Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qusdimsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusdimsum 33679
Description: Let 𝑊 be a vector space, and let 𝑋 be a subspace. Then the dimension of 𝑊 is the sum of the dimension of 𝑋 and the dimension of the quotient space of 𝑋. First part of theorem 5.3 in [Lang] p. 141. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
qusdimsum.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
qusdimsum.y 𝑌 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑈))
Assertion
Ref Expression
qusdimsum ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘𝑋) +𝑒 (dim‘𝑌)))

Proof of Theorem qusdimsum
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusdimsum.y . . . 4 𝑌 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑈))
2 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 lveclmod 21105 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
43adantr 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
5 simpr 484 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
6 eqid 2737 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))
71, 2, 4, 5, 6quslmhm 33387 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌))
8 eqid 2737 . . . 4 (0g𝑌) = (0g𝑌)
9 eqid 2737 . . . 4 (𝑊s ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)})) = (𝑊s ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)}))
10 eqid 2737 . . . 4 (𝑌s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))) = (𝑌s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)))
118, 9, 10dimkerim 33678 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘(𝑊s ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)}))) +𝑒 (dim‘(𝑌s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))))
127, 11syldan 591 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘(𝑊s ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)}))) +𝑒 (dim‘(𝑌s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))))
13 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
1413lsssubg 20955 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
153, 14sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
16 lmodabl 20907 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
173, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
1817adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Abel)
19 ablnsg 19865 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑊) = (SubGrp‘𝑊))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (NrmSGrp‘𝑊) = (SubGrp‘𝑊))
2115, 20eleqtrrd 2844 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (NrmSGrp‘𝑊))
222, 6, 1, 8qusker 33377 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (NrmSGrp‘𝑊) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)}) = 𝑈)
2322oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑈 ∈ (NrmSGrp‘𝑊) → (𝑊s ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)})) = (𝑊s 𝑈))
2421, 23syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑊s ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)})) = (𝑊s 𝑈))
25 qusdimsum.x . . . . 5 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
2624, 25eqtr4di 2795 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑊s ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)})) = 𝑋)
2726fveq2d 6910 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘(𝑊s ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)}))) = (dim‘𝑋))
281a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑈)))
292a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
30 ovexd 7466 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑊 ~QG 𝑈) ∈ V)
31 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
3228, 29, 6, 30, 31quslem 17588 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)):(Base‘𝑊)–onto→((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)))
33 forn 6823 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)):(Base‘𝑊)–onto→((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) = ((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) = ((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)))
3528, 29, 30, 31qusbas 17590 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)) = (Base‘𝑌))
3634, 35eqtr2d 2778 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (Base‘𝑌) = ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)))
3736oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑌s (Base‘𝑌)) = (𝑌s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))
381ovexi 7465 . . . . . 6 𝑌 ∈ V
39 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4039ressid 17290 . . . . . 6 (𝑌 ∈ V → (𝑌s (Base‘𝑌)) = 𝑌)
4138, 40ax-mp 5 . . . . 5 (𝑌s (Base‘𝑌)) = 𝑌
4237, 41eqtr3di 2792 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑌s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))) = 𝑌)
4342fveq2d 6910 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘(𝑌s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)))) = (dim‘𝑌))
4427, 43oveq12d 7449 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((dim‘(𝑊s ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)}))) +𝑒 (dim‘(𝑌s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))) = ((dim‘𝑋) +𝑒 (dim‘𝑌)))
4512, 44eqtrd 2777 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘𝑋) +𝑒 (dim‘𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  {csn 4626  cmpt 5225  ccnv 5684  ran crn 5686  cima 5688  ontowfo 6559  cfv 6561  (class class class)co 7431  [cec 8743   / cqs 8744   +𝑒 cxad 13152  Basecbs 17247  s cress 17274  0gc0g 17484   /s cqus 17550  SubGrpcsubg 19138  NrmSGrpcnsg 19139   ~QG cqg 19140  Abelcabl 19799  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929   LMHom clmhm 21018  LVecclvec 21101  dimcldim 33649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-rpss 7743  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-r1 9804  df-rank 9805  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-mri 17631  df-acs 17632  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18573  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-nzr 20513  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lmhm 21021  df-lmim 21022  df-lbs 21074  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-uvc 21803  df-lindf 21826  df-linds 21827  df-dim 33650
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator