Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  voncmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem voncmpl 46636
Description: The Lebesgue measure is complete. See Definition 112Df of [Fremlin1] p. 19. This is an observation written after Definition 115E of [Fremlin1] p. 31. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
voncmpl.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
voncmpl.s 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
voncmpl.e (𝜑𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋))
voncmpl.z (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = 0)
voncmpl.f (𝜑𝐹𝐸)
Assertion
Ref Expression
voncmpl (𝜑𝐹𝑆)

Proof of Theorem voncmpl
StepHypRef Expression
1 voncmpl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21ovnome 46588 . . 3 (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
3 eqid 2737 . . 3 dom (voln*‘𝑋) = dom (voln*‘𝑋)
4 voncmpl.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐸)
51dmvon 46621 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
6 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋))
76caragenss 46519 . . . . . . . 8 ((voln*‘𝑋) ∈ OutMeas → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
82, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
95, 8eqsstrd 4018 . . . . . 6 (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
10 voncmpl.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋))
119, 10sseldd 3984 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ dom (voln*‘𝑋))
12 elssuni 4937 . . . . 5 (𝐸 ∈ dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 dom (voln*‘𝑋))
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝐸 dom (voln*‘𝑋))
144, 13sstrd 3994 . . 3 (𝜑𝐹 dom (voln*‘𝑋))
15 voncmpl.z . . . . . . 7 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = 0)
1615eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑 → 0 = ((voln‘𝑋)‘𝐸))
171vonval 46555 . . . . . . 7 (𝜑 → (voln‘𝑋) = ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
1817fveq1d 6908 . . . . . 6 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸))
1916, 18eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → 0 = (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸))
20 voncmpl.s . . . . . . . . 9 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = dom (voln‘𝑋))
2221, 5eqtr2d 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = 𝑆)
2322reseq2d 5997 . . . . . 6 (𝜑 → ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))) = ((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆))
2423fveq1d 6908 . . . . 5 (𝜑 → (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸) = (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸))
2510, 20eleqtrrdi 2852 . . . . . 6 (𝜑𝐸𝑆)
26 fvres 6925 . . . . . 6 (𝐸𝑆 → (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸) = ((voln*‘𝑋)‘𝐸))
2725, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸) = ((voln*‘𝑋)‘𝐸))
2819, 24, 273eqtrrd 2782 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐸) = 0)
292, 3, 13, 28, 4omess0 46549 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐹) = 0)
302, 3, 14, 29, 6caragencmpl 46550 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
3130, 22eleqtrd 2843 1 (𝜑𝐹𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951   cuni 4907  dom cdm 5685  cres 5687  cfv 6561  Fincfn 8985  0cc0 11155  OutMeascome 46504  CaraGenccaragen 46506  voln*covoln 46551  volncvoln 46553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-prod 15940  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cmp 23395  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-sumge0 46378  df-ome 46505  df-caragen 46507  df-ovoln 46552  df-voln 46554
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator