Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  quslmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quslmod 31087
 Description: If 𝐺 is a submodule in 𝑀, then 𝑁 = 𝑀 / 𝐺 is a left module, called the quotient module of 𝑀 by 𝐺. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
quslmod.n 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
quslmod.v 𝑉 = (Base‘𝑀)
quslmod.1 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
quslmod.2 (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
quslmod (𝜑𝑁 ∈ LMod)

Proof of Theorem quslmod
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑝 𝑞 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 quslmod.n . . . 4 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
3 quslmod.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑀)
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑀))
5 eqid 2758 . . 3 (𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) = (𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
6 ovexd 7191 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
7 quslmod.1 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
82, 4, 5, 6, 7qusval 16886 . 2 (𝜑𝑁 = ((𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) “s 𝑀))
9 eqid 2758 . 2 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
10 eqid 2758 . 2 (+g𝑀) = (+g𝑀)
11 eqid 2758 . 2 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
12 eqid 2758 . 2 (0g𝑀) = (0g𝑀)
132, 4, 5, 6, 7quslem 16887 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)):𝑉onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
14 quslmod.2 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
15 eqid 2758 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
1615lsssubg 19810 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
177, 14, 16syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
18 eqid 2758 . . . . 5 (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
193, 18eqger 18410 . . . 4 (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
2017, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
213fvexi 6677 . . . 4 𝑉 ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ V)
23 lmodgrp 19722 . . . . . 6 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
247, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ Grp)
2524adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → 𝑀 ∈ Grp)
26 simprl 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → 𝑝𝑉)
27 simprr 772 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → 𝑞𝑉)
283, 10grpcl 18190 . . . 4 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑝𝑉𝑞𝑉) → (𝑝(+g𝑀)𝑞) ∈ 𝑉)
2925, 26, 27, 28syl3anc 1368 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (𝑝(+g𝑀)𝑞) ∈ 𝑉)
30 lmodabl 19762 . . . . . 6 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
31 ablnsg 19048 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
327, 30, 313syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
3317, 32eleqtrrd 2855 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
343, 18, 10eqgcpbl 18414 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → ((𝑎(𝑀 ~QG 𝐺)𝑝𝑏(𝑀 ~QG 𝐺)𝑞) → (𝑎(+g𝑀)𝑏)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝑝(+g𝑀)𝑞)))
3533, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑎(𝑀 ~QG 𝐺)𝑝𝑏(𝑀 ~QG 𝐺)𝑞) → (𝑎(+g𝑀)𝑏)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝑝(+g𝑀)𝑞)))
3620, 22, 5, 29, 35ercpbl 16893 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → ((((𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑎) = ((𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑝) ∧ ((𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑏) = ((𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑞)) → ((𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑝(+g𝑀)𝑞))))
377adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
3814adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
39 simpr1 1191 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
40 eqid 2758 . . 3 ( ·𝑠𝑁) = ( ·𝑠𝑁)
41 simpr2 1192 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑎𝑉)
42 simpr3 1193 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑏𝑉)
433, 18, 9, 11, 37, 38, 39, 1, 40, 5, 41, 42qusvscpbl 31084 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (((𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑎) = ((𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑏) → ((𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘( ·𝑠𝑀)𝑎)) = ((𝑥𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘( ·𝑠𝑀)𝑏))))
448, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 36, 43, 7imaslmod 31086 1 (𝜑𝑁 ∈ LMod)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   class class class wbr 5036   ↦ cmpt 5116  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   Er wer 8302  [cec 8303   / cqs 8304  Basecbs 16554  +gcplusg 16636  Scalarcsca 16639   ·𝑠 cvsca 16640  0gc0g 16784   /s cqus 16849  Grpcgrp 18182  SubGrpcsubg 18353  NrmSGrpcnsg 18354   ~QG cqg 18355  Abelcabl 18987  LModclmod 19715  LSubSpclss 19784 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-ec 8307  df-qs 8311  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-0g 16786  df-imas 16852  df-qus 16853  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-subg 18356  df-nsg 18357  df-eqg 18358  df-cmn 18988  df-abl 18989  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-lmod 19717  df-lss 19785 This theorem is referenced by:  quslmhm  31088
 Copyright terms: Public domain W3C validator