Theorem paddasslem16 41084

Description: Lemma for paddass 41087. Use elpaddn0 41049 to eliminate 𝑥 and 𝑟 from paddasslem15 41083. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddasslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddasslem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddasslem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddasslem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddasslem16	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem paddasslem16

Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40612	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp21 1225	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
4		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝐾 ∈ HL)
5		simp22 1226	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
6		simp23 1227	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
7		paddasslem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		paddasslem.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
9	7, 8	paddssat 41063	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ 𝐴)
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ 𝐴)
11		simp3l 1220	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅))
12		paddasslem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		paddasslem.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14	12, 13, 7, 8	elpaddn0 41049	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 + 𝑍) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))))
15	2, 3, 10, 11, 14	syl31anc 1401	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))))
16		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) → (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))
17	12, 13, 7, 8	paddasslem15 41083	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
18	16, 17	syl3anl3 1442	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
19	18	3exp2 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) → (𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
20	19	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) → (𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))
21	20	rexlimdvv 3222	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
22	21	expimpd 459	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
23	15, 22	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
24	23	ssrdv 3919	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ ∅) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  lecple 17464  joincjn 18514  Latclat 18634  Atomscatm 40512  HLchlt 40599  +_𝑃cpadd 41044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-proset 18497  df-poset 18516  df-plt 18531  df-lub 18547  df-glb 18548  df-join 18549  df-meet 18550  df-p0 18626  df-lat 18635  df-clat 18702  df-oposet 40425  df-ol 40427  df-oml 40428  df-covers 40515  df-ats 40516  df-atl 40547  df-cvlat 40571  df-hlat 40600  df-padd 41045

This theorem is used by:  paddasslem18  41086