Theorem oprpiece1res1 25001

Description: Restriction to the first part of a piecewise defined function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprpiece1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
oprpiece1.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
oprpiece1.3	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵
oprpiece1.4	⊢ 𝑅 ∈ V
oprpiece1.5	⊢ 𝑆 ∈ V
oprpiece1.6	⊢ 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)
oprpiece1.7	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆))
oprpiece1.8	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oprpiece1res1	⊢ (𝐹 ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = 𝐺

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem oprpiece1res1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprpiece1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2	1	rexri 11348	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ*
3		oprpiece1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	3	rexri 11348	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ*
5		oprpiece1.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵
6		lbicc2 13524	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7	2, 4, 5, 6	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)
8		oprpiece1.6	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)
9		iccss2 13478	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐾) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
10	7, 8, 9	mp2an 691	. . 3 ⊢ (𝐴[,]𝐾) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
11		ssid 4031	. . 3 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐶
12		resmpo 7570	. . 3 ⊢ (((𝐴[,]𝐾) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐶) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆)))
13	10, 11, 12	mp2an 691	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆))
14		oprpiece1.7	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆))
15	14	reseq1i 6005	. 2 ⊢ (𝐹 ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶))
16		oprpiece1.8	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑅)
17		eliccxr 13495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ*)
18	8, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ*
19		iccleub 13462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾)) → 𝑥 ≤ 𝐾)
20	2, 18, 19	mp3an12 1451	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾) → 𝑥 ≤ 𝐾)
21	20	iftrued 4556	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾) → if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆) = 𝑅)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆) = 𝑅)
23	22	mpoeq3ia 7528	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ 𝑅)
24	16, 23	eqtr4i 2771	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐾), 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ if(𝑥 ≤ 𝐾, 𝑅, 𝑆))
25	13, 15, 24	3eqtr4i 2778	1 ⊢ (𝐹 ↾ ((𝐴[,]𝐾) × 𝐶)) = 𝐺

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ifcif 4548   class class class wbr 5166   × cxp 5698   ↾ cres 5702  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  ℝcr 11183  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325  [,]cicc 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-icc 13414

This theorem is referenced by: (None)