Theorem lbicc2 13458

Description: The lower bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbicc2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem lbicc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrleid 13143	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)
3	2	3ad2ant1 1142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐴)
4		simp3 1147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
5		elicc1 13383	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
6	5	3adant3 1141	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
7	1, 3, 4, 6	mpbir3and 1352	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1095   ∈ wcel 2136   class class class wbr 5094  (class class class)co 7385  ℝ^*cxr 11205   ≤ cle 11207  [,]cicc 13342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-icc 13346

This theorem is referenced by:  icccmplem1  24856  reconnlem2  24861  oprpiece1res1  24986  pcoass  25059  ivthlem1  25486  ivth2  25490  ivthle  25491  ivthle2  25492  evthicc  25494  ovolicc2lem5  25556  dyadmaxlem  25632  rolle  26025  cmvth  26026  mvth  26027  dvlip  26028  c1liplem1  26031  dveq0  26035  dvgt0lem1  26037  lhop1lem  26048  dvcnvrelem1  26052  dvcvx  26055  dvfsumle  26056  dvfsumge  26057  dvfsumabs  26058  dvfsumlem2  26062  ftc2  26079  ftc2ditglem  26080  itgparts  26082  itgsubstlem  26083  itgpowd  26085  taylfval  26392  tayl0  26395  efcvx  26482  pige3ALT  26555  logccv  26698  loglesqrt  26796  eliccioo  33062  ftc2re  34849  cvmliftlem6  35588  cvmliftlem8  35590  cvmliftlem9  35591  cvmliftlem10  35592  cvmliftlem13  35594  ivthALT  36643  ftc2nc  38149  areacirc  38160  iccintsng  46047  icccncfext  46409  cncfiooicclem1  46415  dvbdfbdioolem1  46450  itgsin0pilem1  46472  itgcoscmulx  46491  itgsincmulx  46496  fourierdlem20  46649  fourierdlem51  46679  fourierdlem54  46682  fourierdlem64  46692  fourierdlem73  46701  fourierdlem81  46709  fourierdlem102  46730  fourierdlem103  46731  fourierdlem104  46732  fourierdlem114  46742  etransclem46  46802  hoidmv1lelem1  47113