MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmrcl 21696
Description: If a free module is inhabited, this is sufficient to conclude that the ring expression defines a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmrcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
frlmrcl (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑅 ∈ V)

Proof of Theorem frlmrcl
Dummy variables π‘Ÿ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmval.f . 2 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmrcl.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
3 df-frlm 21686 . . 3 freeLMod = (π‘Ÿ ∈ V, 𝑖 ∈ V ↦ (π‘Ÿ βŠ•m (𝑖 Γ— {(ringLModβ€˜π‘Ÿ)})))
43reldmmpo 7559 . 2 Rel dom freeLMod
51, 2, 4strov2rcl 17193 1 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑅 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471  {csn 4630   Γ— cxp 5678  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  ringLModcrglmod 21062   βŠ•m cdsmm 21670   freeLMod cfrlm 21685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-1cn 11202  ax-addcl 11204
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-nn 12249  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-frlm 21686
This theorem is referenced by:  frlmbasfsupp  21697  frlmbasmap  21698  frlmvscafval  21705
  Copyright terms: Public domain W3C validator