Theorem fmptssfisupp 9302

Description: The restriction of a mapping function has finite support if that function has finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptssfisupp.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 𝑍)
fmptssfisupp.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
fmptssfisupp.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fmptssfisupp	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fmptssfisupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptssfisupp.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
2	1	resmptd 6001	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵))
3		fmptssfisupp.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 𝑍)
4		fmptssfisupp.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	3, 4	fsuppres 9301	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐶) finSupp 𝑍)
6	2, 5	eqbrtrrd 5110	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   ↾ cres 5628   finSupp cfsupp 9269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-supp 8106  df-1o 8400  df-en 8889  df-fin 8892  df-fsupp 9270

This theorem is referenced by:  psdmul  22146  elrgspnsubrunlem2  33328  mplvrpmrhm  33710  selvvvval  43038