Theorem qusdimsum 33778

Description: Let 𝑊 be a vector space, and let 𝑋 be a subspace. Then the dimension of 𝑊 is the sum of the dimension of 𝑋 and the dimension of the quotient space of 𝑋. First part of theorem 5.3 in [Lang] p. 141. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusdimsum.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
qusdimsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑈))

Assertion

Ref	Expression
qusdimsum	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘𝑋) +𝑒 (dim‘𝑌)))

Proof of Theorem qusdimsum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusdimsum.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑈))
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		lveclmod 21060	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))
7	1, 2, 4, 5, 6	quslmhm 33424	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌))
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)})) = (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))) = (𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)))
11	8, 9, 10	dimkerim 33777	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘(𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))) +𝑒 (dim‘(𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))))
12	7, 11	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘(𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))) +𝑒 (dim‘(𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))))
13		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14	13	lsssubg 20910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
15	3, 14	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
16		lmodabl 20862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
17	3, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Abel)
19		ablnsg 19780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑊) = (SubGrp‘𝑊))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (NrmSGrp‘𝑊) = (SubGrp‘𝑊))
21	15, 20	eleqtrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (NrmSGrp‘𝑊))
22	2, 6, 1, 8	qusker 33414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (NrmSGrp‘𝑊) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}) = 𝑈)
23	22	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (NrmSGrp‘𝑊) → (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)})) = (𝑊 ↾s 𝑈))
24	21, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)})) = (𝑊 ↾s 𝑈))
25		qusdimsum.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
26	24, 25	eqtr4di 2790	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)})) = 𝑋)
27	26	fveq2d 6836	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘(𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))) = (dim‘𝑋))
28	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑈)))
29	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
30		ovexd 7393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑊 ~QG 𝑈) ∈ V)
31		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
32	28, 29, 6, 30, 31	quslem 17465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)):(Base‘𝑊)–onto→((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)))
33		forn 6747	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)):(Base‘𝑊)–onto→((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) = ((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) = ((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)))
35	28, 29, 30, 31	qusbas 17467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)) = (Base‘𝑌))
36	34, 35	eqtr2d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (Base‘𝑌) = ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)))
37	36	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑌 ↾s (Base‘𝑌)) = (𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))
38	1	ovexi 7392	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ∈ V
39		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
40	39	ressid 17172	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ↾s (Base‘𝑌)) = 𝑌)
41	38, 40	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ↾s (Base‘𝑌)) = 𝑌
42	37, 41	eqtr3di 2787	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))) = 𝑌)
43	42	fveq2d 6836	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘(𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)))) = (dim‘𝑌))
44	27, 43	oveq12d 7376	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((dim‘(𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))) +𝑒 (dim‘(𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))) = ((dim‘𝑋) +𝑒 (dim‘𝑌)))
45	12, 44	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘𝑋) +𝑒 (dim‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {csn 4568   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5621  ran crn 5623   “ cima 5625  –onto→wfo 6488  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  [cec 8632   / cqs 8633   +_𝑒 cxad 13025  Basecbs 17137   ↾_s cress 17158  0_gc0g 17360   /_s cqus 17427  SubGrpcsubg 19054  NrmSGrpcnsg 19055   ~_QG cqg 19056  Abelcabl 19714  LModclmod 20813  LSubSpclss 20884   LMHom clmhm 20973  LVecclvec 21056  dimcldim 33748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-reg 9498  ax-inf2 9551  ax-ac2 10374  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-rpss 7668  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-er 8634  df-ec 8636  df-qs 8640  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-r1 9677  df-rank 9678  df-dju 9814  df-card 9852  df-acn 9855  df-ac 10027  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-xadd 13028  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-seq 13926  df-hash 14255  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ocomp 17199  df-ds 17200  df-hom 17202  df-cco 17203  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-prds 17368  df-pws 17370  df-imas 17430  df-qus 17431  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-mri 17508  df-acs 17509  df-proset 18218  df-drs 18219  df-poset 18237  df-ipo 18452  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-nsg 19058  df-eqg 19059  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-lsm 19569  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-nzr 20448  df-subrg 20505  df-drng 20666  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-lmhm 20976  df-lmim 20977  df-lbs 21029  df-lvec 21057  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-dsmm 21689  df-frlm 21704  df-uvc 21740  df-lindf 21763  df-linds 21764  df-dim 33749

This theorem is referenced by: (None)