Theorem caucvgbf 45939

Description: A function is convergent if and only if it is Cauchy. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgbf.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
caucvgbf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
caucvgbf.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
caucvgbf	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑗,𝑍,𝑥   𝑥,𝑘,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem caucvgbf

Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgbf.3	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	caucvgb 15640	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)))
3		nfcv 2902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(ℤ≥‘𝑖)
4		caucvgbf.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
5		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
6	4, 5	nffv 6844	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
7	6	nfel1 2918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙) ∈ ℂ
8		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗abs
9		nfcv 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 −
10		nfcv 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝑖
11	4, 10	nffv 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑖)
12	6, 9, 11	nfov 7393	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))
13	8, 12	nffv 6844	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖)))
14		nfcv 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 <
15		nfcv 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝑥
16	13, 14, 15	nfbr 5126	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥
17	7, 16	nfan 1906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
18	3, 17	nfralw 3287	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
19		nfv 1921	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
20		caucvgbf.2	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
21		nfcv 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
22	20, 21	nffv 6844	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
23	22	nfel1 2918	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙) ∈ ℂ
24		nfcv 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘abs
25		nfcv 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 −
26		nfcv 2902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑖
27	20, 26	nffv 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑖)
28	22, 25, 27	nfov 7393	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))
29	24, 28	nffv 6844	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖)))
30		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 <
31		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
32	29, 30, 31	nfbr 5126	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥
33	23, 32	nfan 1906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
34		nfv 1921	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)
35		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
36	35	eleq1d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
37	35	fvoveq1d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))))
38	37	breq1d 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥))
39	36, 38	anbi12d 638	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥)))
40	33, 34, 39	cbvralw 3282	. . . . 5 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥))
41		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
42		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑗))
43	42	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖)) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))
44	43	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
45	44	breq1d 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
46	45	anbi2d 636	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
47	41, 46	raleqbidv 3314	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
48	40, 47	bitrid 284	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
49	18, 19, 48	cbvrexw 3283	. . 3 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
50	49	ralbii 3086	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑙) − (𝐹‘𝑖))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
51	2, 50	bitrdi 288	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2887  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   class class class wbr 5079  dom cdm 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   < clt 11177   − cmin 11375  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ℝ⁺crp 12940  abscabs 15194   ⇝ cli 15444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-ico 13302  df-fl 13749  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449

This theorem is referenced by:  cvgcau  45940