Theorem ressuppfi 8591

Description: If the support of the restriction of a function by a set which, subtracted from the domain of the function so that its difference is finite, the support of the function itself is finite. (Contributed by AV, 22-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressuppfi.b	⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
ressuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
ressuppfi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐹 ↾ 𝐵))
ressuppfi.s	⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
ressuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ressuppfi	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem ressuppfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressuppfi.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐹 ↾ 𝐵))
2	1	eqcomd 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) = 𝐺)
3	2	oveq1d 6939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) = (𝐺 supp 𝑍))
4		ressuppfi.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
5	3, 4	eqeltrd 2859	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) ∈ Fin)
6		ressuppfi.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
7		unfi 8517	. . 3 ⊢ ((((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (dom 𝐹 ∖ 𝐵) ∈ Fin) → (((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) ∪ (dom 𝐹 ∖ 𝐵)) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) ∪ (dom 𝐹 ∖ 𝐵)) ∈ Fin)
9		ressuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
10		ressuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
11		ressuppssdif 7599	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) ∪ (dom 𝐹 ∖ 𝐵)))
12	9, 10, 11	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) ∪ (dom 𝐹 ∖ 𝐵)))
13	8, 12	ssfid 8473	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3789   ∪ cun 3790   ⊆ wss 3792  dom cdm 5357   ↾ cres 5359  (class class class)co 6924   supp csupp 7578  Fincfn 8243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-fin 8247

This theorem is referenced by:  resfsupp  8592