Theorem paddasslem16 40281

Description: Lemma for paddass 40284. Use elpaddn0 40246 to eliminate 𝑥 and 𝑟 from paddasslem15 40280. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddasslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddasslem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddasslem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddasslem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddasslem16	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem paddasslem16

Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39809	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp21 1208	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
4		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝐾 ∈ HL)
5		simp22 1209	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
6		simp23 1210	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
7		paddasslem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		paddasslem.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
9	7, 8	paddssat 40260	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ 𝐴)
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ 𝐴)
11		simp3l 1203	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅))
12		paddasslem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		paddasslem.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14	12, 13, 7, 8	elpaddn0 40246	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 + 𝑍) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))))
15	2, 3, 10, 11, 14	syl31anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))))
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) → (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))
17	12, 13, 7, 8	paddasslem15 40280	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
18	16, 17	syl3anl3 1417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
19	18	3exp2 1356	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) → (𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
20	19	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) → (𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))
21	20	rexlimdvv 3194	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
22	21	expimpd 453	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
23	15, 22	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
24	23	ssrdv 3928	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  lecple 17227  joincjn 18277  Latclat 18397  Atomscatm 39709  HLchlt 39796  +_𝑃cpadd 40241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-padd 40242

This theorem is referenced by:  paddasslem18  40283