climabs0.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
15	3	abscld 15389	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11246	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
17	1, 12, 13, 14, 16	clim0c 15457	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑥))
18		climabs0.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
19		eqidd 2727	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
20	1, 12, 18, 19, 3	clim0c 15457	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
21	11, 17, 20	3bitr4rd 312	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ 𝐺 ⇝ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  ℂcc 11110  0cc0 11112   < clt 11252  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  ℝ⁺crp 12980  abscabs 15187   ⇝ cli 15434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438

This theorem is referenced by:  expcnv  15816  explecnv  15817  plyeq0lem  26099