Theorem quslmod 31554

Description: If 𝐺 is a submodule in 𝑀, then 𝑁 = 𝑀 / 𝐺 is a left module, called the quotient module of 𝑀 by 𝐺. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quslmod.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
quslmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
quslmod.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
quslmod.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
quslmod	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ LMod)

Proof of Theorem quslmod

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑝 𝑞 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quslmod.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
3		quslmod.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑀))
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
6		ovexd 7310	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
7		quslmod.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
8	2, 4, 5, 6, 7	qusval 17253	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) “s 𝑀))
9		eqid 2738	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
10		eqid 2738	. 2 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
11		eqid 2738	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
12		eqid 2738	. 2 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
13	2, 4, 5, 6, 7	quslem 17254	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)):𝑉–onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
14		quslmod.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
15		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
16	15	lsssubg 20219	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
17	7, 14, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
18		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
19	3, 18	eqger 18806	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
20	17, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
21	3	fvexi 6788	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
23		lmodgrp 20130	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
24	7, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
25	24	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑀 ∈ Grp)
26		simprl 768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑝 ∈ 𝑉)
27		simprr 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑞 ∈ 𝑉)
28	3, 10	grpcl 18585	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝(+g‘𝑀)𝑞) ∈ 𝑉)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝(+g‘𝑀)𝑞) ∈ 𝑉)
30		lmodabl 20170	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
31		ablnsg 19448	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
32	7, 30, 31	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
33	17, 32	eleqtrrd 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
34	3, 18, 10	eqgcpbl 18810	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → ((𝑎(𝑀 ~QG 𝐺)𝑝 ∧ 𝑏(𝑀 ~QG 𝐺)𝑞) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝑝(+g‘𝑀)𝑞)))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(𝑀 ~QG 𝐺)𝑝 ∧ 𝑏(𝑀 ~QG 𝐺)𝑞) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝑝(+g‘𝑀)𝑞)))
36	20, 22, 5, 29, 35	ercpbl 17260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑝) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑏) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑞)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑝(+g‘𝑀)𝑞))))
37	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
38	14	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
39		simpr1 1193	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
40		eqid 2738	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑁) = ( ·𝑠 ‘𝑁)
41		simpr2 1194	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑎 ∈ 𝑉)
42		simpr3 1195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
43	3, 18, 9, 11, 37, 38, 39, 1, 40, 5, 41, 42	qusvscpbl 31551	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑎)) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑏))))
44	8, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 36, 43, 7	imaslmod 31553	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   Er wer 8495  [cec 8496   / cqs 8497  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150   /_s cqus 17216  Grpcgrp 18577  SubGrpcsubg 18749  NrmSGrpcnsg 18750   ~_QG cqg 18751  Abelcabl 19387  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-0g 17152  df-imas 17219  df-qus 17220  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-nsg 18753  df-eqg 18754  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-lss 20194

This theorem is referenced by:  quslmhm  31555