Theorem smfpimne 46124

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of reals that are different from a value in the extended reals is in the subspace of sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimne.p	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfpimne.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimne.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimne.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimne.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimne.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimne	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimne.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfpimne.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfpimne.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
4		smfpimne.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
5	2, 3, 4	smff 46017	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
6	5	ffvelcdmda 7080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11268	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
8		smfpimne.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10	1, 7, 9	pimxrneun 44768	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} = ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∪ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)}))
11	2, 3, 4	smfdmss 46018	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
12	2, 11	subsaluni 45645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
13		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
14	2, 12, 13	subsalsal 45644	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
15		smfpimne.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
16	15, 2, 3, 4, 8	smfpimltxr 46032	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
17	15, 2, 3, 4, 8	smfpimgtxr 46065	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
18	14, 16, 17	saluncld 45633	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∪ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)}) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
19	10, 18	eqeltrd 2827	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2877   ≠ wne 2934  {crab 3426   ∪ cun 3941   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ↾_t crest 17375  SAlgcsalg 45593  SMblFncsmblfn 45980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-fl 13763  df-rest 17377  df-salg 45594  df-smblfn 45981

This theorem is referenced by:  smfpimne2  46125