Theorem fmptssfisupp 9357

Description: The restriction of a mapping function has finite support if that function has finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptssfisupp.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 𝑍)
fmptssfisupp.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
fmptssfisupp.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fmptssfisupp	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fmptssfisupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptssfisupp.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
2	1	resmptd 6046	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵))
3		fmptssfisupp.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 𝑍)
4		fmptssfisupp.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	3, 4	fsuppres 9356	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐶) finSupp 𝑍)
6	2, 5	eqbrtrrd 5140	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2150   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197   ↾ cres 5667   finSupp cfsupp 9324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-supp 8160  df-1o 8456  df-en 8947  df-fin 8950  df-fsupp 9325

This theorem is referenced by:  selvvvval  22276  psdmul  22312  elrgspnsubrunlem2  33538  mplvrpmrhm  33907