Theorem oprpiece1res1 24847

Description: Restriction to the first part of a piecewise defined function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprpiece1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
oprpiece1.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
oprpiece1.3	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵
oprpiece1.4	⊢ 𝑅 ∈ V
oprpiece1.5	⊢ 𝑆 ∈ V
oprpiece1.6	⊢ 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)
oprpiece1.7	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆))
oprpiece1.8	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oprpiece1res1	⊢ (𝐹 ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = 𝐺

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem oprpiece1res1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprpiece1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2	1	rexri 11173	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ*
3		oprpiece1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	3	rexri 11173	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ*
5		oprpiece1.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵
6		lbicc2 13367	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7	2, 4, 5, 6	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)
8		oprpiece1.6	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)
9		iccss2 13320	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐾) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
10	7, 8, 9	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝐴[,]𝐾) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
11		ssid 3958	. . 3 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐶
12		resmpo 7469	. . 3 ⊢ (((𝐴[,]𝐾) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐶) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆)))
13	10, 11, 12	mp2an 692	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆))
14		oprpiece1.7	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆))
15	14	reseq1i 5926	. 2 ⊢ (𝐹 ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶))
16		oprpiece1.8	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑅)
17		eliccxr 13338	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ*)
18	8, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ*
19		iccleub 13304	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾)) → 𝑥 ≤ 𝐾)
20	2, 18, 19	mp3an12 1453	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾) → 𝑥 ≤ 𝐾)
21	20	iftrued 4484	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾) → if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆) = 𝑅)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆) = 𝑅)
23	22	mpoeq3ia 7427	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑅)
24	16, 23	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆))
25	13, 15, 24	3eqtr4i 2762	1 ⊢ (𝐹 ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = 𝐺

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ifcif 4476   class class class wbr 5092   × cxp 5617   ↾ cres 5621  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  ℝcr 11008  ℝ^*cxr 11148   ≤ cle 11150  [,]cicc 13251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-icc 13255

This theorem is referenced by: (None)