MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusrng 20083
Description: The quotient structure of a non-unital ring is a non-unital ring (qusring2 20231 analog). (Contributed by AV, 23-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
qusrng.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
qusrng.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
qusrng.p + = (+gโ€˜๐‘…)
qusrng.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
qusrng.r (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
qusrng.e1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆผ (๐‘ + ๐‘ž)))
qusrng.e2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
qusrng.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
Assertion
Ref Expression
qusrng (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Rng)
Distinct variable groups:   ๐‘…,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘ˆ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐‘‰,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   โˆผ ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   + ,๐‘,๐‘ž   ยท ,๐‘,๐‘ž   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   + (๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem qusrng
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusrng.u . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐‘… /s โˆผ ))
2 qusrng.v . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
3 eqid 2726 . . 3 (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ ) = (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )
4 qusrng.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‰)
5 fvex 6897 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V
62, 5eqeltrdi 2835 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ V)
7 erex 8726 . . . 4 ( โˆผ Er ๐‘‰ โ†’ (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆผ โˆˆ V))
84, 6, 7sylc 65 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆผ โˆˆ V)
9 qusrng.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
101, 2, 3, 8, 9qusval 17495 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ ) โ€œs ๐‘…))
11 qusrng.p . 2 + = (+gโ€˜๐‘…)
12 qusrng.t . 2 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
131, 2, 3, 8, 9quslem 17496 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ ):๐‘‰โ€“ontoโ†’(๐‘‰ / โˆผ ))
149adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
15 simprl 768 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰)
162eleq2d 2813 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
1716adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
1815, 17mpbid 231 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
19 simprr 770 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)
202eleq2d 2813 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
2120adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
2219, 21mpbid 231 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
23 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
2423, 11rngacl 20065 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2514, 18, 22, 24syl3anc 1368 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
262eleq2d 2813 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰ โ†” (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
2726adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰ โ†” (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
2825, 27mpbird 257 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
29 qusrng.e1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆผ (๐‘ + ๐‘ž)))
304, 6, 3, 28, 29ercpbl 17502 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘Ž) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘) โˆง ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘ž)) โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜(๐‘Ž + ๐‘)) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜(๐‘ + ๐‘ž))))
3123, 12rngcl 20067 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
3214, 18, 22, 31syl3anc 1368 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
332eleq2d 2813 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰ โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
3433adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰ โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
3532, 34mpbird 257 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘‰)
36 qusrng.e2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Ž โˆผ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆผ ๐‘ž) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆผ (๐‘ ยท ๐‘ž)))
374, 6, 3, 35, 36ercpbl 17502 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘Ž) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘) โˆง ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜๐‘ž)) โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = ((๐‘ข โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ [๐‘ข] โˆผ )โ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
3810, 2, 11, 12, 13, 30, 37, 9imasrng 20080 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   Er wer 8699  [cec 8700   / cqs 8701  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205   /s cqus 17458  Rngcrng 20055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-0g 17394  df-imas 17461  df-qus 17462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056
This theorem is referenced by:  qus2idrng  21128
  Copyright terms: Public domain W3C validator