Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  renegmulnnass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renegmulnnass 41930
Description: Move multiplication by a natural number inside and outside negation. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
renegmulnnass.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
renegmulnnass.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
renegmulnnass (๐œ‘ โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘)))

Proof of Theorem renegmulnnass
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegmulnnass.n . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 oveq2 7422 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฅ) = ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท 1))
3 oveq2 7422 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท 1))
43oveq2d 7430 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ)) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท 1)))
52, 4eqeq12d 2743 . . 3 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฅ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ)) โ†” ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท 1) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท 1))))
6 oveq2 7422 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฅ) = ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ))
7 oveq2 7422 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท ๐‘ฆ))
87oveq2d 7430 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ)) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ)))
96, 8eqeq12d 2743 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฅ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ)) โ†” ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))))
10 oveq2 7422 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฅ) = ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท (๐‘ฆ + 1)))
11 oveq2 7422 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท (๐‘ฆ + 1)))
1211oveq2d 7430 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ)) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท (๐‘ฆ + 1))))
1310, 12eqeq12d 2743 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฅ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ)) โ†” ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท (๐‘ฆ + 1)) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท (๐‘ฆ + 1)))))
14 oveq2 7422 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฅ) = ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘))
15 oveq2 7422 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท ๐‘))
1615oveq2d 7430 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ)) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘)))
1714, 16eqeq12d 2743 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฅ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ)) โ†” ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘))))
18 renegmulnnass.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
19 rernegcl 41848 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„)
2018, 19syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„)
21 ax-1rid 11200 . . . . 5 ((0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท 1) = (0 โˆ’โ„ ๐ด))
2220, 21syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท 1) = (0 โˆ’โ„ ๐ด))
23 ax-1rid 11200 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
2418, 23syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
2524oveq2d 7430 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท 1)) = (0 โˆ’โ„ ๐ด))
2622, 25eqtr4d 2770 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท 1) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท 1)))
27 simpr 484 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ)))
2827oveq2d 7430 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) + ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ)) = ((0 โˆ’โ„ ๐ด) + (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))))
29 0red 11239 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3018ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
31 nnre 12241 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
3231ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
3330, 32remulcld 11266 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
34 rernegcl 41848 . . . . . . . . 9 ((๐ด ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
36 readdsub 41861 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((0 + (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โˆ’โ„ ๐ด) = ((0 โˆ’โ„ ๐ด) + (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))))
3729, 35, 30, 36syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((0 + (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โˆ’โ„ ๐ด) = ((0 โˆ’โ„ ๐ด) + (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))))
38 readdlid 41880 . . . . . . . . 9 ((0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โ†’ (0 + (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ)))
3935, 38syl 17 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (0 + (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ)))
4039oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((0 + (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โˆ’โ„ ๐ด) = ((0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โˆ’โ„ ๐ด))
4137, 40eqtr3d 2769 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) + (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) = ((0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โˆ’โ„ ๐ด))
42 resubsub4 41866 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โˆ’โ„ ๐ด) = (0 โˆ’โ„ ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + ๐ด)))
4329, 33, 30, 42syl3anc 1369 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โˆ’โ„ ๐ด) = (0 โˆ’โ„ ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + ๐ด)))
4428, 41, 433eqtrd 2771 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) + ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ)) = (0 โˆ’โ„ ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + ๐ด)))
4522oveq1d 7429 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท 1) + ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ)) = ((0 โˆ’โ„ ๐ด) + ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ)))
4645ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท 1) + ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ)) = ((0 โˆ’โ„ ๐ด) + ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ)))
4724oveq2d 7430 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + (๐ด ยท 1)) = ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + ๐ด))
4847oveq2d 7430 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’โ„ ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + (๐ด ยท 1))) = (0 โˆ’โ„ ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + ๐ด)))
4948ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (0 โˆ’โ„ ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + (๐ด ยท 1))) = (0 โˆ’โ„ ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + ๐ด)))
5044, 46, 493eqtr4d 2777 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท 1) + ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ)) = (0 โˆ’โ„ ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + (๐ด ยท 1))))
51 nnadd1com 41764 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ + 1) = (1 + ๐‘ฆ))
5251oveq2d 7430 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท (๐‘ฆ + 1)) = ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท (1 + ๐‘ฆ)))
5352ad2antlr 726 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท (๐‘ฆ + 1)) = ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท (1 + ๐‘ฆ)))
5420recnd 11264 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5554ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (0 โˆ’โ„ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
56 1cnd 11231 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
57 nncn 12242 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
5857ad2antlr 726 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
5955, 56, 58adddid 11260 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท (1 + ๐‘ฆ)) = (((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท 1) + ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ)))
6053, 59eqtrd 2767 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท (๐‘ฆ + 1)) = (((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท 1) + ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ)))
6118recnd 11264 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6261ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6362, 58, 56adddid 11260 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฆ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + (๐ด ยท 1)))
6463oveq2d 7430 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท (๐‘ฆ + 1))) = (0 โˆ’โ„ ((๐ด ยท ๐‘ฆ) + (๐ด ยท 1))))
6550, 60, 643eqtr4d 2777 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท (๐‘ฆ + 1)) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท (๐‘ฆ + 1))))
665, 9, 13, 17, 26, 65nnindd 12254 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘)))
671, 66mpdan 686 1 (๐œ‘ โ†’ ((0 โˆ’โ„ ๐ด) ยท ๐‘) = (0 โˆ’โ„ (๐ด ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135  โ„•cn 12234   โˆ’โ„ cresub 41842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-nn 12235  df-resub 41843
This theorem is referenced by:  zmulcomlem  41932  zmulcom  41933
  Copyright terms: Public domain W3C validator