Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddasslem16 39837
Description: Lemma for paddass 39840. Use elpaddn0 39802 to eliminate 𝑥 and 𝑟 from paddasslem15 39836. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l = (le‘𝐾)
paddasslem.j = (join‘𝐾)
paddasslem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddasslem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddasslem16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem paddasslem16
Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 39364 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp21 1207 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝑋𝐴)
4 simp1 1137 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝐾 ∈ HL)
5 simp22 1208 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝑌𝐴)
6 simp23 1209 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝑍𝐴)
7 paddasslem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 paddasslem.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
97, 8paddssat 39816 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ 𝐴)
104, 5, 6, 9syl3anc 1373 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ 𝐴)
11 simp3l 1202 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅))
12 paddasslem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
13 paddasslem.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
1412, 13, 7, 8elpaddn0 39802 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑌 + 𝑍) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)𝑝 (𝑥 𝑟))))
152, 3, 10, 11, 14syl31anc 1375 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)𝑝 (𝑥 𝑟))))
16 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) → (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))
1712, 13, 7, 8paddasslem15 39836 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑥𝑋𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
1816, 17syl3anl3 1416 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑥𝑋𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
19183exp2 1355 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑝𝐴 → ((𝑥𝑋𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) → (𝑝 (𝑥 𝑟) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
2019imp 406 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑥𝑋𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) → (𝑝 (𝑥 𝑟) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))
2120rexlimdvv 3212 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) ∧ 𝑝𝐴) → (∃𝑥𝑋𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)𝑝 (𝑥 𝑟) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
2221expimpd 453 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → ((𝑝𝐴 ∧ ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)𝑝 (𝑥 𝑟)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
2315, 22sylbid 240 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
2423ssrdv 3989 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  lecple 17304  joincjn 18357  Latclat 18476  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  +𝑃cpadd 39797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-padd 39798
This theorem is referenced by:  paddasslem18  39839
  Copyright terms: Public domain W3C validator