MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprpiece1res2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oprpiece1res2 24938
Description: Restriction to the second part of a piecewise defined function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oprpiece1.1 𝐴 ∈ ℝ
oprpiece1.2 𝐵 ∈ ℝ
oprpiece1.3 𝐴𝐵
oprpiece1.4 𝑅 ∈ V
oprpiece1.5 𝑆 ∈ V
oprpiece1.6 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)
oprpiece1.7 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
oprpiece1.9 (𝑥 = 𝐾𝑅 = 𝑃)
oprpiece1.10 (𝑥 = 𝐾𝑆 = 𝑄)
oprpiece1.11 (𝑦𝐶𝑃 = 𝑄)
oprpiece1.12 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶𝑆)
Assertion
Ref Expression
oprpiece1res2 (𝐹 ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = 𝐺
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem oprpiece1res2
StepHypRef Expression
1 oprpiece1.6 . . . 4 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)
2 oprpiece1.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
32rexri 11309 . . . . 5 𝐴 ∈ ℝ*
4 oprpiece1.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
54rexri 11309 . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ*
6 oprpiece1.3 . . . . 5 𝐴𝐵
7 ubicc2 13482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
83, 5, 6, 7mp3an 1457 . . . 4 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)
9 iccss2 13435 . . . 4 ((𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐾[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
101, 8, 9mp2an 690 . . 3 (𝐾[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
11 ssid 3999 . . 3 𝐶𝐶
12 resmpo 7540 . . 3 (((𝐾[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐶) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)))
1310, 11, 12mp2an 690 . 2 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
14 oprpiece1.7 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
1514reseq1i 5981 . 2 (𝐹 ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶))
16 oprpiece1.12 . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶𝑆)
17 oprpiece1.11 . . . . . . 7 (𝑦𝐶𝑃 = 𝑄)
1817ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑃 = 𝑄)
19 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
202, 4elicc2i 13430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐾𝐾𝐵))
2120simp1bi 1142 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ)
221, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ ℝ
2322, 4elicc2i 13430 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾𝑥𝑥𝐵))
2423simp2bi 1143 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) → 𝐾𝑥)
2524ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝐾𝑥)
2623simp1bi 1142 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2726ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥 ∈ ℝ)
28 letri3 11336 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐾 ↔ (𝑥𝐾𝐾𝑥)))
2927, 22, 28sylancl 584 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑥 = 𝐾 ↔ (𝑥𝐾𝐾𝑥)))
3019, 25, 29mpbir2and 711 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥 = 𝐾)
31 oprpiece1.9 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾𝑅 = 𝑃)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑅 = 𝑃)
33 oprpiece1.10 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾𝑆 = 𝑄)
3430, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑆 = 𝑄)
3518, 32, 343eqtr4d 2775 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑅 = 𝑆)
36 eqidd 2726 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ ¬ 𝑥𝐾) → 𝑆 = 𝑆)
3735, 36ifeqda 4566 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) → if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆) = 𝑆)
3837mpoeq3ia 7498 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶𝑆)
3916, 38eqtr4i 2756 . 2 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
4013, 15, 393eqtr4i 2763 1 (𝐹 ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = 𝐺
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461  wss 3944  ifcif 4530   class class class wbr 5149   × cxp 5676  cres 5680  (class class class)co 7419  cmpo 7421  cr 11144  *cxr 11284  cle 11286  [,]cicc 13367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-icc 13371
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator