Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  renegmulnnass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renegmulnnass 42460
Description: Move multiplication by a natural number inside and outside negation. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
renegmulnnass.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
renegmulnnass.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
renegmulnnass (𝜑 → ((0 − 𝐴) · 𝑁) = (0 − (𝐴 · 𝑁)))

Proof of Theorem renegmulnnass
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegmulnnass.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 oveq2 7439 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((0 − 𝐴) · 𝑥) = ((0 − 𝐴) · 1))
3 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 1))
43oveq2d 7447 . . . 4 (𝑥 = 1 → (0 − (𝐴 · 𝑥)) = (0 − (𝐴 · 1)))
52, 4eqeq12d 2751 . . 3 (𝑥 = 1 → (((0 − 𝐴) · 𝑥) = (0 − (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 − 𝐴) · 1) = (0 − (𝐴 · 1))))
6 oveq2 7439 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((0 − 𝐴) · 𝑥) = ((0 − 𝐴) · 𝑦))
7 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
87oveq2d 7447 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (0 − (𝐴 · 𝑥)) = (0 − (𝐴 · 𝑦)))
96, 8eqeq12d 2751 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (((0 − 𝐴) · 𝑥) = (0 − (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))))
10 oveq2 7439 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((0 − 𝐴) · 𝑥) = ((0 − 𝐴) · (𝑦 + 1)))
11 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑦 + 1)))
1211oveq2d 7447 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 − (𝐴 · 𝑥)) = (0 − (𝐴 · (𝑦 + 1))))
1310, 12eqeq12d 2751 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((0 − 𝐴) · 𝑥) = (0 − (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 − 𝐴) · (𝑦 + 1)) = (0 − (𝐴 · (𝑦 + 1)))))
14 oveq2 7439 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((0 − 𝐴) · 𝑥) = ((0 − 𝐴) · 𝑁))
15 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑁))
1615oveq2d 7447 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (0 − (𝐴 · 𝑥)) = (0 − (𝐴 · 𝑁)))
1714, 16eqeq12d 2751 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (((0 − 𝐴) · 𝑥) = (0 − (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 − 𝐴) · 𝑁) = (0 − (𝐴 · 𝑁))))
18 renegmulnnass.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
19 rernegcl 42378 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
21 ax-1rid 11223 . . . . 5 ((0 − 𝐴) ∈ ℝ → ((0 − 𝐴) · 1) = (0 − 𝐴))
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((0 − 𝐴) · 1) = (0 − 𝐴))
23 ax-1rid 11223 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
2418, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
2524oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (0 − (𝐴 · 1)) = (0 − 𝐴))
2622, 25eqtr4d 2778 . . 3 (𝜑 → ((0 − 𝐴) · 1) = (0 − (𝐴 · 1)))
27 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦)))
2827oveq2d 7447 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → ((0 − 𝐴) + ((0 − 𝐴) · 𝑦)) = ((0 − 𝐴) + (0 − (𝐴 · 𝑦))))
29 0red 11262 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → 0 ∈ ℝ)
3018ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℝ)
31 nnre 12271 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
3231ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
3330, 32remulcld 11289 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ)
34 rernegcl 42378 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ → (0 − (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ)
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → (0 − (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ)
36 readdsub 42391 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (0 − (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 + (0 − (𝐴 · 𝑦))) − 𝐴) = ((0 − 𝐴) + (0 − (𝐴 · 𝑦))))
3729, 35, 30, 36syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → ((0 + (0 − (𝐴 · 𝑦))) − 𝐴) = ((0 − 𝐴) + (0 − (𝐴 · 𝑦))))
38 readdlid 42410 . . . . . . . . 9 ((0 − (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ → (0 + (0 − (𝐴 · 𝑦))) = (0 − (𝐴 · 𝑦)))
3935, 38syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → (0 + (0 − (𝐴 · 𝑦))) = (0 − (𝐴 · 𝑦)))
4039oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → ((0 + (0 − (𝐴 · 𝑦))) − 𝐴) = ((0 − (𝐴 · 𝑦)) − 𝐴))
4137, 40eqtr3d 2777 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → ((0 − 𝐴) + (0 − (𝐴 · 𝑦))) = ((0 − (𝐴 · 𝑦)) − 𝐴))
42 resubsub4 42396 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 − (𝐴 · 𝑦)) − 𝐴) = (0 − ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
4329, 33, 30, 42syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → ((0 − (𝐴 · 𝑦)) − 𝐴) = (0 − ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
4428, 41, 433eqtrd 2779 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → ((0 − 𝐴) + ((0 − 𝐴) · 𝑦)) = (0 − ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
4522oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (((0 − 𝐴) · 1) + ((0 − 𝐴) · 𝑦)) = ((0 − 𝐴) + ((0 − 𝐴) · 𝑦)))
4645ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → (((0 − 𝐴) · 1) + ((0 − 𝐴) · 𝑦)) = ((0 − 𝐴) + ((0 − 𝐴) · 𝑦)))
4724oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
4847oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (0 − ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))) = (0 − ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
4948ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → (0 − ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))) = (0 − ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
5044, 46, 493eqtr4d 2785 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → (((0 − 𝐴) · 1) + ((0 − 𝐴) · 𝑦)) = (0 − ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))))
51 nnadd1com 42281 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) = (1 + 𝑦))
5251oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → ((0 − 𝐴) · (𝑦 + 1)) = ((0 − 𝐴) · (1 + 𝑦)))
5352ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → ((0 − 𝐴) · (𝑦 + 1)) = ((0 − 𝐴) · (1 + 𝑦)))
5420recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5554ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
56 1cnd 11254 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
57 nncn 12272 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
5857ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
5955, 56, 58adddid 11283 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → ((0 − 𝐴) · (1 + 𝑦)) = (((0 − 𝐴) · 1) + ((0 − 𝐴) · 𝑦)))
6053, 59eqtrd 2775 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → ((0 − 𝐴) · (𝑦 + 1)) = (((0 − 𝐴) · 1) + ((0 − 𝐴) · 𝑦)))
6118recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6261ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℂ)
6362, 58, 56adddid 11283 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
6463oveq2d 7447 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → (0 − (𝐴 · (𝑦 + 1))) = (0 − ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))))
6550, 60, 643eqtr4d 2785 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 − 𝐴) · 𝑦) = (0 − (𝐴 · 𝑦))) → ((0 − 𝐴) · (𝑦 + 1)) = (0 − (𝐴 · (𝑦 + 1))))
665, 9, 13, 17, 26, 65nnindd 12284 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((0 − 𝐴) · 𝑁) = (0 − (𝐴 · 𝑁)))
671, 66mpdan 687 1 (𝜑 → ((0 − 𝐴) · 𝑁) = (0 − (𝐴 · 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cn 12264   cresub 42372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-nn 12265  df-resub 42373
This theorem is referenced by:  zmulcomlem  42462  zmulcom  42463
  Copyright terms: Public domain W3C validator