Theorem smfpimne 46478

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of reals that are different from a value in the extended reals is in the subspace of sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimne.p	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfpimne.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimne.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimne.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimne.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimne.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimne	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimne.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfpimne.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfpimne.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
4		smfpimne.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
5	2, 3, 4	smff 46371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
6	5	ffvelcdmda 7100	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11316	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
8		smfpimne.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
9	8	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10	1, 7, 9	pimxrneun 45122	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} = ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∪ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)}))
11	2, 3, 4	smfdmss 46372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
12	2, 11	subsaluni 45999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
13		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
14	2, 12, 13	subsalsal 45998	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
15		smfpimne.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
16	15, 2, 3, 4, 8	smfpimltxr 46386	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
17	15, 2, 3, 4, 8	smfpimgtxr 46419	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
18	14, 16, 17	saluncld 45987	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∪ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)}) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
19	10, 18	eqeltrd 2826	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099  Ⅎwnfc 2876   ≠ wne 2930  {crab 3419   ∪ cun 3945   class class class wbr 5155  dom cdm 5684  ‘cfv 6556  (class class class)co 7426  ℝcr 11159  ℝ^*cxr 11299   < clt 11300   ↾_t crest 17437  SAlgcsalg 45947  SMblFncsmblfn 46334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-inf2 9686  ax-cc 10480  ax-ac2 10508  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-pre-sup 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-iin 5006  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-2o 8499  df-er 8736  df-map 8859  df-pm 8860  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9487  df-inf 9488  df-card 9984  df-acn 9987  df-ac 10161  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12613  df-uz 12877  df-q 12987  df-rp 13031  df-ioo 13384  df-ico 13386  df-fl 13814  df-rest 17439  df-salg 45948  df-smblfn 46335

This theorem is referenced by:  smfpimne2  46479