Theorem renegmulnnass 42970

Description: Move multiplication by a natural number inside and outside negation. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegmulnnass.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
renegmulnnass.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
renegmulnnass	⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))

Proof of Theorem renegmulnnass

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegmulnnass.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		oveq2 7368	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · 1))
3		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 1))
4	3	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · 1)))
5	2, 4	eqeq12d 2757	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ (𝐴 · 1))))
6		oveq2 7368	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦))
7		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
8	7	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
9	6, 8	eqeq12d 2757	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
10		oveq2 7368	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)))
11		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑦 + 1)))
12	11	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1))))
13	10, 12	eqeq12d 2757	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1)))))
14		oveq2 7368	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁))
15		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑁))
16	15	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))
17	14, 16	eqeq12d 2757	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁))))
18		renegmulnnass.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
19		rernegcl 42863	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
21		ax-1rid 11103	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ 𝐴))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ 𝐴))
23		ax-1rid 11103	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
24	18, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
25	24	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ (𝐴 · 1)) = (0 −ℝ 𝐴))
26	22, 25	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ (𝐴 · 1)))
27		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
28	27	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
29		0red 11142	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 0 ∈ ℝ)
30	18	ad2antrr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℝ)
31		nnre 12176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
32	31	ad2antlr 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
33	30, 32	remulcld 11170	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ)
34		rernegcl 42863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ)
36		readdsub 42876	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) −ℝ 𝐴) = ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
37	29, 35, 30, 36	syl3anc 1380	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) −ℝ 𝐴) = ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
38		readdlid 42895	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
39	35, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
40	39	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) −ℝ 𝐴) = ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴))
41	37, 40	eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) = ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴))
42		resubsub4 42881	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
43	29, 33, 30, 42	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
44	28, 41, 43	3eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
45	22	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
46	45	ad2antrr 733	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
47	24	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
48	47	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
49	48	ad2antrr 733	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
50	44, 46, 49	3eqtr4d 2786	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))))
51		nnadd1com 12195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) = (1 + 𝑦))
52	51	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = ((0 −ℝ 𝐴) · (1 + 𝑦)))
53	52	ad2antlr 734	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = ((0 −ℝ 𝐴) · (1 + 𝑦)))
54	20	recnd 11168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
55	54	ad2antrr 733	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
56		1cnd 11134	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
57		nncn 12177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
58	57	ad2antlr 734	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
59	55, 56, 58	adddid 11164	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (1 + 𝑦)) = (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
60	53, 59	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
61	18	recnd 11168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
62	61	ad2antrr 733	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℂ)
63	62, 58, 56	adddid 11164	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
64	63	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1))) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))))
65	50, 60, 64	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1))))
66	5, 9, 13, 17, 26, 65	nnindd 12189	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))
67	1, 66	mpdan 694	1 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038  ℕcn 12169   −_ℝ cresub 42857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-nn 12170  df-resub 42858

This theorem is referenced by:  zmulcomlem  42972  zmulcom  42973