Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem16 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddasslem16 39009
Description: Lemma for paddass 39012. Use elpaddn0 38974 to eliminate π‘₯ and π‘Ÿ from paddasslem15 39008. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddasslem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddasslem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddasslem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddasslem16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Proof of Theorem paddasslem16
Dummy variables 𝑝 π‘Ÿ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 38536 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp21 1204 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
4 simp1 1134 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
5 simp22 1205 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
6 simp23 1206 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
7 paddasslem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 paddasslem.p . . . . . 6 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
97, 8paddssat 38988 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Œ + 𝑍) βŠ† 𝐴)
104, 5, 6, 9syl3anc 1369 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (π‘Œ + 𝑍) βŠ† 𝐴)
11 simp3l 1199 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…))
12 paddasslem.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
13 paddasslem.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
1412, 13, 7, 8elpaddn0 38974 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Œ + 𝑍) βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…)) β†’ (𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))))
152, 3, 10, 11, 14syl31anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))))
16 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) β†’ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))
1712, 13, 7, 8paddasslem15 39008 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
1816, 17syl3anl3 1412 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
19183exp2 1352 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) β†’ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))))
2019imp 405 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) β†’ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))))
2120rexlimdvv 3208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
2221expimpd 452 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
2315, 22sylbid 239 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
2423ssrdv 3987 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  lecple 17208  joincjn 18268  Latclat 18388  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  +𝑃cpadd 38969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-padd 38970
This theorem is referenced by:  paddasslem18  39011
  Copyright terms: Public domain W3C validator