Theorem voncmpl 46612

Description: The Lebesgue measure is complete. See Definition 112Df of [Fremlin1] p. 19. This is an observation written after Definition 115E of [Fremlin1] p. 31. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
voncmpl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
voncmpl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
voncmpl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋))
voncmpl.z	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = 0)
voncmpl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
voncmpl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem voncmpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		voncmpl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2	1	ovnome 46564	. . 3 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ ∪ dom (voln*‘𝑋) = ∪ dom (voln*‘𝑋)
4		voncmpl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐸)
5	1	dmvon 46597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
6		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋))
7	6	caragenss 46495	. . . . . . . 8 ⊢ ((voln*‘𝑋) ∈ OutMeas → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
8	2, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
9	5, 8	eqsstrd 3983	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
10		voncmpl.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋))
11	9, 10	sseldd 3949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ dom (voln*‘𝑋))
12		elssuni 4903	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
14	4, 13	sstrd 3959	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
15		voncmpl.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = 0)
16	15	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 = ((voln‘𝑋)‘𝐸))
17	1	vonval 46531	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) = ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
18	17	fveq1d 6862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸))
19	16, 18	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸))
20		voncmpl.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = dom (voln‘𝑋))
22	21, 5	eqtr2d 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = 𝑆)
23	22	reseq2d 5952	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))) = ((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆))
24	23	fveq1d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸) = (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸))
25	10, 20	eleqtrrdi 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
26		fvres 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸) = ((voln*‘𝑋)‘𝐸))
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸) = ((voln*‘𝑋)‘𝐸))
28	19, 24, 27	3eqtrrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐸) = 0)
29	2, 3, 13, 28, 4	omess0 46525	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐹) = 0)
30	2, 3, 14, 29, 6	caragencmpl 46526	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
31	30, 22	eleqtrd 2831	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3916  ∪ cuni 4873  dom cdm 5640   ↾ cres 5642  ‘cfv 6513  Fincfn 8920  0cc0 11074  OutMeascome 46480  CaraGenccaragen 46482  voln*covoln 46527  volncvoln 46529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cc 10394  ax-ac2 10422  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fi 9368  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-dju 9860  df-card 9898  df-acn 9901  df-ac 10075  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-xneg 13078  df-xadd 13079  df-xmul 13080  df-ioo 13316  df-ico 13318  df-icc 13319  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14302  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-clim 15460  df-rlim 15461  df-sum 15659  df-prod 15876  df-rest 17391  df-topgen 17412  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-top 22787  df-topon 22804  df-bases 22839  df-cmp 23280  df-ovol 25371  df-vol 25372  df-sumge0 46354  df-ome 46481  df-caragen 46483  df-ovoln 46528  df-voln 46530

This theorem is referenced by: (None)