MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetfval 21840
Description: First substitution for the determinant definition. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Sep-2015.) (Revised by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetfval.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetfval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetfval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetfval.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetfval.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetfval.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetfval.t · = (.r𝑅)
mdetfval.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdetfval 𝐷 = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝑚,𝑝,𝑥,𝑁   𝑃,𝑚   𝑅,𝑚,𝑝,𝑥   𝑆,𝑚   · ,𝑚   𝑈,𝑚   𝑚,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐵(𝑥,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑝)   𝑆(𝑥,𝑝)   · (𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥,𝑝)   𝑌(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem mdetfval
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetfval.d . 2 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 oveq12 7350 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (𝑛 Mat 𝑟) = (𝑁 Mat 𝑅))
3 mdetfval.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
42, 3eqtr4di 2795 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (𝑛 Mat 𝑟) = 𝐴)
54fveq2d 6833 . . . . . 6 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑛 Mat 𝑟)) = (Base‘𝐴))
6 mdetfval.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
75, 6eqtr4di 2795 . . . . 5 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑛 Mat 𝑟)) = 𝐵)
8 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → 𝑟 = 𝑅)
9 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → 𝑛 = 𝑁)
109fveq2d 6833 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (SymGrp‘𝑛) = (SymGrp‘𝑁))
1110fveq2d 6833 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (Base‘(SymGrp‘𝑛)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
12 mdetfval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
1311, 12eqtr4di 2795 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (Base‘(SymGrp‘𝑛)) = 𝑃)
14 fveq2 6829 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑅 → (.r𝑟) = (.r𝑅))
1514adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (.r𝑟) = (.r𝑅))
16 mdetfval.t . . . . . . . . 9 · = (.r𝑅)
1715, 16eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (.r𝑟) = · )
188fveq2d 6833 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (ℤRHom‘𝑟) = (ℤRHom‘𝑅))
19 mdetfval.y . . . . . . . . . . 11 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
2018, 19eqtr4di 2795 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (ℤRHom‘𝑟) = 𝑌)
21 fveq2 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → (pmSgn‘𝑛) = (pmSgn‘𝑁))
2221adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (pmSgn‘𝑛) = (pmSgn‘𝑁))
23 mdetfval.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
2422, 23eqtr4di 2795 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (pmSgn‘𝑛) = 𝑆)
2520, 24coeq12d 5810 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → ((ℤRHom‘𝑟) ∘ (pmSgn‘𝑛)) = (𝑌𝑆))
2625fveq1d 6831 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (((ℤRHom‘𝑟) ∘ (pmSgn‘𝑛))‘𝑝) = ((𝑌𝑆)‘𝑝))
27 fveq2 6829 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑅 → (mulGrp‘𝑟) = (mulGrp‘𝑅))
2827adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (mulGrp‘𝑟) = (mulGrp‘𝑅))
29 mdetfval.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
3028, 29eqtr4di 2795 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (mulGrp‘𝑟) = 𝑈)
319mpteq1d 5191 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (𝑥𝑛 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)) = (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))
3230, 31oveq12d 7359 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → ((mulGrp‘𝑟) Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))) = (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))
3317, 26, 32oveq123d 7362 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → ((((ℤRHom‘𝑟) ∘ (pmSgn‘𝑛))‘𝑝)(.r𝑟)((mulGrp‘𝑟) Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))) = (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))
3413, 33mpteq12dv 5187 . . . . . 6 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑛)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑟) ∘ (pmSgn‘𝑛))‘𝑝)(.r𝑟)((mulGrp‘𝑟) Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))) = (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))
358, 34oveq12d 7359 . . . . 5 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (𝑟 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑛)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑟) ∘ (pmSgn‘𝑛))‘𝑝)(.r𝑟)((mulGrp‘𝑟) Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))))
367, 35mpteq12dv 5187 . . . 4 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (𝑚 ∈ (Base‘(𝑛 Mat 𝑟)) ↦ (𝑟 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑛)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑟) ∘ (pmSgn‘𝑛))‘𝑝)(.r𝑟)((mulGrp‘𝑟) Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
37 df-mdet 21839 . . . 4 maDet = (𝑛 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ (𝑚 ∈ (Base‘(𝑛 Mat 𝑟)) ↦ (𝑟 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑛)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑟) ∘ (pmSgn‘𝑛))‘𝑝)(.r𝑟)((mulGrp‘𝑟) Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
386fvexi 6843 . . . . 5 𝐵 ∈ V
3938mptex 7159 . . . 4 (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) ∈ V
4036, 37, 39ovmpoa 7494 . . 3 ((𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 maDet 𝑅) = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
4137reldmmpo 7474 . . . . . 6 Rel dom maDet
4241ovprc 7379 . . . . 5 (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 maDet 𝑅) = ∅)
43 mpt0 6630 . . . . 5 (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅
4442, 43eqtr4di 2795 . . . 4 (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 maDet 𝑅) = (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
45 df-mat 21660 . . . . . . . . . 10 Mat = (𝑦 ∈ Fin, 𝑧 ∈ V ↦ ((𝑧 freeLMod (𝑦 × 𝑦)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑧 maMul ⟨𝑦, 𝑦, 𝑦⟩)⟩))
4645reldmmpo 7474 . . . . . . . . 9 Rel dom Mat
4746ovprc 7379 . . . . . . . 8 (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
483, 47eqtrid 2789 . . . . . . 7 (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
4948fveq2d 6833 . . . . . 6 (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
50 base0 17014 . . . . . 6 ∅ = (Base‘∅)
5149, 6, 503eqtr4g 2802 . . . . 5 (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
5251mpteq1d 5191 . . . 4 (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
5344, 52eqtr4d 2780 . . 3 (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 maDet 𝑅) = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
5440, 53pm2.61i 182 . 2 (𝑁 maDet 𝑅) = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))))
551, 54eqtri 2765 1 𝐷 = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3442  c0 4273  cop 4583  cotp 4585  cmpt 5179   × cxp 5622  ccom 5628  cfv 6483  (class class class)co 7341  Fincfn 8808   sSet csts 16961  ndxcnx 16991  Basecbs 17009  .rcmulr 17060   Σg cgsu 17248  SymGrpcsymg 19070  pmSgncpsgn 19193  mulGrpcmgp 19814  ℤRHomczrh 20806   freeLMod cfrlm 21058   maMul cmmul 21637   Mat cmat 21659   maDet cmdat 21838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-1cn 11034  ax-addcl 11036
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-nn 12079  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-mat 21660  df-mdet 21839
This theorem is referenced by:  mdetleib  21841  nfimdetndef  21843  mdetfval1  21844  mdet0pr  21846  mdetf  21849
  Copyright terms: Public domain W3C validator