Theorem caucvgbf 44795

Description: A function is convergent if and only if it is Cauchy. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgbf.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
caucvgbf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
caucvgbf.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
caucvgbf	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑗,𝑍,𝑥   𝑥,𝑘,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem caucvgbf

Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgbf.3	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	caucvgb 15650	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)))
3		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(ℤ≥‘𝑖)
4		caucvgbf.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
5		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
6	4, 5	nffv 6901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
7	6	nfel1 2914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙) ∈ ℂ
8		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗abs
9		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 −
10		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝑖
11	4, 10	nffv 6901	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑖)
12	6, 9, 11	nfov 7444	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))
13	8, 12	nffv 6901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖)))
14		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 <
15		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝑥
16	13, 14, 15	nfbr 5189	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥
17	7, 16	nfan 1895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
18	3, 17	nfralw 3303	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
19		nfv 1910	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
20		caucvgbf.2	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
21		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
22	20, 21	nffv 6901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
23	22	nfel1 2914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙) ∈ ℂ
24		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘abs
25		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 −
26		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑖
27	20, 26	nffv 6901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑖)
28	22, 25, 27	nfov 7444	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))
29	24, 28	nffv 6901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖)))
30		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 <
31		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
32	29, 30, 31	nfbr 5189	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥
33	23, 32	nfan 1895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
34		nfv 1910	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
35		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
36	35	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
37	35	fvoveq1d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))))
38	37	breq1d 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥))
39	36, 38	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)))
40	33, 34, 39	cbvralw 3298	. . . . 5 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥))
41		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
42		fveq2 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑗))
43	42	oveq2d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖)) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))
44	43	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
45	44	breq1d 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
46	45	anbi2d 628	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
47	41, 46	raleqbidv 3337	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
48	40, 47	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
49	18, 19, 48	cbvrexw 3299	. . 3 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
50	49	ralbii 3088	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
51	2, 50	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Ⅎwnfc 2878  ∀wral 3056  ∃wrex 3065   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11128   < clt 11270   − cmin 11466  ℤcz 12580  ℤ_≥cuz 12844  ℝ⁺crp 12998  abscabs 15205   ⇝ cli 15452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ico 13354  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457

This theorem is referenced by:  cvgcau  44796