Theorem caucvgbf 45844

Description: A function is convergent if and only if it is Cauchy. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgbf.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
caucvgbf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
caucvgbf.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
caucvgbf	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑗,𝑍,𝑥   𝑥,𝑘,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem caucvgbf

Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgbf.3	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	caucvgb 15615	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)))
3		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(ℤ≥‘𝑖)
4		caucvgbf.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
5		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
6	4, 5	nffv 6852	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
7	6	nfel1 2916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙) ∈ ℂ
8		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗abs
9		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 −
10		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝑖
11	4, 10	nffv 6852	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑖)
12	6, 9, 11	nfov 7398	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))
13	8, 12	nffv 6852	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖)))
14		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 <
15		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝑥
16	13, 14, 15	nfbr 5147	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥
17	7, 16	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
18	3, 17	nfralw 3285	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
19		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
20		caucvgbf.2	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
21		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
22	20, 21	nffv 6852	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
23	22	nfel1 2916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙) ∈ ℂ
24		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘abs
25		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 −
26		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑖
27	20, 26	nffv 6852	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑖)
28	22, 25, 27	nfov 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))
29	24, 28	nffv 6852	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖)))
30		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 <
31		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
32	29, 30, 31	nfbr 5147	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥
33	23, 32	nfan 1901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
34		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
35		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
36	35	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
37	35	fvoveq1d 7390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))))
38	37	breq1d 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥))
39	36, 38	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)))
40	33, 34, 39	cbvralw 3280	. . . . 5 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥))
41		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
42		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑗))
43	42	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖)) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))
44	43	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
45	44	breq1d 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
46	45	anbi2d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
47	41, 46	raleqbidv 3318	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
48	40, 47	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
49	18, 19, 48	cbvrexw 3281	. . 3 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
50	49	ralbii 3084	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
51	2, 50	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   < clt 11178   − cmin 11376  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12917  abscabs 15169   ⇝ cli 15419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ico 13279  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424

This theorem is referenced by:  cvgcau  45845