Theorem quslmod 33433

Description: If 𝐺 is a submodule in 𝑀, then 𝑁 = 𝑀 / 𝐺 is a left module, called the quotient module of 𝑀 by 𝐺. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quslmod.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
quslmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
quslmod.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
quslmod.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
quslmod	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ LMod)

Proof of Theorem quslmod

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑝 𝑞 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quslmod.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
3		quslmod.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑀)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑀))
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
6		ovexd 7395	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
7		quslmod.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
8	2, 4, 5, 6, 7	qusval 17497	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) “s 𝑀))
9		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
10		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
11		eqid 2737	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
12		eqid 2737	. 2 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
13	2, 4, 5, 6, 7	quslem 17498	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)):𝑉–onto→(𝑉 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
14		quslmod.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
16	15	lsssubg 20943	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
17	7, 14, 16	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀))
18		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) = (𝑀 ~QG 𝐺)
19	3, 18	eqger 19144	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (SubGrp‘𝑀) → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
20	17, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) Er 𝑉)
21	3	fvexi 6848	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
23		lmodgrp 20853	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
24	7, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Grp)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑀 ∈ Grp)
26		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑝 ∈ 𝑉)
27		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → 𝑞 ∈ 𝑉)
28	3, 10	grpcl 18908	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝(+g‘𝑀)𝑞) ∈ 𝑉)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝(+g‘𝑀)𝑞) ∈ 𝑉)
30		lmodabl 20895	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
31		ablnsg 19813	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
32	7, 30, 31	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝑀) = (SubGrp‘𝑀))
33	17, 32	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
34	3, 18, 10	eqgcpbl 19148	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmSGrp‘𝑀) → ((𝑎(𝑀 ~QG 𝐺)𝑝 ∧ 𝑏(𝑀 ~QG 𝐺)𝑞) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝑝(+g‘𝑀)𝑞)))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(𝑀 ~QG 𝐺)𝑝 ∧ 𝑏(𝑀 ~QG 𝐺)𝑞) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏)(𝑀 ~QG 𝐺)(𝑝(+g‘𝑀)𝑞)))
36	20, 22, 5, 29, 35	ercpbl 17504	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑝) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑏) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑞)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑝(+g‘𝑀)𝑞))))
37	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
38	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
39		simpr1 1196	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
40		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑁) = ( ·𝑠 ‘𝑁)
41		simpr2 1197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑎 ∈ 𝑉)
42		simpr3 1198	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
43	3, 18, 9, 11, 37, 38, 39, 1, 40, 5, 41, 42	qusvscpbl 33426	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑎)) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑀)𝑏))))
44	8, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 36, 43, 7	imaslmod 33428	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   Er wer 8633  [cec 8634   / cqs 8635  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393   /_s cqus 17460  Grpcgrp 18900  SubGrpcsubg 19087  NrmSGrpcnsg 19088   ~_QG cqg 19089  Abelcabl 19747  LModclmod 20846  LSubSpclss 20917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-ec 8638  df-qs 8642  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-0g 17395  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-nsg 19091  df-eqg 19092  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20848  df-lss 20918

This theorem is referenced by:  quslmhm  33434  quslvec  33435  lmhmqusker  33492