Theorem paddasslem18 40639

Description: Lemma for paddass 40640. Combine paddasslem16 40637 and paddasslem17 40638. (Contributed by NM, 12-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddass.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddass.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddasslem18	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem paddasslem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		paddass.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		paddass.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	paddasslem16 40637	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
6	5	3expa 1135	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
7	3, 4	paddasslem17 40638	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ¬ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
8	7	3expa 1135	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
9	6, 8	pm2.61dan 824	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  lecple 17323  joincjn 18373  Atomscatm 40065  HLchlt 40152  +_𝑃cpadd 40597

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-proset 18356  df-poset 18375  df-plt 18390  df-lub 18406  df-glb 18407  df-join 18408  df-meet 18409  df-p0 18485  df-lat 18494  df-clat 18561  df-oposet 39978  df-ol 39980  df-oml 39981  df-covers 40068  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153  df-padd 40598

This theorem is used by:  paddass  40640