Theorem on2ind 8598

Description: Double induction over ordinal numbers. (Contributed by Scott Fenton, 26-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
on2ind.1	⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝜑 ↔ 𝜓))
on2ind.2	⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
on2ind.3	⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝜃 ↔ 𝜒))
on2ind.4	⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝜑 ↔ 𝜏))
on2ind.5	⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝜏 ↔ 𝜂))
on2ind.i	⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((∀𝑐 ∈ 𝑎 ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜒 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝜓 ∧ ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜃) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
on2ind	⊢ ((𝑋 ∈ On ∧ 𝑌 ∈ On) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝜓,𝑎   𝜏,𝑎   𝑏,𝑐   𝜒,𝑏   𝑏,𝑑   𝜂,𝑏   𝑐,𝑑   𝜑,𝑐   𝜃,𝑐   𝜓,𝑑   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏,𝑑)   𝜓(𝑏,𝑐)   𝜒(𝑎,𝑐,𝑑)   𝜃(𝑎,𝑏,𝑑)   𝜏(𝑏,𝑐,𝑑)   𝜂(𝑎,𝑐,𝑑)   𝑋(𝑐,𝑑)   𝑌(𝑎,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem on2ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onfr 6356	. 2 ⊢ E Fr On
2		epweon 7722	. . 3 ⊢ E We On
3		weso 5615	. . 3 ⊢ ( E We On → E Or On)
4		sopo 5551	. . 3 ⊢ ( E Or On → E Po On)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. 2 ⊢ E Po On
6		epse 5606	. 2 ⊢ E Se On
7		on2ind.1	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8		on2ind.2	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
9		on2ind.3	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝜃 ↔ 𝜒))
10		on2ind.4	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝜑 ↔ 𝜏))
11		on2ind.5	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝜏 ↔ 𝜂))
12		predon 7733	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ On → Pred( E , On, 𝑎) = 𝑎)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → Pred( E , On, 𝑎) = 𝑎)
14		predon 7733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ On → Pred( E , On, 𝑏) = 𝑏)
15	14	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → Pred( E , On, 𝑏) = 𝑏)
16	15	raleqdv 3296	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜒 ↔ ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜒))
17	13, 16	raleqbidv 3312	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (∀𝑐 ∈ Pred ( E , On, 𝑎)∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜒 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜒))
18	13	raleqdv 3296	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (∀𝑐 ∈ Pred ( E , On, 𝑎)𝜓 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝜓))
19	15	raleqdv 3296	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜃 ↔ ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜃))
20	17, 18, 19	3anbi123d 1439	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((∀𝑐 ∈ Pred ( E , On, 𝑎)∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜒 ∧ ∀𝑐 ∈ Pred ( E , On, 𝑎)𝜓 ∧ ∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜃) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜒 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝜓 ∧ ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜃)))
21		on2ind.i	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((∀𝑐 ∈ 𝑎 ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜒 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝜓 ∧ ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜃) → 𝜑))
22	20, 21	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((∀𝑐 ∈ Pred ( E , On, 𝑎)∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜒 ∧ ∀𝑐 ∈ Pred ( E , On, 𝑎)𝜓 ∧ ∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜃) → 𝜑))
23	1, 5, 6, 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 22	xpord2ind 8091	1 ⊢ ((𝑋 ∈ On ∧ 𝑌 ∈ On) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   E cep 5523   Po wpo 5530   Or wor 5531   We wwe 5576  Predcpred 6258  Oncon0 6317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-1st 7935  df-2nd 7936

This theorem is referenced by:  naddcllem  8605  naddcom  8611  naddsuc2  8630  naddgeoa  43840