Theorem smfpimne 48064

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of reals that are different from a value in the extended reals is in the subspace of sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimne.p	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfpimne.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimne.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimne.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimne.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimne.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimne	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimne.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfpimne.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfpimne.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
4		smfpimne.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
5	2, 3, 4	smff 47957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
6	5	ffvelcdmda 7111	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11389	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
8		smfpimne.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10	1, 7, 9	pimxrneun 46713	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} = ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∪ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)}))
11	2, 3, 4	smfdmss 47958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
12	2, 11	subsaluni 47585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
14	2, 12, 13	subsalsal 47584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
15		smfpimne.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
16	15, 2, 3, 4, 8	smfpimltxr 47972	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
17	15, 2, 3, 4, 8	smfpimgtxr 48005	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
18	14, 16, 17	saluncld 47573	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∪ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)}) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
19	10, 18	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911   ≠ wne 2959  {crab 3416   ∪ cun 4152   class class class wbr 5106  dom cdm 5656  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373   ↾_t crest 17623  SAlgcsalg 47533  SMblFncsmblfn 47920

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cc 10543  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-card 10050  df-acn 10053  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-ioo 13510  df-ico 13512  df-fl 13962  df-rest 17625  df-salg 47534  df-smblfn 47921

This theorem is used by:  smfpimne2  48065