Theorem qusdimsum 31611

Description: Let 𝑊 be a vector space, and let 𝑋 be a subspace. Then the dimension of 𝑊 is the sum of the dimension of 𝑋 and the dimension of the quotient space of 𝑋. First part of theorem 5.3 in [Lang] p. 141. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusdimsum.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
qusdimsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑈))

Assertion

Ref	Expression
qusdimsum	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘𝑋) +𝑒 (dim‘𝑌)))

Proof of Theorem qusdimsum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusdimsum.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑈))
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		lveclmod 20283	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))
7	1, 2, 4, 5, 6	quslmhm 31457	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌))
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)})) = (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))) = (𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)))
11	8, 9, 10	dimkerim 31610	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘(𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))) +𝑒 (dim‘(𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))))
12	7, 11	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘(𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))) +𝑒 (dim‘(𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))))
13		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14	13	lsssubg 20134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
15	3, 14	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
16		lmodabl 20085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
17	3, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Abel)
19		ablnsg 19363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑊) = (SubGrp‘𝑊))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (NrmSGrp‘𝑊) = (SubGrp‘𝑊))
21	15, 20	eleqtrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (NrmSGrp‘𝑊))
22	2, 6, 1, 8	qusker 31451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (NrmSGrp‘𝑊) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}) = 𝑈)
23	22	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (NrmSGrp‘𝑊) → (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)})) = (𝑊 ↾s 𝑈))
24	21, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)})) = (𝑊 ↾s 𝑈))
25		qusdimsum.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
26	24, 25	eqtr4di 2797	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)})) = 𝑋)
27	26	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘(𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))) = (dim‘𝑋))
28	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑌 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑈)))
29	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
30		ovexd 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑊 ~QG 𝑈) ∈ V)
31		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
32	28, 29, 6, 30, 31	quslem 17171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)):(Base‘𝑊)–onto→((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)))
33		forn 6675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)):(Base‘𝑊)–onto→((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) = ((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) = ((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)))
35	28, 29, 30, 31	qusbas 17173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((Base‘𝑊) / (𝑊 ~QG 𝑈)) = (Base‘𝑌))
36	34, 35	eqtr2d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (Base‘𝑌) = ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)))
37	36	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑌 ↾s (Base‘𝑌)) = (𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))
38	1	ovexi 7289	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ∈ V
39		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
40	39	ressid 16880	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ↾s (Base‘𝑌)) = 𝑌)
41	38, 40	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ↾s (Base‘𝑌)) = 𝑌
42	37, 41	eqtr3di 2794	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))) = 𝑌)
43	42	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘(𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)))) = (dim‘𝑌))
44	27, 43	oveq12d 7273	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((dim‘(𝑊 ↾s (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈)) “ {(0g‘𝑌)}))) +𝑒 (dim‘(𝑌 ↾s ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ [𝑥](𝑊 ~QG 𝑈))))) = ((dim‘𝑋) +𝑒 (dim‘𝑌)))
45	12, 44	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = ((dim‘𝑋) +𝑒 (dim‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  {csn 4558   ↦ cmpt 5153  ^◡ccnv 5579  ran crn 5581   “ cima 5583  –onto→wfo 6416  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  [cec 8454   / cqs 8455   +_𝑒 cxad 12775  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  0_gc0g 17067   /_s cqus 17133  SubGrpcsubg 18664  NrmSGrpcnsg 18665   ~_QG cqg 18666  Abelcabl 19302  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108   LMHom clmhm 20196  LVecclvec 20279  dimcldim 31586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-reg 9281  ax-inf2 9329  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-rpss 7554  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-r1 9453  df-rank 9454  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-xadd 12778  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ocomp 16909  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-imas 17136  df-qus 17137  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-mri 17214  df-acs 17215  df-proset 17928  df-drs 17929  df-poset 17946  df-ipo 18161  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-nsg 18668  df-eqg 18669  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lmhm 20199  df-lmim 20200  df-lbs 20252  df-lvec 20280  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-nzr 20442  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-uvc 20900  df-lindf 20923  df-linds 20924  df-dim 31587

This theorem is referenced by: (None)