Theorem znzrhfo 20755

Description: The ℤ ring homomorphism is a surjection onto ℤ / 𝑛ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrhfo.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znzrhfo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
znzrhfo.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znzrhfo	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)

Proof of Theorem znzrhfo

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
2		zringbas 20676	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℤ = (Base‘ℤring))
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
5		ovexd 7310	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) ∈ V)
6		zringring 20673	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℤring ∈ Ring)
8	1, 3, 4, 5, 7	quslem 17254	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→(ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
9		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
10		znzrhfo.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
11		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))
12	9, 10, 11	znbas 20751	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (Base‘𝑌))
13		znzrhfo.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
14	12, 13	eqtr4di 2796	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = 𝐵)
15		foeq3 6686	. . . 4 ⊢ ((ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = 𝐵 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→(ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→𝐵))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→(ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→𝐵))
17	8, 16	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→𝐵)
18		znzrhfo.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
19	9, 11, 10, 18	znzrh2 20753	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
20		foeq1 6684	. . 3 ⊢ (𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) → (𝐿:ℤ–onto→𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→𝐵))
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿:ℤ–onto→𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→𝐵))
22	17, 21	mpbird 256	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  {csn 4561   ↦ cmpt 5157  –onto→wfo 6431  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  [cec 8496   / cqs 8497  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  Basecbs 16912   /_s cqus 17216   ~_QG cqg 18751  Ringcrg 19783  RSpancrsp 20433  ℤ_ringczring 20670  ℤRHomczrh 20701  ℤ/nℤczn 20704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-imas 17219  df-qus 17220  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-nsg 18753  df-eqg 18754  df-ghm 18832  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-rnghom 19959  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-lidl 20436  df-rsp 20437  df-2idl 20503  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-zrh 20705  df-zn 20708

This theorem is referenced by:  zncyg  20756  znf1o  20759  zzngim  20760  znfld  20768  znunit  20771  znrrg  20773  cygznlem2a  20775  cygznlem3  20777  dchrelbas4  26391  dchrzrhcl  26393  lgsdchrval  26502  lgsdchr  26503  rpvmasumlem  26635  dchrmusum2  26642  dchrvmasumlem3  26647  dchrisum0ff  26655  dchrisum0flblem1  26656  rpvmasum2  26660  dchrisum0re  26661  dchrisum0lem2a  26665  dirith  26677  znfermltl  31562