Theorem on2ind 8706

Description: Double induction over ordinal numbers. (Contributed by Scott Fenton, 26-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
on2ind.1	⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝜑 ↔ 𝜓))
on2ind.2	⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
on2ind.3	⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝜃 ↔ 𝜒))
on2ind.4	⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝜑 ↔ 𝜏))
on2ind.5	⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝜏 ↔ 𝜂))
on2ind.i	⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((∀𝑐 ∈ 𝑎 ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜒 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝜓 ∧ ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜃) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
on2ind	⊢ ((𝑋 ∈ On ∧ 𝑌 ∈ On) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝜓,𝑎   𝜏,𝑎   𝑏,𝑐   𝜒,𝑏   𝑏,𝑑   𝜂,𝑏   𝑐,𝑑   𝜑,𝑐   𝜃,𝑐   𝜓,𝑑   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏, 𝑑)   𝜓(𝑏, 𝑐)   𝜒(𝑎, 𝑐, 𝑑)   𝜃(𝑎, 𝑏, 𝑑)   𝜏(𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝜂(𝑎, 𝑐, 𝑑)   𝑋(𝑐, 𝑑)   𝑌(𝑎, 𝑐, 𝑑)

Proof of Theorem on2ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onfr 6420	. 2 ⊢ E Fr On
2		epweon 7813	. . 3 ⊢ E We On
3		weso 5646	. . 3 ⊢ ( E We On → E Or On)
4		sopo 5582	. . 3 ⊢ ( E Or On → E Po On)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. 2 ⊢ E Po On
6		epse 5637	. 2 ⊢ E Se On
7		on2ind.1	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8		on2ind.2	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
9		on2ind.3	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝜃 ↔ 𝜒))
10		on2ind.4	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝜑 ↔ 𝜏))
11		on2ind.5	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝜏 ↔ 𝜂))
12		predon 7824	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ On → Pred( E , On, 𝑎) = 𝑎)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → Pred( E , On, 𝑎) = 𝑎)
14		predon 7824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ On → Pred( E , On, 𝑏) = 𝑏)
15	14	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → Pred( E , On, 𝑏) = 𝑏)
16	15	raleqdv 3323	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜒 ↔ ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜒))
17	13, 16	raleqbidv 3338	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (∀𝑐 ∈ Pred ( E , On, 𝑎)∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜒 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜒))
18	13	raleqdv 3323	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (∀𝑐 ∈ Pred ( E , On, 𝑎)𝜓 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝜓))
19	15	raleqdv 3323	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜃 ↔ ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜃))
20	17, 18, 19	3anbi123d 1465	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((∀𝑐 ∈ Pred ( E , On, 𝑎)∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜒 ∧ ∀𝑐 ∈ Pred ( E , On, 𝑎)𝜓 ∧ ∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜃) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜒 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝜓 ∧ ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜃)))
21		on2ind.i	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((∀𝑐 ∈ 𝑎 ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜒 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝜓 ∧ ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜃) → 𝜑))
22	20, 21	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((∀𝑐 ∈ Pred ( E , On, 𝑎)∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜒 ∧ ∀𝑐 ∈ Pred ( E , On, 𝑎)𝜓 ∧ ∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜃) → 𝜑))
23	1, 5, 6, 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 22	xpord2ind 8192	1 ⊢ ((𝑋 ∈ On ∧ 𝑌 ∈ On) → 𝜂)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   E cep 5554   Po wpo 5561   Or wor 5562   We wwe 5607  Predcpred 6321  Oncon0 6380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fv 6566  df-1st 8025  df-2nd 8026

This theorem is used by:  naddcllem  8713  naddcom  8720  naddsuc2  8739  nmulprop  37117  nmulcom  37121  naddgeoa  44588