Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qusdimsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusdimsum 31223
 Description: Let 𝑊 be a vector space, and let 𝑋 be a subspace. Then the dimension of 𝑊 is the sum of the dimension of 𝑋 and the dimension of the quotient space of 𝑋. First part of theorem 5.3 in [Lang] p. 141. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
qusdimsum.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
qusdimsum.y 𝑌 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑈))
Assertion
Ref Expression
qusdimsum ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘𝑋) +𝑒 (dim‘𝑌)))

Proof of Theorem qusdimsum
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusdimsum.y . . . 4 𝑌 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑈))
2 eqid 2759 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 lveclmod 19939 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
43adantr 485 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
5 simpr 489 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
6 eqid 2759 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))
71, 2, 4, 5, 6quslmhm 31069 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌))
8 eqid 2759 . . . 4 (0g𝑌) = (0g𝑌)
9 eqid 2759 . . . 4 (𝑊s ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)})) = (𝑊s ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)}))
10 eqid 2759 . . . 4 (𝑌s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))) = (𝑌s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)))
118, 9, 10dimkerim 31222 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘(𝑊s ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)}))) +𝑒 (dim‘(𝑌s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))))
127, 11syldan 595 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘(𝑊s ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)}))) +𝑒 (dim‘(𝑌s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))))
13 eqid 2759 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
1413lsssubg 19790 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
153, 14sylan 584 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
16 lmodabl 19742 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
173, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
1817adantr 485 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Abel)
19 ablnsg 19028 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑊) = (SubGrp‘𝑊))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (NrmSGrp‘𝑊) = (SubGrp‘𝑊))
2115, 20eleqtrrd 2856 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (NrmSGrp‘𝑊))
222, 6, 1, 8qusker 31063 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (NrmSGrp‘𝑊) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)}) = 𝑈)
2322oveq2d 7167 . . . . . 6 (𝑈 ∈ (NrmSGrp‘𝑊) → (𝑊s ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)})) = (𝑊s 𝑈))
2421, 23syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑊s ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)})) = (𝑊s 𝑈))
25 qusdimsum.x . . . . 5 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
2624, 25eqtr4di 2812 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑊s ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)})) = 𝑋)
2726fveq2d 6663 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘(𝑊s ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)}))) = (dim‘𝑋))
281ovexi 7185 . . . . . 6 𝑌 ∈ V
29 eqid 2759 . . . . . . 7 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
3029ressid 16610 . . . . . 6 (𝑌 ∈ V → (𝑌s (Base‘𝑌)) = 𝑌)
3128, 30ax-mp 5 . . . . 5 (𝑌s (Base‘𝑌)) = 𝑌
321a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑈)))
332a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
34 ovexd 7186 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑊 ~QG 𝑈) ∈ V)
35 simpl 487 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
3632, 33, 6, 34, 35quslem 16867 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)):(Base‘𝑊)–onto→((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)))
37 forn 6580 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)):(Base‘𝑊)–onto→((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) = ((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)))
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) = ((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)))
3932, 33, 34, 35qusbas 16869 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)) = (Base‘𝑌))
4038, 39eqtr2d 2795 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (Base‘𝑌) = ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)))
4140oveq2d 7167 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑌s (Base‘𝑌)) = (𝑌s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))
4231, 41syl5reqr 2809 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑌s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))) = 𝑌)
4342fveq2d 6663 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘(𝑌s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)))) = (dim‘𝑌))
4427, 43oveq12d 7169 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((dim‘(𝑊s ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g𝑌)}))) +𝑒 (dim‘(𝑌s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))) = ((dim‘𝑋) +𝑒 (dim‘𝑌)))
4512, 44eqtrd 2794 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘𝑋) +𝑒 (dim‘𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410  {csn 4523   ↦ cmpt 5113  ◡ccnv 5524  ran crn 5526   “ cima 5528  –onto→wfo 6334  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  [cec 8298   / cqs 8299   +𝑒 cxad 12539  Basecbs 16534   ↾s cress 16535  0gc0g 16764   /s cqus 16829  SubGrpcsubg 18333  NrmSGrpcnsg 18334   ~QG cqg 18335  Abelcabl 18967  LModclmod 19695  LSubSpclss 19764   LMHom clmhm 19852  LVecclvec 19935  dimcldim 31198 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-reg 9082  ax-inf2 9130  ax-ac2 9916  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-rpss 7448  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-tpos 7903  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-ec 8302  df-qs 8306  df-map 8419  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8860  df-sup 8932  df-inf 8933  df-oi 9000  df-r1 9219  df-rank 9220  df-dju 9356  df-card 9394  df-acn 9397  df-ac 9569  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-xnn0 12000  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-xadd 12542  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-seq 13412  df-hash 13734  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-ip 16634  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ocomp 16637  df-ds 16638  df-hom 16640  df-cco 16641  df-0g 16766  df-gsum 16767  df-prds 16772  df-pws 16774  df-imas 16832  df-qus 16833  df-mre 16908  df-mrc 16909  df-mri 16910  df-acs 16911  df-proset 17597  df-drs 17598  df-poset 17615  df-ipo 17821  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-mhm 18015  df-submnd 18016  df-grp 18165  df-minusg 18166  df-sbg 18167  df-mulg 18285  df-subg 18336  df-nsg 18337  df-eqg 18338  df-ghm 18416  df-cntz 18507  df-lsm 18821  df-cmn 18968  df-abl 18969  df-mgp 19301  df-ur 19313  df-ring 19360  df-oppr 19437  df-dvdsr 19455  df-unit 19456  df-invr 19486  df-drng 19565  df-subrg 19594  df-lmod 19697  df-lss 19765  df-lsp 19805  df-lmhm 19855  df-lmim 19856  df-lbs 19908  df-lvec 19936  df-sra 20005  df-rgmod 20006  df-nzr 20092  df-dsmm 20490  df-frlm 20505  df-uvc 20541  df-lindf 20564  df-linds 20565  df-dim 31199 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator