Theorem on2ind 8634

Description: Double induction over ordinal numbers. (Contributed by Scott Fenton, 26-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
on2ind.1	⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝜑 ↔ 𝜓))
on2ind.2	⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
on2ind.3	⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝜃 ↔ 𝜒))
on2ind.4	⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝜑 ↔ 𝜏))
on2ind.5	⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝜏 ↔ 𝜂))
on2ind.i	⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((∀𝑐 ∈ 𝑎 ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜒 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝜓 ∧ ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜃) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
on2ind	⊢ ((𝑋 ∈ On ∧ 𝑌 ∈ On) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝜓,𝑎   𝜏,𝑎   𝑏,𝑐   𝜒,𝑏   𝑏,𝑑   𝜂,𝑏   𝑐,𝑑   𝜑,𝑐   𝜃,𝑐   𝜓,𝑑   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏,𝑑)   𝜓(𝑏,𝑐)   𝜒(𝑎,𝑐,𝑑)   𝜃(𝑎,𝑏,𝑑)   𝜏(𝑏,𝑐,𝑑)   𝜂(𝑎,𝑐,𝑑)   𝑋(𝑐,𝑑)   𝑌(𝑎,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem on2ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onfr 6381	. 2 ⊢ E Fr On
2		epweon 7754	. . 3 ⊢ E We On
3		weso 5636	. . 3 ⊢ ( E We On → E Or On)
4		sopo 5572	. . 3 ⊢ ( E Or On → E Po On)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. 2 ⊢ E Po On
6		epse 5627	. 2 ⊢ E Se On
7		on2ind.1	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8		on2ind.2	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
9		on2ind.3	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝜃 ↔ 𝜒))
10		on2ind.4	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝜑 ↔ 𝜏))
11		on2ind.5	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝜏 ↔ 𝜂))
12		predon 7765	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ On → Pred( E , On, 𝑎) = 𝑎)
13	12	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → Pred( E , On, 𝑎) = 𝑎)
14		predon 7765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ On → Pred( E , On, 𝑏) = 𝑏)
15	14	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → Pred( E , On, 𝑏) = 𝑏)
16	15	raleqdv 3319	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜒 ↔ ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜒))
17	13, 16	raleqbidv 3335	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (∀𝑐 ∈ Pred ( E , On, 𝑎)∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜒 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜒))
18	13	raleqdv 3319	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (∀𝑐 ∈ Pred ( E , On, 𝑎)𝜓 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝜓))
19	15	raleqdv 3319	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜃 ↔ ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜃))
20	17, 18, 19	3anbi123d 1456	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((∀𝑐 ∈ Pred ( E , On, 𝑎)∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜒 ∧ ∀𝑐 ∈ Pred ( E , On, 𝑎)𝜓 ∧ ∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜃) ↔ (∀𝑐 ∈ 𝑎 ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜒 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝜓 ∧ ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜃)))
21		on2ind.i	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((∀𝑐 ∈ 𝑎 ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜒 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝜓 ∧ ∀𝑑 ∈ 𝑏 𝜃) → 𝜑))
22	20, 21	sylbid 242	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → ((∀𝑐 ∈ Pred ( E , On, 𝑎)∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜒 ∧ ∀𝑐 ∈ Pred ( E , On, 𝑎)𝜓 ∧ ∀𝑑 ∈ Pred ( E , On, 𝑏)𝜃) → 𝜑))
23	1, 5, 6, 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 22	xpord2ind 8123	1 ⊢ ((𝑋 ∈ On ∧ 𝑌 ∈ On) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   E cep 5544   Po wpo 5551   Or wor 5552   We wwe 5597  Predcpred 6283  Oncon0 6342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fv 6525  df-1st 7966  df-2nd 7967

This theorem is referenced by:  naddcllem  8641  naddcom  8648  naddsuc2  8667  nmulprop  36504  nmulcom  36508  naddgeoa  43935