MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbicc2 12842
Description: The lower bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lbicc2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem lbicc2
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 xrleid 12532 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
323ad2ant1 1130 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐴)
4 simp3 1135 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
5 elicc1 12770 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴𝐴𝐵)))
653adant3 1129 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴𝐴𝐵)))
71, 3, 4, 6mpbir3and 1339 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1084  wcel 2115   class class class wbr 5049  (class class class)co 7140  *cxr 10661  cle 10663  [,]cicc 12729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4822  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-id 5443  df-po 5457  df-so 5458  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-icc 12733
This theorem is referenced by:  icccmplem1  23418  reconnlem2  23423  oprpiece1res1  23547  pcoass  23620  ivthlem1  24046  ivth2  24050  ivthle  24051  ivthle2  24052  evthicc  24054  ovolicc2lem5  24116  dyadmaxlem  24192  rolle  24584  cmvth  24585  mvth  24586  dvlip  24587  c1liplem1  24590  dveq0  24594  dvgt0lem1  24596  lhop1lem  24607  dvcnvrelem1  24611  dvcvx  24614  dvfsumle  24615  dvfsumge  24616  dvfsumabs  24617  dvfsumlem2  24621  ftc2  24638  ftc2ditglem  24639  itgparts  24641  itgsubstlem  24642  itgpowd  24644  taylfval  24945  tayl0  24948  efcvx  25035  pige3ALT  25103  logccv  25245  loglesqrt  25338  eliccioo  30606  ftc2re  31889  cvmliftlem6  32557  cvmliftlem8  32559  cvmliftlem9  32560  cvmliftlem10  32561  cvmliftlem13  32563  ivthALT  33703  ftc2nc  35044  areacirc  35055  iccintsng  42017  icccncfext  42386  cncfiooicclem1  42392  dvbdfbdioolem1  42427  itgsin0pilem1  42449  itgcoscmulx  42468  itgsincmulx  42473  fourierdlem20  42626  fourierdlem51  42656  fourierdlem54  42659  fourierdlem64  42669  fourierdlem73  42678  fourierdlem81  42686  fourierdlem102  42707  fourierdlem103  42708  fourierdlem104  42709  fourierdlem114  42719  etransclem46  42779  hoidmv1lelem1  43087
  Copyright terms: Public domain W3C validator