Theorem fmptssfisupp 9412

Description: The restriction of a mapping function has finite support if that function has finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptssfisupp.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 𝑍)
fmptssfisupp.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
fmptssfisupp.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fmptssfisupp	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fmptssfisupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptssfisupp.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
2	1	resmptd 6040	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵))
3		fmptssfisupp.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 𝑍)
4		fmptssfisupp.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	3, 4	fsuppres 9411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐶) finSupp 𝑍)
6	2, 5	eqbrtrrd 5168	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3941   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227   ↾ cres 5675   finSupp cfsupp 9380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5424  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-supp 8159  df-1o 8480  df-en 8958  df-fin 8961  df-fsupp 9381

This theorem is referenced by:  psdmul  22093  selvvvval  41879