Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem18 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddasslem18 39012
Description: Lemma for paddass 39013. Combine paddasslem16 39010 and paddasslem17 39011. (Contributed by NM, 12-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddass.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddass.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddasslem18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Proof of Theorem paddasslem18
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 eqid 2731 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
3 paddass.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 paddass.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4paddasslem16 39010 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
653expa 1117 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
73, 4paddasslem17 39011 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ Β¬ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
873expa 1117 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) ∧ Β¬ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
96, 8pm2.61dan 810 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  lecple 17209  joincjn 18269  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  +𝑃cpadd 38970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-padd 38971
This theorem is referenced by:  paddass  39013
  Copyright terms: Public domain W3C validator