Theorem quslmod 33336

Description: If 𝐺 is a submodule in 𝑀, then 𝑁 = 𝑀 / 𝐺 is a left module, called the quotient module of 𝑀 by 𝐺. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quslmod.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
quslmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
quslmod.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
quslmod.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
quslmod	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ LMod)

Proof of Theorem quslmod

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑝 𝑞 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quslmod.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
3		quslmod.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑀))
5		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
6		ovexd 7425	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
7		quslmod.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
8	2, 4, 5, 6, 7	qusval 17512	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) “s 𝑀))
9		eqid 2730	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
10		eqid 2730	. 2 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
11		eqid 2730	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
12		eqid 2730	. 2 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
13	2, 4, 5, 6, 7	quslem 17513	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)):𝑉–onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
14		quslmod.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
15		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
16	15	lsssubg 20870	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
17	7, 14, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
18		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
19	3, 18	eqger 19117	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
20	17, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
21	3	fvexi 6875	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
23		lmodgrp 20780	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
24	7, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑀 ∈ Grp)
26		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑝 ∈ 𝑉)
27		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑞 ∈ 𝑉)
28	3, 10	grpcl 18880	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝(+g‘𝑀)𝑞) ∈ 𝑉)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝(+g‘𝑀)𝑞) ∈ 𝑉)
30		lmodabl 20822	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
31		ablnsg 19784	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
32	7, 30, 31	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
33	17, 32	eleqtrrd 2832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
34	3, 18, 10	eqgcpbl 19121	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → ((𝑎(𝑀 ~QG 𝐺)𝑝 ∧ 𝑏(𝑀 ~QG 𝐺)𝑞) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝑝(+g‘𝑀)𝑞)))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(𝑀 ~QG 𝐺)𝑝 ∧ 𝑏(𝑀 ~QG 𝐺)𝑞) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝑝(+g‘𝑀)𝑞)))
36	20, 22, 5, 29, 35	ercpbl 17519	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑝) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑏) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑞)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑝(+g‘𝑀)𝑞))))
37	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
38	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
39		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
40		eqid 2730	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑁) = ( ·𝑠 ‘𝑁)
41		simpr2 1196	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑎 ∈ 𝑉)
42		simpr3 1197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
43	3, 18, 9, 11, 37, 38, 39, 1, 40, 5, 41, 42	qusvscpbl 33329	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑎)) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑏))))
44	8, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 36, 43, 7	imaslmod 33331	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   Er wer 8671  [cec 8672   / cqs 8673  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  0_gc0g 17409   /_s cqus 17475  Grpcgrp 18872  SubGrpcsubg 19059  NrmSGrpcnsg 19060   ~_QG cqg 19061  Abelcabl 19718  LModclmod 20773  LSubSpclss 20844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-0g 17411  df-imas 17478  df-qus 17479  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-nsg 19063  df-eqg 19064  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-lmod 20775  df-lss 20845

This theorem is referenced by:  quslmhm  33337  quslvec  33338  lmhmqusker  33395