MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprpiece1res1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oprpiece1res1 24996
Description: Restriction to the first part of a piecewise defined function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oprpiece1.1 𝐴 ∈ ℝ
oprpiece1.2 𝐵 ∈ ℝ
oprpiece1.3 𝐴𝐵
oprpiece1.4 𝑅 ∈ V
oprpiece1.5 𝑆 ∈ V
oprpiece1.6 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)
oprpiece1.7 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
oprpiece1.8 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦𝐶𝑅)
Assertion
Ref Expression
oprpiece1res1 (𝐹 ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = 𝐺
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem oprpiece1res1
StepHypRef Expression
1 oprpiece1.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
21rexri 11317 . . . . 5 𝐴 ∈ ℝ*
3 oprpiece1.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
43rexri 11317 . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ*
5 oprpiece1.3 . . . . 5 𝐴𝐵
6 lbicc2 13501 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
72, 4, 5, 6mp3an 1460 . . . 4 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)
8 oprpiece1.6 . . . 4 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)
9 iccss2 13455 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐾) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
107, 8, 9mp2an 692 . . 3 (𝐴[,]𝐾) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
11 ssid 4018 . . 3 𝐶𝐶
12 resmpo 7553 . . 3 (((𝐴[,]𝐾) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐶) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)))
1310, 11, 12mp2an 692 . 2 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
14 oprpiece1.7 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
1514reseq1i 5996 . 2 (𝐹 ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶))
16 oprpiece1.8 . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦𝐶𝑅)
17 eliccxr 13472 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ*)
188, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐾 ∈ ℝ*
19 iccleub 13439 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾)) → 𝑥𝐾)
202, 18, 19mp3an12 1450 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾) → 𝑥𝐾)
2120iftrued 4539 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾) → if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆) = 𝑅)
2221adantr 480 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾) ∧ 𝑦𝐶) → if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆) = 𝑅)
2322mpoeq3ia 7511 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦𝐶𝑅)
2416, 23eqtr4i 2766 . 2 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
2513, 15, 243eqtr4i 2773 1 (𝐹 ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = 𝐺
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  ifcif 4531   class class class wbr 5148   × cxp 5687  cres 5691  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cr 11152  *cxr 11292  cle 11294  [,]cicc 13387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-icc 13391
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator