Theorem caucvgbf 45614

Description: A function is convergent if and only if it is Cauchy. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgbf.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
caucvgbf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
caucvgbf.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
caucvgbf	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑗,𝑍,𝑥   𝑥,𝑘,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem caucvgbf

Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgbf.3	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	caucvgb 15591	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)))
3		nfcv 2895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(ℤ≥‘𝑖)
4		caucvgbf.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
5		nfcv 2895	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
6	4, 5	nffv 6840	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
7	6	nfel1 2912	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙) ∈ ℂ
8		nfcv 2895	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗abs
9		nfcv 2895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 −
10		nfcv 2895	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝑖
11	4, 10	nffv 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑖)
12	6, 9, 11	nfov 7384	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))
13	8, 12	nffv 6840	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖)))
14		nfcv 2895	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 <
15		nfcv 2895	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝑥
16	13, 14, 15	nfbr 5142	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥
17	7, 16	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
18	3, 17	nfralw 3280	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
19		nfv 1915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
20		caucvgbf.2	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
21		nfcv 2895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
22	20, 21	nffv 6840	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
23	22	nfel1 2912	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙) ∈ ℂ
24		nfcv 2895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘abs
25		nfcv 2895	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 −
26		nfcv 2895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑖
27	20, 26	nffv 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑖)
28	22, 25, 27	nfov 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))
29	24, 28	nffv 6840	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖)))
30		nfcv 2895	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 <
31		nfcv 2895	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
32	29, 30, 31	nfbr 5142	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥
33	23, 32	nfan 1900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
34		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
35		fveq2 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
36	35	eleq1d 2818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
37	35	fvoveq1d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))))
38	37	breq1d 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥))
39	36, 38	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)))
40	33, 34, 39	cbvralw 3275	. . . . 5 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥))
41		fveq2 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
42		fveq2 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑗))
43	42	oveq2d 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖)) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))
44	43	fveq2d 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
45	44	breq1d 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
46	45	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
47	41, 46	raleqbidv 3313	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
48	40, 47	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
49	18, 19, 48	cbvrexw 3276	. . 3 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
50	49	ralbii 3079	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
51	2, 50	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2880  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   class class class wbr 5095  dom cdm 5621  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  ℂcc 11013   < clt 11155   − cmin 11353  ℤcz 12477  ℤ_≥cuz 12740  ℝ⁺crp 12894  abscabs 15145   ⇝ cli 15395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-pm 8761  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-rp 12895  df-ico 13255  df-fl 13700  df-seq 13913  df-exp 13973  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-limsup 15382  df-clim 15399  df-rlim 15400

This theorem is referenced by:  cvgcau  45615