Theorem qusbas 17488

Description: Base set of a quotient structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
qusbas.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
qusbas.e	⊢ (𝜑 → ∼ ∈ 𝑊)
qusbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
qusbas	⊢ (𝜑 → (𝑉 / ∼ ) = (Base‘𝑈))

Proof of Theorem qusbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
2		qusbas.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )
4		qusbas.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ 𝑊)
5		qusbas.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
6	1, 2, 3, 4, 5	qusval 17485	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ) “s 𝑅))
7	1, 2, 3, 4, 5	quslem 17486	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ):𝑉–onto→(𝑉 / ∼ ))
8	6, 2, 7, 5	imasbas 17455	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉 / ∼ ) = (Base‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  [cec 8698   / cqs 8699  Basecbs 17141   /_s cqus 17448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-imas 17451  df-qus 17452

This theorem is referenced by:  quselbas  19058  quseccl0  19059  qus0subgbas  19070  frgpeccl  19624  frgpupf  19636  frgpup1  19638  frgpup3lem  19640  qusabl  19728  frgpnabllem2  19737  quscrng  20871  znbas  21091  qustgplem  23617  pi1bas  24546  qustriv  32465  qustrivr  32466  nsgqusf1olem1  32513  nsgqusf1olem2  32514  ghmquskerlem1  32517  ghmquskerco  32518  ghmquskerlem2  32519  ghmquskerlem3  32520  ghmqusker  32521  lmhmqusker  32523  rhmquskerlem  32532  qsidomlem1  32560  qsidomlem2  32561  opprqusbas  32591  opprqusplusg  32592  opprqusmulr  32594  qsdrngilem  32597  qsdrngi  32598  qsdrnglem2  32599  qusdimsum  32702  algextdeglem1  32761  rngqiprngimf  46763