Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlenegcon2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlenegcon2 41229
Description: Extended real version of lenegcon2 10944. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
xlenegcon2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ -𝑒𝐵𝐵 ≤ -𝑒𝐴))

Proof of Theorem xlenegcon2
StepHypRef Expression
1 xnegcl 12421 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
2 xleneg 12426 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ -𝑒𝐵 ↔ -𝑒-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴))
31, 2sylan2 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ -𝑒𝐵 ↔ -𝑒-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴))
4 xnegneg 12422 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
54breq1d 4935 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴𝐵 ≤ -𝑒𝐴))
65adantl 474 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴𝐵 ≤ -𝑒𝐴))
73, 6bitrd 271 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ -𝑒𝐵𝐵 ≤ -𝑒𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wcel 2051   class class class wbr 4925  *cxr 10471  cle 10473  -𝑒cxne 12319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-xneg 12322
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator