Theorem voncmpl 47547

Description: The Lebesgue measure is complete. See Definition 112Df of [Fremlin1] p. 19. This is an observation written after Definition 115E of [Fremlin1] p. 31. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
voncmpl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
voncmpl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
voncmpl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋))
voncmpl.z	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = 0)
voncmpl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
voncmpl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem voncmpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		voncmpl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2	1	ovnome 47499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ ∪ dom (voln*‘𝑋) = ∪ dom (voln*‘𝑋)
4		voncmpl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐸)
5	1	dmvon 47532	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
6		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋))
7	6	caragenss 47430	. . . . . . . 8 ⊢ ((voln*‘𝑋) ∈ OutMeas → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
8	2, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
9	5, 8	eqsstrd 3965	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
10		voncmpl.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋))
11	9, 10	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ dom (voln*‘𝑋))
12		elssuni 4899	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
13	11, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
14	4, 13	sstrd 3941	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
15		voncmpl.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = 0)
16	15	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 = ((voln‘𝑋)‘𝐸))
17	1	vonval 47466	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) = ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
18	17	fveq1d 6876	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸))
19	16, 18	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸))
20		voncmpl.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = dom (voln‘𝑋))
22	21, 5	eqtr2d 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = 𝑆)
23	22	reseq2d 5967	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))) = ((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆))
24	23	fveq1d 6876	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸) = (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸))
25	10, 20	eleqtrrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
26		fvres 6893	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸) = ((voln*‘𝑋)‘𝐸))
27	25, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸) = ((voln*‘𝑋)‘𝐸))
28	19, 24, 27	3eqtrrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐸) = 0)
29	2, 3, 13, 28, 4	omess0 47460	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐹) = 0)
30	2, 3, 14, 29, 6	caragencmpl 47461	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
31	30, 22	eleqtrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867  dom cdm 5648   ↾ cres 5650  ‘cfv 6528  Fincfn 8952  0cc0 11157  OutMeascome 47415  CaraGenccaragen 47417  voln*covoln 47462  volncvoln 47464

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cc 10470  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-ioo 13435  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-clim 15608  df-rlim 15609  df-sum 15807  df-prod 16026  df-rest 17540  df-topgen 17561  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-mopn 21621  df-top 23159  df-topon 23176  df-bases 23211  df-cmp 23652  df-ovol 25732  df-vol 25733  df-sumge0 47289  df-ome 47416  df-caragen 47418  df-ovoln 47463  df-voln 47465

This theorem is used by: (None)