Theorem smfpimne 47943

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of reals that are different from a value in the extended reals is in the subspace of sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimne.p	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfpimne.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimne.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimne.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimne.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimne.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimne	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimne.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfpimne.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfpimne.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
4		smfpimne.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
5	2, 3, 4	smff 47836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
6	5	ffvelcdmda 7085	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11363	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
8		smfpimne.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10	1, 7, 9	pimxrneun 46592	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} = ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∪ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)}))
11	2, 3, 4	smfdmss 47837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
12	2, 11	subsaluni 47464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
13		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
14	2, 12, 13	subsalsal 47463	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
15		smfpimne.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
16	15, 2, 3, 4, 8	smfpimltxr 47851	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
17	15, 2, 3, 4, 8	smfpimgtxr 47884	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
18	14, 16, 17	saluncld 47452	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∪ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)}) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
19	10, 18	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907   ≠ wne 2955  {crab 3412   ∪ cun 4149   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347   ↾_t crest 17597  SAlgcsalg 47412  SMblFncsmblfn 47799

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cc 10517  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-card 10024  df-acn 10027  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-ioo 13484  df-ico 13486  df-fl 13936  df-rest 17599  df-salg 47413  df-smblfn 47800

This theorem is used by:  smfpimne2  47944