Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddasslem16 39547
Description: Lemma for paddass 39550. Use elpaddn0 39512 to eliminate 𝑥 and 𝑟 from paddasslem15 39546. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l = (le‘𝐾)
paddasslem.j = (join‘𝐾)
paddasslem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddasslem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddasslem16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem paddasslem16
Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 39074 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp21 1203 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝑋𝐴)
4 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝐾 ∈ HL)
5 simp22 1204 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝑌𝐴)
6 simp23 1205 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝑍𝐴)
7 paddasslem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 paddasslem.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
97, 8paddssat 39526 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ 𝐴)
104, 5, 6, 9syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ 𝐴)
11 simp3l 1198 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅))
12 paddasslem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
13 paddasslem.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
1412, 13, 7, 8elpaddn0 39512 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑌 + 𝑍) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)𝑝 (𝑥 𝑟))))
152, 3, 10, 11, 14syl31anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)𝑝 (𝑥 𝑟))))
16 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) → (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))
1712, 13, 7, 8paddasslem15 39546 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑥𝑋𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
1816, 17syl3anl3 1411 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑥𝑋𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
19183exp2 1351 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑝𝐴 → ((𝑥𝑋𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) → (𝑝 (𝑥 𝑟) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
2019imp 405 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑥𝑋𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) → (𝑝 (𝑥 𝑟) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))
2120rexlimdvv 3201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) ∧ 𝑝𝐴) → (∃𝑥𝑋𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)𝑝 (𝑥 𝑟) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
2221expimpd 452 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → ((𝑝𝐴 ∧ ∃𝑥𝑋𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)𝑝 (𝑥 𝑟)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
2315, 22sylbid 239 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
2423ssrdv 3984 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060  wss 3946  c0 4322   class class class wbr 5145  cfv 6546  (class class class)co 7416  lecple 17268  joincjn 18331  Latclat 18451  Atomscatm 38974  HLchlt 39061  +𝑃cpadd 39507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-proset 18315  df-poset 18333  df-plt 18350  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-p0 18445  df-lat 18452  df-clat 18519  df-oposet 38887  df-ol 38889  df-oml 38890  df-covers 38977  df-ats 38978  df-atl 39009  df-cvlat 39033  df-hlat 39062  df-padd 39508
This theorem is referenced by:  paddasslem18  39549
  Copyright terms: Public domain W3C validator