Theorem oprpiece1res1 24798

Description: Restriction to the first part of a piecewise defined function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprpiece1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
oprpiece1.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
oprpiece1.3	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵
oprpiece1.4	⊢ 𝑅 ∈ V
oprpiece1.5	⊢ 𝑆 ∈ V
oprpiece1.6	⊢ 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)
oprpiece1.7	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆))
oprpiece1.8	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oprpiece1res1	⊢ (𝐹 ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = 𝐺

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem oprpiece1res1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprpiece1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2	1	rexri 11269	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ*
3		oprpiece1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	3	rexri 11269	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ*
5		oprpiece1.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵
6		lbicc2 13438	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7	2, 4, 5, 6	mp3an 1457	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)
8		oprpiece1.6	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)
9		iccss2 13392	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐾) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
10	7, 8, 9	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝐴[,]𝐾) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
11		ssid 3996	. . 3 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐶
12		resmpo 7520	. . 3 ⊢ (((𝐴[,]𝐾) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐶) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆)))
13	10, 11, 12	mp2an 689	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆))
14		oprpiece1.7	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆))
15	14	reseq1i 5967	. 2 ⊢ (𝐹 ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶))
16		oprpiece1.8	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑅)
17		eliccxr 13409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ*)
18	8, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ*
19		iccleub 13376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾)) → 𝑥 ≤ 𝐾)
20	2, 18, 19	mp3an12 1447	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾) → 𝑥 ≤ 𝐾)
21	20	iftrued 4528	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾) → if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆) = 𝑅)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆) = 𝑅)
23	22	mpoeq3ia 7479	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑅)
24	16, 23	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆))
25	13, 15, 24	3eqtr4i 2762	1 ⊢ (𝐹 ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = 𝐺

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ⊆ wss 3940  ifcif 4520   class class class wbr 5138   × cxp 5664   ↾ cres 5668  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  ℝcr 11105  ℝ^*cxr 11244   ≤ cle 11246  [,]cicc 13324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-icc 13328

This theorem is referenced by: (None)