Theorem voncmpl 46612

Description: The Lebesgue measure is complete. See Definition 112Df of [Fremlin1] p. 19. This is an observation written after Definition 115E of [Fremlin1] p. 31. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
voncmpl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
voncmpl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
voncmpl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋))
voncmpl.z	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = 0)
voncmpl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
voncmpl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem voncmpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		voncmpl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2	1	ovnome 46564	. . 3 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ ∪ dom (voln*‘𝑋) = ∪ dom (voln*‘𝑋)
4		voncmpl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐸)
5	1	dmvon 46597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
6		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋))
7	6	caragenss 46495	. . . . . . . 8 ⊢ ((voln*‘𝑋) ∈ OutMeas → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
8	2, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
9	5, 8	eqsstrd 3970	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
10		voncmpl.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋))
11	9, 10	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ dom (voln*‘𝑋))
12		elssuni 4888	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
14	4, 13	sstrd 3946	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
15		voncmpl.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = 0)
16	15	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 = ((voln‘𝑋)‘𝐸))
17	1	vonval 46531	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) = ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
18	17	fveq1d 6824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸))
19	16, 18	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸))
20		voncmpl.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = dom (voln‘𝑋))
22	21, 5	eqtr2d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = 𝑆)
23	22	reseq2d 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))) = ((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆))
24	23	fveq1d 6824	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸) = (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸))
25	10, 20	eleqtrrdi 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
26		fvres 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸) = ((voln*‘𝑋)‘𝐸))
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸) = ((voln*‘𝑋)‘𝐸))
28	19, 24, 27	3eqtrrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐸) = 0)
29	2, 3, 13, 28, 4	omess0 46525	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐹) = 0)
30	2, 3, 14, 29, 6	caragencmpl 46526	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
31	30, 22	eleqtrd 2830	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4858  dom cdm 5619   ↾ cres 5621  ‘cfv 6482  Fincfn 8872  0cc0 11009  OutMeascome 46480  CaraGenccaragen 46482  voln*covoln 46527  volncvoln 46529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cc 10329  ax-ac2 10357  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-acn 9838  df-ac 10010  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-prod 15811  df-rest 17326  df-topgen 17347  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-cmp 23272  df-ovol 25363  df-vol 25364  df-sumge0 46354  df-ome 46481  df-caragen 46483  df-ovoln 46528  df-voln 46530

This theorem is referenced by: (None)