MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znzrhfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znzrhfo 21102
Description: The β„€ ring homomorphism is a surjection onto β„€ / 𝑛℀. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
znzrhfo.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
znzrhfo.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
znzrhfo.2 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
znzrhfo (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–onto→𝐡)

Proof of Theorem znzrhfo
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2733 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„€ring /s (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))) = (β„€ring /s (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))))
2 zringbas 21022 . . . . 5 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
32a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ β„€ = (Baseβ€˜β„€ring))
4 eqid 2732 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„€ ↦ [π‘₯](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))) = (π‘₯ ∈ β„€ ↦ [π‘₯](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))
5 ovexd 7443 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})) ∈ V)
6 zringring 21019 . . . . 5 β„€ring ∈ Ring
76a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ β„€ring ∈ Ring)
81, 3, 4, 5, 7quslem 17488 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ [π‘₯](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))):℀–ontoβ†’(β„€ / (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))))
9 eqid 2732 . . . . . 6 (RSpanβ€˜β„€ring) = (RSpanβ€˜β„€ring)
10 znzrhfo.y . . . . . 6 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
11 eqid 2732 . . . . . 6 (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})) = (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))
129, 10, 11znbas 21098 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„€ / (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))) = (Baseβ€˜π‘Œ))
13 znzrhfo.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
1412, 13eqtr4di 2790 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„€ / (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))) = 𝐡)
15 foeq3 6803 . . . 4 ((β„€ / (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))) = 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ [π‘₯](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))):℀–ontoβ†’(β„€ / (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))) ↔ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ [π‘₯](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))):℀–onto→𝐡))
1614, 15syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ [π‘₯](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))):℀–ontoβ†’(β„€ / (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))) ↔ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ [π‘₯](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))):℀–onto→𝐡))
178, 16mpbid 231 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ [π‘₯](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))):℀–onto→𝐡)
18 znzrhfo.2 . . . 4 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
199, 11, 10, 18znzrh2 21100 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿 = (π‘₯ ∈ β„€ ↦ [π‘₯](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))))
20 foeq1 6801 . . 3 (𝐿 = (π‘₯ ∈ β„€ ↦ [π‘₯](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))) β†’ (𝐿:℀–onto→𝐡 ↔ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ [π‘₯](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))):℀–onto→𝐡))
2119, 20syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐿:℀–onto→𝐡 ↔ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ [π‘₯](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))):℀–onto→𝐡))
2217, 21mpbird 256 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–onto→𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  [cec 8700   / cqs 8701  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  Basecbs 17143   /s cqus 17450   ~QG cqg 19001  Ringcrg 20055  RSpancrsp 20783  β„€ringczring 21016  β„€RHomczrh 21048  β„€/nβ„€czn 21051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-seq 13966  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-imas 17453  df-qus 17454  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-ghm 19089  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rsp 20787  df-2idl 20856  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zrh 21052  df-zn 21055
This theorem is referenced by:  zncyg  21103  znf1o  21106  zzngim  21107  znfld  21115  znunit  21118  znrrg  21120  cygznlem2a  21122  cygznlem3  21124  dchrelbas4  26743  dchrzrhcl  26745  lgsdchrval  26854  lgsdchr  26855  rpvmasumlem  26987  dchrmusum2  26994  dchrvmasumlem3  26999  dchrisum0ff  27007  dchrisum0flblem1  27008  rpvmasum2  27012  dchrisum0re  27013  dchrisum0lem2a  27017  dirith  27029  znfermltl  32474
  Copyright terms: Public domain W3C validator