Theorem renegmulnnass 43720

Description: Move multiplication by a natural number inside and outside negation. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegmulnnass.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
renegmulnnass.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
renegmulnnass	⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))

Proof of Theorem renegmulnnass

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegmulnnass.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		oveq2 7448	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · 1))
3		oveq2 7448	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 1))
4	3	oveq2d 7456	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · 1)))
5	2, 4	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ (𝐴 · 1))))
6		oveq2 7448	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦))
7		oveq2 7448	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
8	7	oveq2d 7456	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
9	6, 8	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
10		oveq2 7448	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)))
11		oveq2 7448	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑦 + 1)))
12	11	oveq2d 7456	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1))))
13	10, 12	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1)))))
14		oveq2 7448	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁))
15		oveq2 7448	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑁))
16	15	oveq2d 7456	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))
17	14, 16	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁))))
18		renegmulnnass.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
19		rernegcl 43613	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
21		ax-1rid 11294	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ 𝐴))
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ 𝐴))
23		ax-1rid 11294	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
24	18, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
25	24	oveq2d 7456	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ (𝐴 · 1)) = (0 −ℝ 𝐴))
26	22, 25	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ (𝐴 · 1)))
27		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
28	27	oveq2d 7456	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
29		0red 11335	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 0 ∈ ℝ)
30	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℝ)
31		nnre 12366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
32	31	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
33	30, 32	remulcld 11363	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ)
34		rernegcl 43613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ)
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ)
36		readdsub 43626	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) −ℝ 𝐴) = ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
37	29, 35, 30, 36	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) −ℝ 𝐴) = ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
38		readdlid 43645	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
39	35, 38	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
40	39	oveq1d 7455	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) −ℝ 𝐴) = ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴))
41	37, 40	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) = ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴))
42		resubsub4 43631	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
43	29, 33, 30, 42	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
44	28, 41, 43	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
45	22	oveq1d 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
46	45	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
47	24	oveq2d 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
48	47	oveq2d 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
49	48	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
50	44, 46, 49	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))))
51		nnadd1com 12385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) = (1 + 𝑦))
52	51	oveq2d 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = ((0 −ℝ 𝐴) · (1 + 𝑦)))
53	52	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = ((0 −ℝ 𝐴) · (1 + 𝑦)))
54	20	recnd 11361	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
55	54	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
56		1cnd 11326	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
57		nncn 12367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
58	57	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
59	55, 56, 58	adddid 11357	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (1 + 𝑦)) = (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
60	53, 59	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
61	18	recnd 11361	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
62	61	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℂ)
63	62, 58, 56	adddid 11357	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
64	63	oveq2d 7456	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1))) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))))
65	50, 60, 64	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1))))
66	5, 9, 13, 17, 26, 65	nnindd 12379	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))
67	1, 66	mpdan 700	1 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   · cmul 11229  ℕcn 12359   −_ℝ cresub 43607

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-ltxr 11372  df-nn 12360  df-resub 43608

This theorem is used by:  zmulcomlem  43722  zmulcom  43723