Theorem qusdimsum 32323

Description: Let 𝑊 be a vector space, and let 𝑋 be a subspace. Then the dimension of 𝑊 is the sum of the dimension of 𝑋 and the dimension of the quotient space of 𝑋. First part of theorem 5.3 in [Lang] p. 141. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusdimsum.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
qusdimsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑈))

Assertion

Ref	Expression
qusdimsum	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘𝑋) +𝑒 (dim‘𝑌)))

Proof of Theorem qusdimsum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusdimsum.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑈))
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		lveclmod 20567	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
5		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))
7	1, 2, 4, 5, 6	quslmhm 32147	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌))
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)})) = (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))) = (𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)))
11	8, 9, 10	dimkerim 32322	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘(𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))) +𝑒 (dim‘(𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))))
12	7, 11	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘(𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))) +𝑒 (dim‘(𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))))
13		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14	13	lsssubg 20418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
15	3, 14	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
16		lmodabl 20369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
17	3, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
18	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Abel)
19		ablnsg 19625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑊) = (SubGrp‘𝑊))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (NrmSGrp‘𝑊) = (SubGrp‘𝑊))
21	15, 20	eleqtrrd 2841	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (NrmSGrp‘𝑊))
22	2, 6, 1, 8	qusker 32141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (NrmSGrp‘𝑊) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}) = 𝑈)
23	22	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (NrmSGrp‘𝑊) → (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)})) = (𝑊 ↾s 𝑈))
24	21, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)})) = (𝑊 ↾s 𝑈))
25		qusdimsum.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
26	24, 25	eqtr4di 2794	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)})) = 𝑋)
27	26	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘(𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))) = (dim‘𝑋))
28	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑈)))
29	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
30		ovexd 7392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑊 ~QG 𝑈) ∈ V)
31		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
32	28, 29, 6, 30, 31	quslem 17425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)):(Base‘𝑊)–onto→((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)))
33		forn 6759	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)):(Base‘𝑊)–onto→((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) = ((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) = ((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)))
35	28, 29, 30, 31	qusbas 17427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)) = (Base‘𝑌))
36	34, 35	eqtr2d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (Base‘𝑌) = ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)))
37	36	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑌 ↾s (Base‘𝑌)) = (𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))
38	1	ovexi 7391	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ∈ V
39		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
40	39	ressid 17125	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ↾s (Base‘𝑌)) = 𝑌)
41	38, 40	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ↾s (Base‘𝑌)) = 𝑌
42	37, 41	eqtr3di 2791	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))) = 𝑌)
43	42	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘(𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)))) = (dim‘𝑌))
44	27, 43	oveq12d 7375	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((dim‘(𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))) +𝑒 (dim‘(𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))) = ((dim‘𝑋) +𝑒 (dim‘𝑌)))
45	12, 44	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘𝑋) +𝑒 (dim‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445  {csn 4586   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5632  ran crn 5634   “ cima 5636  –onto→wfo 6494  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  [cec 8646   / cqs 8647   +_𝑒 cxad 13031  Basecbs 17083   ↾_s cress 17112  0_gc0g 17321   /_s cqus 17387  SubGrpcsubg 18922  NrmSGrpcnsg 18923   ~_QG cqg 18924  Abelcabl 19563  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392   LMHom clmhm 20480  LVecclvec 20563  dimcldim 32298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-reg 9528  ax-inf2 9577  ax-ac2 10399  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-rpss 7660  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-r1 9700  df-rank 9701  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-ac 10052  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-xadd 13034  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ocomp 17154  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-imas 17390  df-qus 17391  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-mri 17468  df-acs 17469  df-proset 18184  df-drs 18185  df-poset 18202  df-ipo 18417  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lmhm 20483  df-lmim 20484  df-lbs 20536  df-lvec 20564  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-nzr 20728  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-uvc 21189  df-lindf 21212  df-linds 21213  df-dim 32299

This theorem is referenced by: (None)