Theorem qusdimsum 34194

Description: Let 𝑊 be a vector space, and let 𝑋 be a subspace. Then the dimension of 𝑊 is the sum of the dimension of 𝑋 and the dimension of the quotient space of 𝑋. First part of theorem 5.3 in [Lang] p. 141. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusdimsum.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
qusdimsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑈))

Assertion

Ref	Expression
qusdimsum	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘𝑋) +𝑒 (dim‘𝑌)))

Proof of Theorem qusdimsum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusdimsum.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑈))
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		lveclmod 21343	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
5		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))
7	1, 2, 4, 5, 6	quslmhm 33854	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌))
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)})) = (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))) = (𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)))
11	8, 9, 10	dimkerim 34193	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘(𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))) +𝑒 (dim‘(𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))))
12	7, 11	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘(𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))) +𝑒 (dim‘(𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))))
13		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14	13	lsssubg 21194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
15	3, 14	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
16		lmodabl 21146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
17	3, 16	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
18	17	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Abel)
19		ablnsg 20023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑊) = (SubGrp‘𝑊))
20	18, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (NrmSGrp‘𝑊) = (SubGrp‘𝑊))
21	15, 20	eleqtrrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (NrmSGrp‘𝑊))
22	2, 6, 1, 8	qusker 33844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (NrmSGrp‘𝑊) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}) = 𝑈)
23	22	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (NrmSGrp‘𝑊) → (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)})) = (𝑊 ↾s 𝑈))
24	21, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)})) = (𝑊 ↾s 𝑈))
25		qusdimsum.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
26	24, 25	eqtr4di 2813	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)})) = 𝑋)
27	26	fveq2d 6877	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘(𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))) = (dim‘𝑋))
28	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑈)))
29	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
30		ovexd 7443	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑊 ~QG 𝑈) ∈ V)
31		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
32	28, 29, 6, 30, 31	quslem 17677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)):(Base‘𝑊)–onto→((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)))
33		forn 6787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)):(Base‘𝑊)–onto→((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) = ((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)))
34	32, 33	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) = ((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)))
35	28, 29, 30, 31	qusbas 17679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)) = (Base‘𝑌))
36	34, 35	eqtr2d 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (Base‘𝑌) = ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)))
37	36	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑌 ↾s (Base‘𝑌)) = (𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))
38	1	ovexi 7442	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ∈ V
39		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
40	39	ressid 17384	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ↾s (Base‘𝑌)) = 𝑌)
41	38, 40	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ↾s (Base‘𝑌)) = 𝑌
42	37, 41	eqtr3di 2810	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))) = 𝑌)
43	42	fveq2d 6877	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘(𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)))) = (dim‘𝑌))
44	27, 43	oveq12d 7426	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((dim‘(𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))) +𝑒 (dim‘(𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))) = ((dim‘𝑋) +𝑒 (dim‘𝑌)))
45	12, 44	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘𝑋) +𝑒 (dim‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  {csn 4583   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5646  ran crn 5648   “ cima 5650  –onto→wfo 6525  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  [cec 8693   / cqs 8694   +_𝑒 cxad 13209  Basecbs 17349   ↾_s cress 17370  0_gc0g 17572   /_s cqus 17639  SubGrpcsubg 19292  NrmSGrpcnsg 19293   ~_QG cqg 19294  Abelcabl 19957  LModclmod 21097  LSubSpclss 21168   LMHom clmhm 21256  LVecclvec 21339  dimcldim 34165

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-reg 9564  ax-inf2 9620  ax-ac2 10513  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-rpss 7722  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-map 8827  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-r1 9746  df-rank 9747  df-scott 9901  df-dju 9954  df-card 9992  df-acn 9995  df-ac 10167  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-xnn0 12650  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-xadd 13212  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-hash 14443  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ocomp 17411  df-ds 17412  df-hom 17414  df-cco 17415  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-prds 17580  df-pws 17582  df-imas 17642  df-qus 17643  df-mre 17718  df-mrc 17719  df-mri 17720  df-acs 17721  df-proset 18430  df-drs 18431  df-poset 18449  df-ipo 18664  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-mhm 18940  df-submnd 18941  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-mulg 19240  df-subg 19295  df-nsg 19296  df-eqg 19297  df-ghm 19390  df-cntz 19493  df-lsm 19812  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-rng 20337  df-ur 20370  df-ring 20423  df-oppr 20529  df-dvdsr 20549  df-unit 20550  df-invr 20580  df-nzr 20725  df-subrg 20784  df-drng 20944  df-lmod 21099  df-lss 21169  df-lsp 21209  df-lmhm 21259  df-lmim 21260  df-lbs 21312  df-lvec 21340  df-sra 21410  df-rgmod 21411  df-dsmm 22000  df-frlm 22015  df-uvc 22051  df-lindf 22074  df-linds 22075  df-dim 34166

This theorem is used by: (None)