Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caucvgbf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caucvgbf 45340
Description: A function is convergent if and only if it is Cauchy. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgbf.1 𝑗𝐹
caucvgbf.2 𝑘𝐹
caucvgbf.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
caucvgbf ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑗,𝑍,𝑥   𝑥,𝑘,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem caucvgbf
Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgbf.3 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
21caucvgb 15724 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑙) − (𝐹𝑖))) < 𝑥)))
3 nfcv 2904 . . . . 5 𝑗(ℤ𝑖)
4 caucvgbf.1 . . . . . . . 8 𝑗𝐹
5 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑗𝑙
64, 5nffv 6929 . . . . . . 7 𝑗(𝐹𝑙)
76nfel1 2921 . . . . . 6 𝑗(𝐹𝑙) ∈ ℂ
8 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑗abs
9 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑗
10 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑗𝑖
114, 10nffv 6929 . . . . . . . . 9 𝑗(𝐹𝑖)
126, 9, 11nfov 7475 . . . . . . . 8 𝑗((𝐹𝑙) − (𝐹𝑖))
138, 12nffv 6929 . . . . . . 7 𝑗(abs‘((𝐹𝑙) − (𝐹𝑖)))
14 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑗 <
15 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑗𝑥
1613, 14, 15nfbr 5216 . . . . . 6 𝑗(abs‘((𝐹𝑙) − (𝐹𝑖))) < 𝑥
177, 16nfan 1898 . . . . 5 𝑗((𝐹𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑙) − (𝐹𝑖))) < 𝑥)
183, 17nfralw 3312 . . . 4 𝑗𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑙) − (𝐹𝑖))) < 𝑥)
19 nfv 1913 . . . 4 𝑖𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
20 caucvgbf.2 . . . . . . . . 9 𝑘𝐹
21 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑘𝑙
2220, 21nffv 6929 . . . . . . . 8 𝑘(𝐹𝑙)
2322nfel1 2921 . . . . . . 7 𝑘(𝐹𝑙) ∈ ℂ
24 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑘abs
25 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑘
26 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑖
2720, 26nffv 6929 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝐹𝑖)
2822, 25, 27nfov 7475 . . . . . . . . 9 𝑘((𝐹𝑙) − (𝐹𝑖))
2924, 28nffv 6929 . . . . . . . 8 𝑘(abs‘((𝐹𝑙) − (𝐹𝑖)))
30 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑘 <
31 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑘𝑥
3229, 30, 31nfbr 5216 . . . . . . 7 𝑘(abs‘((𝐹𝑙) − (𝐹𝑖))) < 𝑥
3323, 32nfan 1898 . . . . . 6 𝑘((𝐹𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑙) − (𝐹𝑖))) < 𝑥)
34 nfv 1913 . . . . . 6 𝑙((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑖))) < 𝑥)
35 fveq2 6919 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑘 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑘))
3635eleq1d 2823 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹𝑙) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑘) ∈ ℂ))
3735fvoveq1d 7467 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑘 → (abs‘((𝐹𝑙) − (𝐹𝑖))) = (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑖))))
3837breq1d 5179 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑙) − (𝐹𝑖))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑖))) < 𝑥))
3936, 38anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑘 → (((𝐹𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑙) − (𝐹𝑖))) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑖))) < 𝑥)))
4033, 34, 39cbvralw 3307 . . . . 5 (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑙) − (𝐹𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑖))) < 𝑥))
41 fveq2 6919 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
42 fveq2 6919 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑗))
4342oveq2d 7461 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑖)) = ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))
4443fveq2d 6923 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑖))) = (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
4544breq1d 5179 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑖))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4645anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑖))) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
4741, 46raleqbidv 3349 . . . . 5 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
4840, 47bitrid 283 . . . 4 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑙) − (𝐹𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
4918, 19, 48cbvrexw 3308 . . 3 (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑙) − (𝐹𝑖))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
5049ralbii 3095 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑙) − (𝐹𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
512, 50bitrdi 287 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  wnfc 2888  wral 3063  wrex 3072   class class class wbr 5169  dom cdm 5699  cfv 6572  (class class class)co 7445  cc 11178   < clt 11320  cmin 11516  cz 12635  cuz 12899  +crp 13053  abscabs 15279  cli 15526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-pm 8883  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-sup 9507  df-inf 9508  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-rp 13054  df-ico 13409  df-fl 13839  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-limsup 15513  df-clim 15530  df-rlim 15531
This theorem is referenced by:  cvgcau  45341
  Copyright terms: Public domain W3C validator