Theorem renegmulnnass 43530

Description: Move multiplication by a natural number inside and outside negation. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegmulnnass.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
renegmulnnass.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
renegmulnnass	⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))

Proof of Theorem renegmulnnass

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegmulnnass.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		oveq2 7428	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · 1))
3		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 1))
4	3	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · 1)))
5	2, 4	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ (𝐴 · 1))))
6		oveq2 7428	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦))
7		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
8	7	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
9	6, 8	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
10		oveq2 7428	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)))
11		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑦 + 1)))
12	11	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1))))
13	10, 12	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1)))))
14		oveq2 7428	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁))
15		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑁))
16	15	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))
17	14, 16	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁))))
18		renegmulnnass.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
19		rernegcl 43423	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
21		ax-1rid 11270	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ 𝐴))
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ 𝐴))
23		ax-1rid 11270	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
24	18, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
25	24	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ (𝐴 · 1)) = (0 −ℝ 𝐴))
26	22, 25	eqtr4d 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ (𝐴 · 1)))
27		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
28	27	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
29		0red 11311	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 0 ∈ ℝ)
30	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℝ)
31		nnre 12342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
32	31	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
33	30, 32	remulcld 11339	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ)
34		rernegcl 43423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ)
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ)
36		readdsub 43436	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) −ℝ 𝐴) = ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
37	29, 35, 30, 36	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) −ℝ 𝐴) = ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
38		readdlid 43455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
39	35, 38	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
40	39	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) −ℝ 𝐴) = ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴))
41	37, 40	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) = ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴))
42		resubsub4 43441	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
43	29, 33, 30, 42	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
44	28, 41, 43	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
45	22	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
46	45	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
47	24	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
48	47	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
49	48	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
50	44, 46, 49	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))))
51		nnadd1com 12361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) = (1 + 𝑦))
52	51	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = ((0 −ℝ 𝐴) · (1 + 𝑦)))
53	52	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = ((0 −ℝ 𝐴) · (1 + 𝑦)))
54	20	recnd 11337	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
55	54	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
56		1cnd 11302	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
57		nncn 12343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
58	57	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
59	55, 56, 58	adddid 11333	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (1 + 𝑦)) = (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
60	53, 59	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
61	18	recnd 11337	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
62	61	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℂ)
63	62, 58, 56	adddid 11333	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
64	63	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1))) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))))
65	50, 60, 64	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1))))
66	5, 9, 13, 17, 26, 65	nnindd 12355	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))
67	1, 66	mpdan 700	1 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205  ℕcn 12335   −_ℝ cresub 43417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-nn 12336  df-resub 43418

This theorem is used by:  zmulcomlem  43532  zmulcom  43533