Theorem frlmrcl 20964

Description: If a free module is inhabited, this is sufficient to conclude that the ring expression defines a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)

Proof of Theorem frlmrcl

Dummy variables 𝑟 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmval.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		frlmrcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		df-frlm 20954	. . 3 ⊢ freeLMod = (𝑟 ∈ V, 𝑖 ∈ V ↦ (𝑟 ⊕m (𝑖 × {(ringLMod‘𝑟)})))
4	3	reldmmpo 7408	. 2 ⊢ Rel dom freeLMod
5	1, 2, 4	strov2rcl 16920	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  {csn 4561   × cxp 5587  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  ringLModcrglmod 20431   ⊕_m cdsmm 20938   freeLMod cfrlm 20953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-frlm 20954

This theorem is referenced by:  frlmbasfsupp  20965  frlmbasmap  20966  frlmvscafval  20973