Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem16 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddasslem16 38798
Description: Lemma for paddass 38801. Use elpaddn0 38763 to eliminate π‘₯ and π‘Ÿ from paddasslem15 38797. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddasslem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddasslem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddasslem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddasslem16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Proof of Theorem paddasslem16
Dummy variables 𝑝 π‘Ÿ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 38325 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp21 1206 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
4 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
5 simp22 1207 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
6 simp23 1208 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
7 paddasslem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 paddasslem.p . . . . . 6 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
97, 8paddssat 38777 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Œ + 𝑍) βŠ† 𝐴)
104, 5, 6, 9syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (π‘Œ + 𝑍) βŠ† 𝐴)
11 simp3l 1201 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…))
12 paddasslem.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
13 paddasslem.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
1412, 13, 7, 8elpaddn0 38763 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Œ + 𝑍) βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…)) β†’ (𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))))
152, 3, 10, 11, 14syl31anc 1373 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))))
16 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) β†’ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))
1712, 13, 7, 8paddasslem15 38797 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
1816, 17syl3anl3 1414 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
19183exp2 1354 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) β†’ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))))
2019imp 407 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) β†’ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))))
2120rexlimdvv 3210 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
2221expimpd 454 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
2315, 22sylbid 239 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (𝑝 ∈ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
2423ssrdv 3988 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + 𝑍)) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  lecple 17206  joincjn 18266  Latclat 18386  Atomscatm 38225  HLchlt 38312  +𝑃cpadd 38758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38138  df-ol 38140  df-oml 38141  df-covers 38228  df-ats 38229  df-atl 38260  df-cvlat 38284  df-hlat 38313  df-padd 38759
This theorem is referenced by:  paddasslem18  38800
  Copyright terms: Public domain W3C validator