MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressuppfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressuppfi 8591
Description: If the support of the restriction of a function by a set which, subtracted from the domain of the function so that its difference is finite, the support of the function itself is finite. (Contributed by AV, 22-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ressuppfi.b (𝜑 → (dom 𝐹𝐵) ∈ Fin)
ressuppfi.f (𝜑𝐹𝑊)
ressuppfi.g (𝜑𝐺 = (𝐹𝐵))
ressuppfi.s (𝜑 → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
ressuppfi.z (𝜑𝑍𝑉)
Assertion
Ref Expression
ressuppfi (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem ressuppfi
StepHypRef Expression
1 ressuppfi.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 = (𝐹𝐵))
21eqcomd 2784 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐵) = 𝐺)
32oveq1d 6939 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐵) supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍))
4 ressuppfi.s . . . 4 (𝜑 → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
53, 4eqeltrd 2859 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐵) supp 𝑍) ∈ Fin)
6 ressuppfi.b . . 3 (𝜑 → (dom 𝐹𝐵) ∈ Fin)
7 unfi 8517 . . 3 ((((𝐹𝐵) supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (dom 𝐹𝐵) ∈ Fin) → (((𝐹𝐵) supp 𝑍) ∪ (dom 𝐹𝐵)) ∈ Fin)
85, 6, 7syl2anc 579 . 2 (𝜑 → (((𝐹𝐵) supp 𝑍) ∪ (dom 𝐹𝐵)) ∈ Fin)
9 ressuppfi.f . . 3 (𝜑𝐹𝑊)
10 ressuppfi.z . . 3 (𝜑𝑍𝑉)
11 ressuppssdif 7599 . . 3 ((𝐹𝑊𝑍𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (((𝐹𝐵) supp 𝑍) ∪ (dom 𝐹𝐵)))
129, 10, 11syl2anc 579 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (((𝐹𝐵) supp 𝑍) ∪ (dom 𝐹𝐵)))
138, 12ssfid 8473 1 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  cdif 3789  cun 3790  wss 3792  dom cdm 5357  cres 5359  (class class class)co 6924   supp csupp 7578  Fincfn 8243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-fin 8247
This theorem is referenced by:  resfsupp  8592
  Copyright terms: Public domain W3C validator