Theorem xlenegcon2 46092

Description: Extended real version of lenegcon2 11718. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xlenegcon2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ -𝑒𝐵 ↔ 𝐵 ≤ -𝑒𝐴))

Proof of Theorem xlenegcon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcl 13238	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
2		xleneg 13243	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ -𝑒𝐵 ↔ -𝑒-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴))
3	1, 2	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ -𝑒𝐵 ↔ -𝑒-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴))
4		xnegneg 13239	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
5	4	breq1d 5123	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴 ↔ 𝐵 ≤ -𝑒𝐴))
6	5	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴 ↔ 𝐵 ≤ -𝑒𝐴))
7	3, 6	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ -𝑒𝐵 ↔ 𝐵 ≤ -𝑒𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ℝ^*cxr 11241   ≤ cle 11243  -_𝑒cxne 13133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-xneg 13136

This theorem is referenced by: (None)