MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusgrp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusgrp2 19076
Description: Prove that a quotient structure is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusgrp2.u (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
qusgrp2.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
qusgrp2.p (𝜑+ = (+g𝑅))
qusgrp2.r (𝜑 Er 𝑉)
qusgrp2.x (𝜑𝑅𝑋)
qusgrp2.e (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) (𝑝 + 𝑞)))
qusgrp2.1 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
qusgrp2.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
qusgrp2.3 (𝜑0𝑉)
qusgrp2.4 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 + 𝑥) 𝑥)
qusgrp2.5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑁𝑉)
qusgrp2.6 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑁 + 𝑥) 0 )
Assertion
Ref Expression
qusgrp2 (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ [ 0 ] = (0g𝑈)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧,   0 ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥   𝑁,𝑝   𝑅,𝑝,𝑞   + ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑧)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑞,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧,𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   0 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem qusgrp2
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusgrp2.u . . . 4 (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
2 qusgrp2.v . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 eqid 2737 . . . 4 (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ) = (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )
4 qusgrp2.r . . . . 5 (𝜑 Er 𝑉)
5 fvex 6919 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
62, 5eqeltrdi 2849 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ V)
7 erex 8769 . . . . 5 ( Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∈ V))
84, 6, 7sylc 65 . . . 4 (𝜑 ∈ V)
9 qusgrp2.x . . . 4 (𝜑𝑅𝑋)
101, 2, 3, 8, 9qusval 17587 . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ) “s 𝑅))
11 qusgrp2.p . . 3 (𝜑+ = (+g𝑅))
121, 2, 3, 8, 9quslem 17588 . . 3 (𝜑 → (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ):𝑉onto→(𝑉 / ))
13 qusgrp2.1 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
14133expb 1121 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
15 qusgrp2.e . . . 4 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) (𝑝 + 𝑞)))
164, 6, 3, 14, 15ercpbl 17594 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → ((((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑎) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑝) ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑏) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑞)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑝 + 𝑞))))
174adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → Er 𝑉)
18 qusgrp2.2 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
1917, 18erthi 8798 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → [((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)] = [(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))] )
206adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
2117, 20, 3divsfval 17592 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)) = [((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)] )
2217, 20, 3divsfval 17592 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))) = [(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))] )
2319, 21, 223eqtr4d 2787 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
24 qusgrp2.3 . . 3 (𝜑0𝑉)
254adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → Er 𝑉)
26 qusgrp2.4 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 + 𝑥) 𝑥)
2725, 26erthi 8798 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → [( 0 + 𝑥)] = [𝑥] )
286adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑉 ∈ V)
2925, 28, 3divsfval 17592 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘( 0 + 𝑥)) = [( 0 + 𝑥)] )
3025, 28, 3divsfval 17592 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑥) = [𝑥] )
3127, 29, 303eqtr4d 2787 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘( 0 + 𝑥)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑥))
32 qusgrp2.5 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑁𝑉)
33 qusgrp2.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑁 + 𝑥) 0 )
3425, 33ersym 8757 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 (𝑁 + 𝑥))
3525, 34erthi 8798 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → [ 0 ] = [(𝑁 + 𝑥)] )
3625, 28, 3divsfval 17592 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ) = [ 0 ] )
3725, 28, 3divsfval 17592 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑁 + 𝑥)) = [(𝑁 + 𝑥)] )
3835, 36, 373eqtr4rd 2788 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑁 + 𝑥)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ))
3910, 2, 11, 12, 16, 9, 13, 23, 24, 31, 32, 38imasgrp2 19073 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ) = (0g𝑈)))
404, 6, 3divsfval 17592 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ) = [ 0 ] )
4140eqcomd 2743 . . . 4 (𝜑 → [ 0 ] = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ))
4241eqeq1d 2739 . . 3 (𝜑 → ([ 0 ] = (0g𝑈) ↔ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ) = (0g𝑈)))
4342anbi2d 630 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ∈ Grp ∧ [ 0 ] = (0g𝑈)) ↔ (𝑈 ∈ Grp ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ) = (0g𝑈))))
4439, 43mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ [ 0 ] = (0g𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431   Er wer 8742  [cec 8743   / cqs 8744  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484   /s cqus 17550  Grpcgrp 18951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954
This theorem is referenced by:  qusgrp  19204  frgp0  19778  pi1grplem  25082
  Copyright terms: Public domain W3C validator