MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetfval 22608
Description: First substitution for the determinant definition. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Sep-2015.) (Revised by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetfval.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetfval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetfval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetfval.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetfval.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetfval.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetfval.t · = (.r𝑅)
mdetfval.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdetfval 𝐷 = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝑚,𝑝,𝑥,𝑁   𝑃,𝑚   𝑅,𝑚,𝑝,𝑥   𝑆,𝑚   · ,𝑚   𝑈,𝑚   𝑚,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐵(𝑥,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑝)   𝑆(𝑥,𝑝)   · (𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥,𝑝)   𝑌(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem mdetfval
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetfval.d . 2 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 oveq12 7440 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (𝑛 Mat 𝑟) = (𝑁 Mat 𝑅))
3 mdetfval.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
42, 3eqtr4di 2793 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (𝑛 Mat 𝑟) = 𝐴)
54fveq2d 6911 . . . . . 6 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑛 Mat 𝑟)) = (Base‘𝐴))
6 mdetfval.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
75, 6eqtr4di 2793 . . . . 5 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑛 Mat 𝑟)) = 𝐵)
8 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → 𝑟 = 𝑅)
9 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → 𝑛 = 𝑁)
109fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (SymGrp‘𝑛) = (SymGrp‘𝑁))
1110fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (Base‘(SymGrp‘𝑛)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
12 mdetfval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
1311, 12eqtr4di 2793 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (Base‘(SymGrp‘𝑛)) = 𝑃)
14 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑅 → (.r𝑟) = (.r𝑅))
1514adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (.r𝑟) = (.r𝑅))
16 mdetfval.t . . . . . . . . 9 · = (.r𝑅)
1715, 16eqtr4di 2793 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (.r𝑟) = · )
188fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (ℤRHom‘𝑟) = (ℤRHom‘𝑅))
19 mdetfval.y . . . . . . . . . . 11 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
2018, 19eqtr4di 2793 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (ℤRHom‘𝑟) = 𝑌)
21 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → (pmSgn‘𝑛) = (pmSgn‘𝑁))
2221adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (pmSgn‘𝑛) = (pmSgn‘𝑁))
23 mdetfval.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
2422, 23eqtr4di 2793 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (pmSgn‘𝑛) = 𝑆)
2520, 24coeq12d 5878 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → ((ℤRHom‘𝑟) ∘ (pmSgn‘𝑛)) = (𝑌𝑆))
2625fveq1d 6909 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (((ℤRHom‘𝑟) ∘ (pmSgn‘𝑛))‘𝑝) = ((𝑌𝑆)‘𝑝))
27 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑅 → (mulGrp‘𝑟) = (mulGrp‘𝑅))
2827adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (mulGrp‘𝑟) = (mulGrp‘𝑅))
29 mdetfval.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
3028, 29eqtr4di 2793 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (mulGrp‘𝑟) = 𝑈)
319mpteq1d 5243 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (𝑥𝑛 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)) = (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))
3230, 31oveq12d 7449 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → ((mulGrp‘𝑟) Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))) = (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))
3317, 26, 32oveq123d 7452 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → ((((ℤRHom‘𝑟) ∘ (pmSgn‘𝑛))‘𝑝)(.r𝑟)((mulGrp‘𝑟) Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))) = (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))
3413, 33mpteq12dv 5239 . . . . . 6 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑛)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑟) ∘ (pmSgn‘𝑛))‘𝑝)(.r𝑟)((mulGrp‘𝑟) Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))) = (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))
358, 34oveq12d 7449 . . . . 5 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (𝑟 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑛)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑟) ∘ (pmSgn‘𝑛))‘𝑝)(.r𝑟)((mulGrp‘𝑟) Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))))
367, 35mpteq12dv 5239 . . . 4 ((𝑛 = 𝑁𝑟 = 𝑅) → (𝑚 ∈ (Base‘(𝑛 Mat 𝑟)) ↦ (𝑟 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑛)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑟) ∘ (pmSgn‘𝑛))‘𝑝)(.r𝑟)((mulGrp‘𝑟) Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
37 df-mdet 22607 . . . 4 maDet = (𝑛 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ (𝑚 ∈ (Base‘(𝑛 Mat 𝑟)) ↦ (𝑟 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑛)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑟) ∘ (pmSgn‘𝑛))‘𝑝)(.r𝑟)((mulGrp‘𝑟) Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
386fvexi 6921 . . . . 5 𝐵 ∈ V
3938mptex 7243 . . . 4 (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) ∈ V
4036, 37, 39ovmpoa 7588 . . 3 ((𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 maDet 𝑅) = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
4137reldmmpo 7567 . . . . . 6 Rel dom maDet
4241ovprc 7469 . . . . 5 (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 maDet 𝑅) = ∅)
43 mpt0 6711 . . . . 5 (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅
4442, 43eqtr4di 2793 . . . 4 (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 maDet 𝑅) = (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
45 df-mat 22428 . . . . . . . . . 10 Mat = (𝑦 ∈ Fin, 𝑧 ∈ V ↦ ((𝑧 freeLMod (𝑦 × 𝑦)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑧 maMul ⟨𝑦, 𝑦, 𝑦⟩)⟩))
4645reldmmpo 7567 . . . . . . . . 9 Rel dom Mat
4746ovprc 7469 . . . . . . . 8 (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
483, 47eqtrid 2787 . . . . . . 7 (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
4948fveq2d 6911 . . . . . 6 (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
50 base0 17250 . . . . . 6 ∅ = (Base‘∅)
5149, 6, 503eqtr4g 2800 . . . . 5 (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
5251mpteq1d 5243 . . . 4 (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
5344, 52eqtr4d 2778 . . 3 (¬ (𝑁 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 maDet 𝑅) = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
5440, 53pm2.61i 182 . 2 (𝑁 maDet 𝑅) = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))))
551, 54eqtri 2763 1 𝐷 = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  c0 4339  cop 4637  cotp 4639  cmpt 5231   × cxp 5687  ccom 5693  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984   sSet csts 17197  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  .rcmulr 17299   Σg cgsu 17487  SymGrpcsymg 19401  pmSgncpsgn 19522  mulGrpcmgp 20152  ℤRHomczrh 21528   freeLMod cfrlm 21784   maMul cmmul 22410   Mat cmat 22427   maDet cmdat 22606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-mat 22428  df-mdet 22607
This theorem is referenced by:  mdetleib  22609  nfimdetndef  22611  mdetfval1  22612  mdet0pr  22614  mdetf  22617
  Copyright terms: Public domain W3C validator