MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusgrp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusgrp2 18984
Description: Prove that a quotient structure is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusgrp2.u (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
qusgrp2.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
qusgrp2.p (𝜑+ = (+g𝑅))
qusgrp2.r (𝜑 Er 𝑉)
qusgrp2.x (𝜑𝑅𝑋)
qusgrp2.e (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) (𝑝 + 𝑞)))
qusgrp2.1 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
qusgrp2.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
qusgrp2.3 (𝜑0𝑉)
qusgrp2.4 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 + 𝑥) 𝑥)
qusgrp2.5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑁𝑉)
qusgrp2.6 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑁 + 𝑥) 0 )
Assertion
Ref Expression
qusgrp2 (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ [ 0 ] = (0g𝑈)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧,   0 ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥   𝑁,𝑝   𝑅,𝑝,𝑞   + ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑧)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑞,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧,𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   0 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem qusgrp2
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusgrp2.u . . . 4 (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
2 qusgrp2.v . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 eqid 2731 . . . 4 (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ) = (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )
4 qusgrp2.r . . . . 5 (𝜑 Er 𝑉)
5 fvex 6904 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
62, 5eqeltrdi 2840 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ V)
7 erex 8733 . . . . 5 ( Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∈ V))
84, 6, 7sylc 65 . . . 4 (𝜑 ∈ V)
9 qusgrp2.x . . . 4 (𝜑𝑅𝑋)
101, 2, 3, 8, 9qusval 17495 . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ) “s 𝑅))
11 qusgrp2.p . . 3 (𝜑+ = (+g𝑅))
121, 2, 3, 8, 9quslem 17496 . . 3 (𝜑 → (𝑢𝑉 ↦ [𝑢] ):𝑉onto→(𝑉 / ))
13 qusgrp2.1 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
14133expb 1119 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
15 qusgrp2.e . . . 4 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 + 𝑏) (𝑝 + 𝑞)))
164, 6, 3, 14, 15ercpbl 17502 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → ((((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑎) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑝) ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑏) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑞)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑝 + 𝑞))))
174adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → Er 𝑉)
18 qusgrp2.2 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
1917, 18erthi 8760 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → [((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)] = [(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))] )
206adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
2117, 20, 3divsfval 17500 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)) = [((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)] )
2217, 20, 3divsfval 17500 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))) = [(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))] )
2319, 21, 223eqtr4d 2781 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
24 qusgrp2.3 . . 3 (𝜑0𝑉)
254adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → Er 𝑉)
26 qusgrp2.4 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 + 𝑥) 𝑥)
2725, 26erthi 8760 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → [( 0 + 𝑥)] = [𝑥] )
286adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑉 ∈ V)
2925, 28, 3divsfval 17500 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘( 0 + 𝑥)) = [( 0 + 𝑥)] )
3025, 28, 3divsfval 17500 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑥) = [𝑥] )
3127, 29, 303eqtr4d 2781 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘( 0 + 𝑥)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘𝑥))
32 qusgrp2.5 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑁𝑉)
33 qusgrp2.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑁 + 𝑥) 0 )
3425, 33ersym 8721 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 (𝑁 + 𝑥))
3525, 34erthi 8760 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → [ 0 ] = [(𝑁 + 𝑥)] )
3625, 28, 3divsfval 17500 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ) = [ 0 ] )
3725, 28, 3divsfval 17500 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑁 + 𝑥)) = [(𝑁 + 𝑥)] )
3835, 36, 373eqtr4rd 2782 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘(𝑁 + 𝑥)) = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ))
3910, 2, 11, 12, 16, 9, 13, 23, 24, 31, 32, 38imasgrp2 18981 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ) = (0g𝑈)))
404, 6, 3divsfval 17500 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ) = [ 0 ] )
4140eqcomd 2737 . . . 4 (𝜑 → [ 0 ] = ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ))
4241eqeq1d 2733 . . 3 (𝜑 → ([ 0 ] = (0g𝑈) ↔ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ) = (0g𝑈)))
4342anbi2d 628 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ∈ Grp ∧ [ 0 ] = (0g𝑈)) ↔ (𝑈 ∈ Grp ∧ ((𝑢𝑉 ↦ [𝑢] )‘ 0 ) = (0g𝑈))))
4439, 43mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ [ 0 ] = (0g𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7412   Er wer 8706  [cec 8707   / cqs 8708  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  0gc0g 17392   /s cqus 17458  Grpcgrp 18861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-0g 17394  df-imas 17461  df-qus 17462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864
This theorem is referenced by:  qusgrp  19108  frgp0  19676  pi1grplem  24895
  Copyright terms: Public domain W3C validator