Theorem quslmod 32457

Description: If 𝐺 is a submodule in 𝑀, then 𝑁 = 𝑀 / 𝐺 is a left module, called the quotient module of 𝑀 by 𝐺. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quslmod.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
quslmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
quslmod.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
quslmod.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
quslmod	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ LMod)

Proof of Theorem quslmod

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑝 𝑞 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quslmod.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
3		quslmod.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑀))
5		eqid 2732	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
6		ovexd 7440	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
7		quslmod.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
8	2, 4, 5, 6, 7	qusval 17484	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) “s 𝑀))
9		eqid 2732	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
10		eqid 2732	. 2 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
11		eqid 2732	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
12		eqid 2732	. 2 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
13	2, 4, 5, 6, 7	quslem 17485	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)):𝑉–onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
14		quslmod.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
15		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
16	15	lsssubg 20560	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
17	7, 14, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
18		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
19	3, 18	eqger 19052	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
20	17, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
21	3	fvexi 6902	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
23		lmodgrp 20470	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
24	7, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
25	24	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑀 ∈ Grp)
26		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑝 ∈ 𝑉)
27		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑞 ∈ 𝑉)
28	3, 10	grpcl 18823	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝(+g‘𝑀)𝑞) ∈ 𝑉)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝(+g‘𝑀)𝑞) ∈ 𝑉)
30		lmodabl 20511	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
31		ablnsg 19709	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
32	7, 30, 31	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
33	17, 32	eleqtrrd 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
34	3, 18, 10	eqgcpbl 19056	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → ((𝑎(𝑀 ~QG 𝐺)𝑝 ∧ 𝑏(𝑀 ~QG 𝐺)𝑞) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝑝(+g‘𝑀)𝑞)))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(𝑀 ~QG 𝐺)𝑝 ∧ 𝑏(𝑀 ~QG 𝐺)𝑞) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝑝(+g‘𝑀)𝑞)))
36	20, 22, 5, 29, 35	ercpbl 17491	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑝) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑏) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑞)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑝(+g‘𝑀)𝑞))))
37	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
38	14	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
39		simpr1 1194	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
40		eqid 2732	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑁) = ( ·𝑠 ‘𝑁)
41		simpr2 1195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑎 ∈ 𝑉)
42		simpr3 1196	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
43	3, 18, 9, 11, 37, 38, 39, 1, 40, 5, 41, 42	qusvscpbl 32454	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑎)) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑏))))
44	8, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 36, 43, 7	imaslmod 32456	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   Er wer 8696  [cec 8697   / cqs 8698  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381   /_s cqus 17447  Grpcgrp 18815  SubGrpcsubg 18994  NrmSGrpcnsg 18995   ~_QG cqg 18996  Abelcabl 19643  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-0g 17383  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535

This theorem is referenced by:  quslmhm  32458  quslvec  32459  lmhmqusker  32522