Theorem renegmulnnass 43092

Description: Move multiplication by a natural number inside and outside negation. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegmulnnass.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
renegmulnnass.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
renegmulnnass	⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))

Proof of Theorem renegmulnnass

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegmulnnass.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		oveq2 7406	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · 1))
3		oveq2 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 1))
4	3	oveq2d 7414	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · 1)))
5	2, 4	eqeq12d 2780	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ (𝐴 · 1))))
6		oveq2 7406	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦))
7		oveq2 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
8	7	oveq2d 7414	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
9	6, 8	eqeq12d 2780	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
10		oveq2 7406	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)))
11		oveq2 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑦 + 1)))
12	11	oveq2d 7414	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1))))
13	10, 12	eqeq12d 2780	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1)))))
14		oveq2 7406	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁))
15		oveq2 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑁))
16	15	oveq2d 7414	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))
17	14, 16	eqeq12d 2780	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((0 −ℝ 𝐴) · 𝑥) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑥)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁))))
18		renegmulnnass.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
19		rernegcl 42985	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
21		ax-1rid 11145	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ 𝐴))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ 𝐴))
23		ax-1rid 11145	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
24	18, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
25	24	oveq2d 7414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ (𝐴 · 1)) = (0 −ℝ 𝐴))
26	22, 25	eqtr4d 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 1) = (0 −ℝ (𝐴 · 1)))
27		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
28	27	oveq2d 7414	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
29		0red 11186	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 0 ∈ ℝ)
30	18	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℝ)
31		nnre 12219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
32	31	ad2antlr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
33	30, 32	remulcld 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ)
34		rernegcl 42985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ)
36		readdsub 42998	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) −ℝ 𝐴) = ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
37	29, 35, 30, 36	syl3anc 1392	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) −ℝ 𝐴) = ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))))
38		readdlid 43017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
39	35, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)))
40	39	oveq1d 7413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) −ℝ 𝐴) = ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴))
41	37, 40	eqtr3d 2801	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) = ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴))
42		resubsub4 43003	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
43	29, 33, 30, 42	syl3anc 1392	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ (𝐴 · 𝑦)) −ℝ 𝐴) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
44	28, 41, 43	3eqtrd 2803	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
45	22	oveq1d 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
46	45	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
47	24	oveq2d 7414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
48	47	oveq2d 7414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
49	48	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴)))
50	44, 46, 49	3eqtr4d 2809	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))))
51		nnadd1com 12238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) = (1 + 𝑦))
52	51	oveq2d 7414	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = ((0 −ℝ 𝐴) · (1 + 𝑦)))
53	52	ad2antlr 737	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = ((0 −ℝ 𝐴) · (1 + 𝑦)))
54	20	recnd 11212	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
55	54	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
56		1cnd 11177	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
57		nncn 12220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
58	57	ad2antlr 737	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
59	55, 56, 58	adddid 11208	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (1 + 𝑦)) = (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
60	53, 59	eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = (((0 −ℝ 𝐴) · 1) + ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦)))
61	18	recnd 11212	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
62	61	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℂ)
63	62, 58, 56	adddid 11208	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
64	63	oveq2d 7414	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1))) = (0 −ℝ ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1))))
65	50, 60, 64	3eqtr4d 2809	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑦) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑦))) → ((0 −ℝ 𝐴) · (𝑦 + 1)) = (0 −ℝ (𝐴 · (𝑦 + 1))))
66	5, 9, 13, 17, 26, 65	nnindd 12232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))
67	1, 66	mpdan 697	1 ⊢ (𝜑 → ((0 −ℝ 𝐴) · 𝑁) = (0 −ℝ (𝐴 · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  ℕcn 12212   −_ℝ cresub 42979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-ltxr 11223  df-nn 12213  df-resub 42980

This theorem is referenced by:  zmulcomlem  43094  zmulcom  43095