Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfdmmblpimne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfdmmblpimne 46852
Description: If a measurable function w.r.t. to a sigma-algebra has domain in the sigma-algebra, the set of elements that are not mapped to a given real, is in the sigma-algebra (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
smfdmmblpimne.1 𝑥𝜑
smfdmmblpimne.2 𝑥𝐴
smfdmmblpimne.3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfdmmblpimne.4 (𝜑𝐴𝑆)
smfdmmblpimne.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfdmmblpimne.6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdmmblpimne.7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
smfdmmblpimne.8 𝐷 = {𝑥𝐴𝐵𝐶}
Assertion
Ref Expression
smfdmmblpimne (𝜑𝐷𝑆)
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem smfdmmblpimne
StepHypRef Expression
1 smfdmmblpimne.8 . . 3 𝐷 = {𝑥𝐴𝐵𝐶}
2 smfdmmblpimne.1 . . . 4 𝑥𝜑
3 smfdmmblpimne.5 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 11311 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 smfdmmblpimne.7 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65rexrd 11311 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
82, 4, 7pimxrneun 45499 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} = ({𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵}))
91, 8eqtrid 2789 . 2 (𝜑𝐷 = ({𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵}))
10 smfdmmblpimne.3 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
11 smfdmmblpimne.4 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
1210, 11salrestss 46376 . . . 4 (𝜑 → (𝑆t 𝐴) ⊆ 𝑆)
13 smfdmmblpimne.2 . . . . 5 𝑥𝐴
14 smfdmmblpimne.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
152, 13, 10, 3, 14, 6smfpimltxrmptf 46773 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∈ (𝑆t 𝐴))
1612, 15sseldd 3984 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)
172, 13, 10, 3, 14, 6smfpimgtxrmptf 46799 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴))
1812, 17sseldd 3984 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵} ∈ 𝑆)
1910, 16, 18saluncld 46363 . 2 (𝜑 → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵}) ∈ 𝑆)
209, 19eqeltrd 2841 1 (𝜑𝐷𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wnfc 2890  wne 2940  {crab 3436  cun 3949   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  *cxr 11294   < clt 11295  t crest 17465  SAlgcsalg 46323  SMblFncsmblfn 46710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-fl 13832  df-rest 17467  df-salg 46324  df-smblfn 46711
This theorem is referenced by:  smfdivdmmbl  46853
  Copyright terms: Public domain W3C validator