Theorem voncmpl 43260

Description: The Lebesgue measure is complete. See Definition 112Df of [Fremlin1] p. 19. This is an observation written after Definition 115E of [Fremlin1] p. 31. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
voncmpl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
voncmpl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
voncmpl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋))
voncmpl.z	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = 0)
voncmpl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
voncmpl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem voncmpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		voncmpl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2	1	ovnome 43212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
3		eqid 2798	. . 3 ⊢ ∪ dom (voln*‘𝑋) = ∪ dom (voln*‘𝑋)
4		voncmpl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐸)
5	1	dmvon 43245	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
6		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋))
7	6	caragenss 43143	. . . . . . . 8 ⊢ ((voln*‘𝑋) ∈ OutMeas → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
8	2, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
9	5, 8	eqsstrd 3953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) ⊆ dom (voln*‘𝑋))
10		voncmpl.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋))
11	9, 10	sseldd 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ dom (voln*‘𝑋))
12		elssuni 4830	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
14	4, 13	sstrd 3925	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ ∪ dom (voln*‘𝑋))
15		voncmpl.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = 0)
16	15	eqcomd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 = ((voln‘𝑋)‘𝐸))
17	1	vonval 43179	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) = ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
18	17	fveq1d 6647	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐸) = (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸))
19	16, 18	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸))
20		voncmpl.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = dom (voln‘𝑋))
22	21, 5	eqtr2d 2834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = 𝑆)
23	22	reseq2d 5818	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))) = ((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆))
24	23	fveq1d 6647	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐸) = (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸))
25	10, 20	eleqtrrdi 2901	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
26		fvres 6664	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸) = ((voln*‘𝑋)‘𝐸))
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋) ↾ 𝑆)‘𝐸) = ((voln*‘𝑋)‘𝐸))
28	19, 24, 27	3eqtrrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐸) = 0)
29	2, 3, 13, 28, 4	omess0 43173	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐹) = 0)
30	2, 3, 14, 29, 6	caragencmpl 43174	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
31	30, 22	eleqtrd 2892	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ∪ cuni 4800  dom cdm 5519   ↾ cres 5521  ‘cfv 6324  Fincfn 8492  0cc0 10526  OutMeascome 43128  CaraGenccaragen 43130  voln*covoln 43175  volncvoln 43177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-acn 9355  df-ac 9527  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-prod 15252  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-0g 16707  df-topgen 16709  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-cmp 21992  df-ovol 24068  df-vol 24069  df-sumge0 43002  df-ome 43129  df-caragen 43131  df-ovoln 43176  df-voln 43178

This theorem is referenced by: (None)