Theorem lbicc2 13505

Description: The lower bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbicc2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem lbicc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrleid 13194	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)
3	2	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐴)
4		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
5		elicc1 13432	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
6	5	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
7	1, 3, 4, 6	mpbir3and 1342	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℝ^*cxr 11295   ≤ cle 11297  [,]cicc 13391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-icc 13395

This theorem is referenced by:  icccmplem1  24845  reconnlem2  24850  oprpiece1res1  24983  pcoass  25058  ivthlem1  25487  ivth2  25491  ivthle  25492  ivthle2  25493  evthicc  25495  ovolicc2lem5  25557  dyadmaxlem  25633  rolle  26029  cmvth  26030  cmvthOLD  26031  mvth  26032  dvlip  26033  c1liplem1  26036  dveq0  26040  dvgt0lem1  26042  lhop1lem  26053  dvcnvrelem1  26057  dvcvx  26060  dvfsumle  26061  dvfsumleOLD  26062  dvfsumge  26063  dvfsumabs  26064  dvfsumlem2  26068  dvfsumlem2OLD  26069  ftc2  26086  ftc2ditglem  26087  itgparts  26089  itgsubstlem  26090  itgpowd  26092  taylfval  26401  tayl0  26404  efcvx  26494  pige3ALT  26563  logccv  26706  loglesqrt  26805  eliccioo  32914  ftc2re  34614  cvmliftlem6  35296  cvmliftlem8  35298  cvmliftlem9  35299  cvmliftlem10  35300  cvmliftlem13  35302  ivthALT  36337  ftc2nc  37710  areacirc  37721  iccintsng  45541  icccncfext  45907  cncfiooicclem1  45913  dvbdfbdioolem1  45948  itgsin0pilem1  45970  itgcoscmulx  45989  itgsincmulx  45994  fourierdlem20  46147  fourierdlem51  46177  fourierdlem54  46180  fourierdlem64  46190  fourierdlem73  46199  fourierdlem81  46207  fourierdlem102  46228  fourierdlem103  46229  fourierdlem104  46230  fourierdlem114  46240  etransclem46  46300  hoidmv1lelem1  46611