Theorem matbas0pc 21636

Description: There is no matrix with a proper class either as dimension or as underlying ring. (Contributed by AV, 28-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
matbas0pc	⊢ (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)

Proof of Theorem matbas0pc

Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mat 21635	. . . . 5 ⊢ Mat = (𝑛 ∈ Fin, 𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟 freeLMod (𝑛 × 𝑛)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑟 maMul ⟨𝑛, 𝑛, 𝑛⟩)⟩))
2	1	reldmmpo 7449	. . . 4 ⊢ Rel dom Mat
3	2	ovprc 7354	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
4	3	fveq2d 6815	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘∅))
5		base0 16991	. 2 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
6	4, 5	eqtr4di 2794	1 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3440  ∅c0 4266  ⟨cop 4576  ⟨cotp 4578   × cxp 5605  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316  Fincfn 8782   sSet csts 16938  ndxcnx 16968  Basecbs 16986  ._rcmulr 17037   freeLMod cfrlm 21033   maMul cmmul 21612   Mat cmat 21634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-1cn 11008  ax-addcl 11010

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-nn 12053  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-mat 21635

This theorem is referenced by:  marrepfval  21789  marepvfval  21794  submafval  21808  minmar1fval  21875