Theorem caucvgbf 45533

Description: A function is convergent if and only if it is Cauchy. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgbf.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
caucvgbf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
caucvgbf.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
caucvgbf	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑗,𝑍,𝑥   𝑥,𝑘,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem caucvgbf

Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgbf.3	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	caucvgb 15587	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)))
3		nfcv 2894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(ℤ≥‘𝑖)
4		caucvgbf.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
5		nfcv 2894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
6	4, 5	nffv 6832	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
7	6	nfel1 2911	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙) ∈ ℂ
8		nfcv 2894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗abs
9		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 −
10		nfcv 2894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝑖
11	4, 10	nffv 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑖)
12	6, 9, 11	nfov 7376	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))
13	8, 12	nffv 6832	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖)))
14		nfcv 2894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 <
15		nfcv 2894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝑥
16	13, 14, 15	nfbr 5138	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥
17	7, 16	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
18	3, 17	nfralw 3279	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
19		nfv 1915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
20		caucvgbf.2	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
21		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
22	20, 21	nffv 6832	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
23	22	nfel1 2911	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙) ∈ ℂ
24		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘abs
25		nfcv 2894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 −
26		nfcv 2894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑖
27	20, 26	nffv 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑖)
28	22, 25, 27	nfov 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))
29	24, 28	nffv 6832	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖)))
30		nfcv 2894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 <
31		nfcv 2894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
32	29, 30, 31	nfbr 5138	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥
33	23, 32	nfan 1900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
34		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
35		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
36	35	eleq1d 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
37	35	fvoveq1d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))))
38	37	breq1d 5101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥))
39	36, 38	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)))
40	33, 34, 39	cbvralw 3274	. . . . 5 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥))
41		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
42		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑗))
43	42	oveq2d 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖)) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))
44	43	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
45	44	breq1d 5101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
46	45	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
47	41, 46	raleqbidv 3312	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
48	40, 47	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
49	18, 19, 48	cbvrexw 3275	. . 3 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
50	49	ralbii 3078	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
51	2, 50	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2879  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   class class class wbr 5091  dom cdm 5616  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004   < clt 11146   − cmin 11344  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ℝ⁺crp 12890  abscabs 15141   ⇝ cli 15391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-ico 13251  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396

This theorem is referenced by:  cvgcau  45534