MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znzrhfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znzrhfo 20610
Description: The ring homomorphism is a surjection onto ℤ / 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
znzrhfo.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znzrhfo.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
znzrhfo.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znzrhfo (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto𝐵)

Proof of Theorem znzrhfo
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2825 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
2 zringbas 20539 . . . . 5 ℤ = (Base‘ℤring)
32a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ℤ = (Base‘ℤring))
4 eqid 2824 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
5 ovexd 7186 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) ∈ V)
6 zringring 20536 . . . . 5 ring ∈ Ring
76a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ℤring ∈ Ring)
81, 3, 4, 5, 7quslem 16808 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→(ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
9 eqid 2824 . . . . . 6 (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
10 znzrhfo.y . . . . . 6 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
11 eqid 2824 . . . . . 6 (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))
129, 10, 11znbas 20606 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (Base‘𝑌))
13 znzrhfo.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
1412, 13syl6eqr 2878 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = 𝐵)
15 foeq3 6584 . . . 4 ((ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = 𝐵 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→(ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto𝐵))
1614, 15syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→(ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto𝐵))
178, 16mpbid 233 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto𝐵)
18 znzrhfo.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
199, 11, 10, 18znzrh2 20608 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
20 foeq1 6582 . . 3 (𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) → (𝐿:ℤ–onto𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto𝐵))
2119, 20syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿:ℤ–onto𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto𝐵))
2217, 21mpbird 258 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1530  wcel 2106  Vcvv 3499  {csn 4563  cmpt 5142  ontowfo 6349  cfv 6351  (class class class)co 7151  [cec 8280   / cqs 8281  0cn0 11889  cz 11973  Basecbs 16475   /s cqus 16770   ~QG cqg 18207  Ringcrg 19219  RSpancrsp 19865  ringzring 20533  ℤRHomczrh 20563  ℤ/nczn 20566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-ec 8284  df-qs 8288  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12886  df-seq 13363  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-imas 16773  df-qus 16774  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17946  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-mulg 18157  df-subg 18208  df-nsg 18209  df-eqg 18210  df-ghm 18288  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-cring 19222  df-oppr 19295  df-rnghom 19389  df-subrg 19455  df-lmod 19558  df-lss 19626  df-lsp 19666  df-sra 19866  df-rgmod 19867  df-lidl 19868  df-rsp 19869  df-2idl 19926  df-cnfld 20462  df-zring 20534  df-zrh 20567  df-zn 20570
This theorem is referenced by:  zncyg  20611  znf1o  20614  zzngim  20615  znfld  20623  znunit  20626  znrrg  20628  cygznlem2a  20630  cygznlem3  20632  dchrelbas4  25733  dchrzrhcl  25735  lgsdchrval  25844  lgsdchr  25845  rpvmasumlem  25977  dchrmusum2  25984  dchrvmasumlem3  25989  dchrisum0ff  25997  dchrisum0flblem1  25998  rpvmasum2  26002  dchrisum0re  26003  dchrisum0lem2a  26007  dirith  26019
  Copyright terms: Public domain W3C validator