Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  voncmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem voncmpl 45636
Description: The Lebesgue measure is complete. See Definition 112Df of [Fremlin1] p. 19. This is an observation written after Definition 115E of [Fremlin1] p. 31. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
voncmpl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
voncmpl.s 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
voncmpl.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
voncmpl.z (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΈ) = 0)
voncmpl.f (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† 𝐸)
Assertion
Ref Expression
voncmpl (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem voncmpl
StepHypRef Expression
1 voncmpl.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
21ovnome 45588 . . 3 (πœ‘ β†’ (voln*β€˜π‘‹) ∈ OutMeas)
3 eqid 2732 . . 3 βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹) = βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹)
4 voncmpl.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† 𝐸)
51dmvon 45621 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom (volnβ€˜π‘‹) = (CaraGenβ€˜(voln*β€˜π‘‹)))
6 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (CaraGenβ€˜(voln*β€˜π‘‹)) = (CaraGenβ€˜(voln*β€˜π‘‹))
76caragenss 45519 . . . . . . . 8 ((voln*β€˜π‘‹) ∈ OutMeas β†’ (CaraGenβ€˜(voln*β€˜π‘‹)) βŠ† dom (voln*β€˜π‘‹))
82, 7syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (CaraGenβ€˜(voln*β€˜π‘‹)) βŠ† dom (voln*β€˜π‘‹))
95, 8eqsstrd 4020 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (volnβ€˜π‘‹) βŠ† dom (voln*β€˜π‘‹))
10 voncmpl.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
119, 10sseldd 3983 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ dom (voln*β€˜π‘‹))
12 elssuni 4941 . . . . 5 (𝐸 ∈ dom (voln*β€˜π‘‹) β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹))
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹))
144, 13sstrd 3992 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† βˆͺ dom (voln*β€˜π‘‹))
15 voncmpl.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΈ) = 0)
1615eqcomd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΈ))
171vonval 45555 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (volnβ€˜π‘‹) = ((voln*β€˜π‘‹) β†Ύ (CaraGenβ€˜(voln*β€˜π‘‹))))
1817fveq1d 6893 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΈ) = (((voln*β€˜π‘‹) β†Ύ (CaraGenβ€˜(voln*β€˜π‘‹)))β€˜πΈ))
1916, 18eqtrd 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 = (((voln*β€˜π‘‹) β†Ύ (CaraGenβ€˜(voln*β€˜π‘‹)))β€˜πΈ))
20 voncmpl.s . . . . . . . . 9 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹))
2221, 5eqtr2d 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (CaraGenβ€˜(voln*β€˜π‘‹)) = 𝑆)
2322reseq2d 5981 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹) β†Ύ (CaraGenβ€˜(voln*β€˜π‘‹))) = ((voln*β€˜π‘‹) β†Ύ 𝑆))
2423fveq1d 6893 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((voln*β€˜π‘‹) β†Ύ (CaraGenβ€˜(voln*β€˜π‘‹)))β€˜πΈ) = (((voln*β€˜π‘‹) β†Ύ 𝑆)β€˜πΈ))
2510, 20eleqtrrdi 2844 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
26 fvres 6910 . . . . . 6 (𝐸 ∈ 𝑆 β†’ (((voln*β€˜π‘‹) β†Ύ 𝑆)β€˜πΈ) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΈ))
2725, 26syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((voln*β€˜π‘‹) β†Ύ 𝑆)β€˜πΈ) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΈ))
2819, 24, 273eqtrrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΈ) = 0)
292, 3, 13, 28, 4omess0 45549 . . 3 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΉ) = 0)
302, 3, 14, 29, 6caragencmpl 45550 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (CaraGenβ€˜(voln*β€˜π‘‹)))
3130, 22eleqtrd 2835 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  Fincfn 8941  0cc0 11112  OutMeascome 45504  CaraGenccaragen 45506  voln*covoln 45551  volncvoln 45553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-prod 15854  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-0g 17391  df-topgen 17393  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cmp 23111  df-ovol 25205  df-vol 25206  df-sumge0 45378  df-ome 45505  df-caragen 45507  df-ovoln 45552  df-voln 45554
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator