Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprpiece1res2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oprpiece1res2 23598
 Description: Restriction to the second part of a piecewise defined function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oprpiece1.1 𝐴 ∈ ℝ
oprpiece1.2 𝐵 ∈ ℝ
oprpiece1.3 𝐴𝐵
oprpiece1.4 𝑅 ∈ V
oprpiece1.5 𝑆 ∈ V
oprpiece1.6 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)
oprpiece1.7 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
oprpiece1.9 (𝑥 = 𝐾𝑅 = 𝑃)
oprpiece1.10 (𝑥 = 𝐾𝑆 = 𝑄)
oprpiece1.11 (𝑦𝐶𝑃 = 𝑄)
oprpiece1.12 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶𝑆)
Assertion
Ref Expression
oprpiece1res2 (𝐹 ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = 𝐺
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem oprpiece1res2
StepHypRef Expression
1 oprpiece1.6 . . . 4 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)
2 oprpiece1.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
32rexri 10706 . . . . 5 𝐴 ∈ ℝ*
4 oprpiece1.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
54rexri 10706 . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ*
6 oprpiece1.3 . . . . 5 𝐴𝐵
7 ubicc2 12863 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
83, 5, 6, 7mp3an 1458 . . . 4 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)
9 iccss2 12816 . . . 4 ((𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐾[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
101, 8, 9mp2an 691 . . 3 (𝐾[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
11 ssid 3939 . . 3 𝐶𝐶
12 resmpo 7261 . . 3 (((𝐾[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐶) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)))
1310, 11, 12mp2an 691 . 2 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
14 oprpiece1.7 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
1514reseq1i 5818 . 2 (𝐹 ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶))
16 oprpiece1.12 . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶𝑆)
17 oprpiece1.11 . . . . . . 7 (𝑦𝐶𝑃 = 𝑄)
1817ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑃 = 𝑄)
19 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
202, 4elicc2i 12811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐾𝐾𝐵))
2120simp1bi 1142 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ)
221, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ ℝ
2322, 4elicc2i 12811 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾𝑥𝑥𝐵))
2423simp2bi 1143 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) → 𝐾𝑥)
2524ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝐾𝑥)
2623simp1bi 1142 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥 ∈ ℝ)
28 letri3 10733 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐾 ↔ (𝑥𝐾𝐾𝑥)))
2927, 22, 28sylancl 589 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑥 = 𝐾 ↔ (𝑥𝐾𝐾𝑥)))
3019, 25, 29mpbir2and 712 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥 = 𝐾)
31 oprpiece1.9 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾𝑅 = 𝑃)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑅 = 𝑃)
33 oprpiece1.10 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾𝑆 = 𝑄)
3430, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑆 = 𝑄)
3518, 32, 343eqtr4d 2843 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑅 = 𝑆)
36 eqidd 2799 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ ¬ 𝑥𝐾) → 𝑆 = 𝑆)
3735, 36ifeqda 4463 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) → if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆) = 𝑆)
3837mpoeq3ia 7221 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶𝑆)
3916, 38eqtr4i 2824 . 2 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
4013, 15, 393eqtr4i 2831 1 (𝐹 ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = 𝐺
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3442   ⊆ wss 3883  ifcif 4428   class class class wbr 5034   × cxp 5521   ↾ cres 5525  (class class class)co 7145   ∈ cmpo 7147  ℝcr 10543  ℝ*cxr 10681   ≤ cle 10683  [,]cicc 12749 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-icc 12753 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator