Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  voncmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem voncmpl 43199
 Description: The Lebesgue measure is complete. See Definition 112Df of [Fremlin1] p. 19. This is an observation written after Definition 115E of [Fremlin1] p. 31. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
voncmpl.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
voncmpl.s 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
voncmpl.e (𝜑𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋))
voncmpl.z (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = 0)
voncmpl.f (𝜑𝐹𝐸)
Assertion
Ref Expression
voncmpl (𝜑𝐹𝑆)

Proof of Theorem voncmpl
StepHypRef Expression
1 voncmpl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21ovnome 43151 . . 3 (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
3 eqid 2822 . . 3 dom (voln*‘𝑋) = dom (voln*‘𝑋)
4 voncmpl.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐸)
51dmvon 43184 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
6 eqid 2822 . . . . . . . . 9 (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋))
76caragenss 43082 . . . . . . . 8 ((voln*‘𝑋) ∈ OutMeas → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
82, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
95, 8eqsstrd 3980 . . . . . 6 (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
10 voncmpl.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋))
119, 10sseldd 3943 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ dom (voln*‘𝑋))
12 elssuni 4843 . . . . 5 (𝐸 ∈ dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 dom (voln*‘𝑋))
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝐸 dom (voln*‘𝑋))
144, 13sstrd 3952 . . 3 (𝜑𝐹 dom (voln*‘𝑋))
15 voncmpl.z . . . . . . 7 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = 0)
1615eqcomd 2828 . . . . . 6 (𝜑 → 0 = ((voln‘𝑋)‘𝐸))
171vonval 43118 . . . . . . 7 (𝜑 → (voln‘𝑋) = ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
1817fveq1d 6654 . . . . . 6 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸))
1916, 18eqtrd 2857 . . . . 5 (𝜑 → 0 = (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸))
20 voncmpl.s . . . . . . . . 9 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = dom (voln‘𝑋))
2221, 5eqtr2d 2858 . . . . . . 7 (𝜑 → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = 𝑆)
2322reseq2d 5831 . . . . . 6 (𝜑 → ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))) = ((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆))
2423fveq1d 6654 . . . . 5 (𝜑 → (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸) = (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸))
2510, 20eleqtrrdi 2925 . . . . . 6 (𝜑𝐸𝑆)
26 fvres 6671 . . . . . 6 (𝐸𝑆 → (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸) = ((voln*‘𝑋)‘𝐸))
2725, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸) = ((voln*‘𝑋)‘𝐸))
2819, 24, 273eqtrrd 2862 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐸) = 0)
292, 3, 13, 28, 4omess0 43112 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐹) = 0)
302, 3, 14, 29, 6caragencmpl 43113 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
3130, 22eleqtrd 2916 1 (𝜑𝐹𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3908  ∪ cuni 4813  dom cdm 5532   ↾ cres 5534  ‘cfv 6334  Fincfn 8496  0cc0 10526  OutMeascome 43067  CaraGenccaragen 43069  voln*covoln 43114  volncvoln 43116 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cc 9846  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9531  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-prod 15251  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-rest 16687  df-0g 16706  df-topgen 16708  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-subg 18267  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19495  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-bases 21549  df-cmp 21990  df-ovol 24066  df-vol 24067  df-sumge0 42941  df-ome 43068  df-caragen 43070  df-ovoln 43115  df-voln 43117 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator