Theorem quslmod 33386

Description: If 𝐺 is a submodule in 𝑀, then 𝑁 = 𝑀 / 𝐺 is a left module, called the quotient module of 𝑀 by 𝐺. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quslmod.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
quslmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
quslmod.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
quslmod.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
quslmod	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ LMod)

Proof of Theorem quslmod

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑝 𝑞 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quslmod.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
3		quslmod.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑀))
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
6		ovexd 7466	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
7		quslmod.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
8	2, 4, 5, 6, 7	qusval 17587	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) “s 𝑀))
9		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
10		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
11		eqid 2737	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
12		eqid 2737	. 2 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
13	2, 4, 5, 6, 7	quslem 17588	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)):𝑉–onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
14		quslmod.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
16	15	lsssubg 20955	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
17	7, 14, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
18		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
19	3, 18	eqger 19196	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
20	17, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
21	3	fvexi 6920	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
23		lmodgrp 20865	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
24	7, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑀 ∈ Grp)
26		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑝 ∈ 𝑉)
27		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑞 ∈ 𝑉)
28	3, 10	grpcl 18959	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝(+g‘𝑀)𝑞) ∈ 𝑉)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝(+g‘𝑀)𝑞) ∈ 𝑉)
30		lmodabl 20907	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
31		ablnsg 19865	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
32	7, 30, 31	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
33	17, 32	eleqtrrd 2844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
34	3, 18, 10	eqgcpbl 19200	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → ((𝑎(𝑀 ~QG 𝐺)𝑝 ∧ 𝑏(𝑀 ~QG 𝐺)𝑞) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝑝(+g‘𝑀)𝑞)))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(𝑀 ~QG 𝐺)𝑝 ∧ 𝑏(𝑀 ~QG 𝐺)𝑞) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝑝(+g‘𝑀)𝑞)))
36	20, 22, 5, 29, 35	ercpbl 17594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑝) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑏) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑞)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑝(+g‘𝑀)𝑞))))
37	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
38	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
39		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
40		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑁) = ( ·𝑠 ‘𝑁)
41		simpr2 1196	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑎 ∈ 𝑉)
42		simpr3 1197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
43	3, 18, 9, 11, 37, 38, 39, 1, 40, 5, 41, 42	qusvscpbl 33379	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑎)) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑏))))
44	8, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 36, 43, 7	imaslmod 33381	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   Er wer 8742  [cec 8743   / cqs 8744  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484   /_s cqus 17550  Grpcgrp 18951  SubGrpcsubg 19138  NrmSGrpcnsg 19139   ~_QG cqg 19140  Abelcabl 19799  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lss 20930

This theorem is referenced by:  quslmhm  33387  quslvec  33388  lmhmqusker  33445