Theorem smfpimne 46274

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of reals that are different from a value in the extended reals is in the subspace of sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimne.p	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfpimne.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimne.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimne.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimne.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimne.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimne	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimne.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfpimne.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfpimne.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
4		smfpimne.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
5	2, 3, 4	smff 46167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
6	5	ffvelcdmda 7099	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11304	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
8		smfpimne.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
9	8	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10	1, 7, 9	pimxrneun 44918	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} = ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∪ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)}))
11	2, 3, 4	smfdmss 46168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
12	2, 11	subsaluni 45795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
13		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
14	2, 12, 13	subsalsal 45794	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
15		smfpimne.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
16	15, 2, 3, 4, 8	smfpimltxr 46182	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
17	15, 2, 3, 4, 8	smfpimgtxr 46215	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
18	14, 16, 17	saluncld 45783	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∪ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)}) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
19	10, 18	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2879   ≠ wne 2937  {crab 3430   ∪ cun 3947   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℝcr 11147  ℝ^*cxr 11287   < clt 11288   ↾_t crest 17411  SAlgcsalg 45743  SMblFncsmblfn 46130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cc 10468  ax-ac2 10496  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-card 9972  df-acn 9975  df-ac 10149  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-ioo 13370  df-ico 13372  df-fl 13799  df-rest 17413  df-salg 45744  df-smblfn 46131

This theorem is referenced by:  smfpimne2  46275