Theorem renegmulnnass 42463

Description: Move multiplication by a natural number inside and outside negation. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegmulnnass.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
renegmulnnass.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
renegmulnnass	⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))

Proof of Theorem renegmulnnass

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegmulnnass.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · 1))
3		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 1))
4	3	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · 1)))
5	2, 4	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ (𝐴 · 1))))
6		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦))
7		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
8	7	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
9	6, 8	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
10		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)))
11		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑦 + 1)))
12	11	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1))))
13	10, 12	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1)))))
14		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁))
15		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑁))
16	15	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))
17	14, 16	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁))))
18		renegmulnnass.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
19		rernegcl 42381	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
21		ax-1rid 11204	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ 𝐴))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ 𝐴))
23		ax-1rid 11204	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
24	18, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
25	24	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ (𝐴 · 1)) = (0 −ℝ 𝐴))
26	22, 25	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ (𝐴 · 1)))
27		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
28	27	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
29		0red 11243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 0 ∈ ℝ)
30	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℝ)
31		nnre 12252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
32	31	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
33	30, 32	remulcld 11270	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ)
34		rernegcl 42381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ)
36		readdsub 42394	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) −ℝ 𝐴) = ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
37	29, 35, 30, 36	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) −ℝ 𝐴) = ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
38		readdlid 42413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
39	35, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
40	39	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) −ℝ 𝐴) = ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴))
41	37, 40	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) = ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴))
42		resubsub4 42399	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
43	29, 33, 30, 42	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
44	28, 41, 43	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
45	22	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
46	45	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
47	24	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
48	47	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
49	48	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
50	44, 46, 49	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))))
51		nnadd1com 42284	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) = (1 + 𝑦))
52	51	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = ((0 −ℝ 𝐴) · (1 + 𝑦)))
53	52	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = ((0 −ℝ 𝐴) · (1 + 𝑦)))
54	20	recnd 11268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
55	54	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
56		1cnd 11235	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
57		nncn 12253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
58	57	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
59	55, 56, 58	adddid 11264	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (1 + 𝑦)) = (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
60	53, 59	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
61	18	recnd 11268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
62	61	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℂ)
63	62, 58, 56	adddid 11264	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
64	63	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1))) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))))
65	50, 60, 64	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1))))
66	5, 9, 13, 17, 26, 65	nnindd 12265	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))
67	1, 66	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139  ℕcn 12245   −_ℝ cresub 42375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-nn 12246  df-resub 42376

This theorem is referenced by:  zmulcomlem  42465  zmulcom  42466