Theorem voncmpl 46619

Description: The Lebesgue measure is complete. See Definition 112Df of [Fremlin1] p. 19. This is an observation written after Definition 115E of [Fremlin1] p. 31. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
voncmpl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
voncmpl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
voncmpl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋))
voncmpl.z	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = 0)
voncmpl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
voncmpl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem voncmpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		voncmpl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2	1	ovnome 46571	. . 3 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ ∪ dom (voln*‘𝑋) = ∪ dom (voln*‘𝑋)
4		voncmpl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐸)
5	1	dmvon 46604	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
6		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋))
7	6	caragenss 46502	. . . . . . . 8 ⊢ ((voln*‘𝑋) ∈ OutMeas → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
8	2, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
9	5, 8	eqsstrd 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
10		voncmpl.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋))
11	9, 10	sseldd 3947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ dom (voln*‘𝑋))
12		elssuni 4901	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
14	4, 13	sstrd 3957	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
15		voncmpl.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = 0)
16	15	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 = ((voln‘𝑋)‘𝐸))
17	1	vonval 46538	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) = ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
18	17	fveq1d 6860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸))
19	16, 18	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸))
20		voncmpl.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = dom (voln‘𝑋))
22	21, 5	eqtr2d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = 𝑆)
23	22	reseq2d 5950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))) = ((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆))
24	23	fveq1d 6860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸) = (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸))
25	10, 20	eleqtrrdi 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
26		fvres 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸) = ((voln*‘𝑋)‘𝐸))
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸) = ((voln*‘𝑋)‘𝐸))
28	19, 24, 27	3eqtrrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐸) = 0)
29	2, 3, 13, 28, 4	omess0 46532	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐹) = 0)
30	2, 3, 14, 29, 6	caragencmpl 46533	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
31	30, 22	eleqtrd 2830	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871  dom cdm 5638   ↾ cres 5640  ‘cfv 6511  Fincfn 8918  0cc0 11068  OutMeascome 46487  CaraGenccaragen 46489  voln*covoln 46534  volncvoln 46536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388  ax-ac2 10416  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-acn 9895  df-ac 10069  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-prod 15870  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-cmp 23274  df-ovol 25365  df-vol 25366  df-sumge0 46361  df-ome 46488  df-caragen 46490  df-ovoln 46535  df-voln 46537

This theorem is referenced by: (None)