Theorem qusbas 17466

Description: Base set of a quotient structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
qusbas.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
qusbas.e	⊢ (𝜑 → ∼ ∈ 𝑊)
qusbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
qusbas	⊢ (𝜑 → (𝑉 / ∼ ) = (Base‘𝑈))

Proof of Theorem qusbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
2		qusbas.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )
4		qusbas.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ 𝑊)
5		qusbas.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
6	1, 2, 3, 4, 5	qusval 17463	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ) “s 𝑅))
7	1, 2, 3, 4, 5	quslem 17464	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ):𝑉–onto→(𝑉 / ∼ ))
8	6, 2, 7, 5	imasbas 17433	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉 / ∼ ) = (Base‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  [cec 8633   / cqs 8634  Basecbs 17136   /_s cqus 17426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-imas 17429  df-qus 17430

This theorem is referenced by:  quselbas  19113  quseccl0  19114  qus0subgbas  19127  ghmqusnsglem1  19209  ghmqusnsglem2  19210  ghmqusnsg  19211  ghmquskerlem1  19212  ghmquskerco  19213  ghmquskerlem2  19214  ghmquskerlem3  19215  ghmqusker  19216  frgpeccl  19690  frgpupf  19702  frgpup1  19704  frgpup3lem  19706  qusabl  19794  frgpnabllem2  19803  quscrng  21238  rhmqusnsg  21240  rngqiprngimf  21252  rngqiprngfulem1  21266  pzriprnglem11  21446  znbas  21498  qustgplem  24065  pi1bas  24994  rlocbas  33349  qustriv  33445  qustrivr  33446  nsgqusf1olem1  33494  nsgqusf1olem2  33495  lmhmqusker  33498  rhmquskerlem  33506  qsidomlem1  33533  qsidomlem2  33534  opprqusbas  33569  opprqusplusg  33570  opprqusmulr  33572  qsdrngilem  33575  qsdrngi  33576  qsdrnglem2  33577  qusdimsum  33785  algextdeglem4  33877