MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmrcl 21648
Description: If a free module is inhabited, this is sufficient to conclude that the ring expression defines a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmrcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
frlmrcl (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑅 ∈ V)

Proof of Theorem frlmrcl
Dummy variables π‘Ÿ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmval.f . 2 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmrcl.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
3 df-frlm 21638 . . 3 freeLMod = (π‘Ÿ ∈ V, 𝑖 ∈ V ↦ (π‘Ÿ βŠ•m (𝑖 Γ— {(ringLModβ€˜π‘Ÿ)})))
43reldmmpo 7538 . 2 Rel dom freeLMod
51, 2, 4strov2rcl 17159 1 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑅 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623   Γ— cxp 5667  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  ringLModcrglmod 21018   βŠ•m cdsmm 21622   freeLMod cfrlm 21637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-1cn 11167  ax-addcl 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-nn 12214  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-frlm 21638
This theorem is referenced by:  frlmbasfsupp  21649  frlmbasmap  21650  frlmvscafval  21657
  Copyright terms: Public domain W3C validator