MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusgrp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusgrp2 19089
Description: Prove that a quotient structure is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusgrp2.u (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
qusgrp2.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
qusgrp2.p (𝜑+ = (+g𝑅))
qusgrp2.r (𝜑 Er 𝑉)
qusgrp2.x (𝜑𝑅𝑋)
qusgrp2.e (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) (𝑝 + 𝑞)))
qusgrp2.1 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
qusgrp2.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
qusgrp2.3 (𝜑0𝑉)
qusgrp2.4 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 + 𝑥) 𝑥)
qusgrp2.5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑁𝑉)
qusgrp2.6 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑁 + 𝑥) 0 )
Assertion
Ref Expression
qusgrp2 (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ [ 0 ] = (0g𝑈)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧,   0 ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥   𝑁,𝑝   𝑅,𝑝,𝑞   + ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑧)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑞,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧,𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   0 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem qusgrp2
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusgrp2.u . . . 4 (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
2 qusgrp2.v . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 eqid 2735 . . . 4 (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ) = (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )
4 qusgrp2.r . . . . 5 (𝜑 Er 𝑉)
5 fvex 6920 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
62, 5eqeltrdi 2847 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ V)
7 erex 8768 . . . . 5 ( Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∈ V))
84, 6, 7sylc 65 . . . 4 (𝜑 ∈ V)
9 qusgrp2.x . . . 4 (𝜑𝑅𝑋)
101, 2, 3, 8, 9qusval 17589 . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ) “s 𝑅))
11 qusgrp2.p . . 3 (𝜑+ = (+g𝑅))
121, 2, 3, 8, 9quslem 17590 . . 3 (𝜑 → (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ):𝑉onto→(𝑉 / ))
13 qusgrp2.1 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
14133expb 1119 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
15 qusgrp2.e . . . 4 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) (𝑝 + 𝑞)))
164, 6, 3, 14, 15ercpbl 17596 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → ((((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑎) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑝) ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑏) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑞)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑝 + 𝑞))))
174adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → Er 𝑉)
18 qusgrp2.2 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
1917, 18erthi 8797 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → [((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)] = [(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))] )
206adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
2117, 20, 3divsfval 17594 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)) = [((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)] )
2217, 20, 3divsfval 17594 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))) = [(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))] )
2319, 21, 223eqtr4d 2785 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
24 qusgrp2.3 . . 3 (𝜑0𝑉)
254adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → Er 𝑉)
26 qusgrp2.4 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 + 𝑥) 𝑥)
2725, 26erthi 8797 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → [( 0 + 𝑥)] = [𝑥] )
286adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑉 ∈ V)
2925, 28, 3divsfval 17594 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘( 0 + 𝑥)) = [( 0 + 𝑥)] )
3025, 28, 3divsfval 17594 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑥) = [𝑥] )
3127, 29, 303eqtr4d 2785 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘( 0 + 𝑥)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑥))
32 qusgrp2.5 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑁𝑉)
33 qusgrp2.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑁 + 𝑥) 0 )
3425, 33ersym 8756 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 (𝑁 + 𝑥))
3525, 34erthi 8797 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → [ 0 ] = [(𝑁 + 𝑥)] )
3625, 28, 3divsfval 17594 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ) = [ 0 ] )
3725, 28, 3divsfval 17594 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑁 + 𝑥)) = [(𝑁 + 𝑥)] )
3835, 36, 373eqtr4rd 2786 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑁 + 𝑥)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ))
3910, 2, 11, 12, 16, 9, 13, 23, 24, 31, 32, 38imasgrp2 19086 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ) = (0g𝑈)))
404, 6, 3divsfval 17594 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ) = [ 0 ] )
4140eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑 → [ 0 ] = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ))
4241eqeq1d 2737 . . 3 (𝜑 → ([ 0 ] = (0g𝑈) ↔ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ) = (0g𝑈)))
4342anbi2d 630 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ∈ Grp ∧ [ 0 ] = (0g𝑈)) ↔ (𝑈 ∈ Grp ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ) = (0g𝑈))))
4439, 43mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ [ 0 ] = (0g𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431   Er wer 8741  [cec 8742   / cqs 8743  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486   /s cqus 17552  Grpcgrp 18964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967
This theorem is referenced by:  qusgrp  19217  frgp0  19793  pi1grplem  25096
  Copyright terms: Public domain W3C validator