Theorem fmptssfisupp 9410

Description: The restriction of a mapping function has finite support if that function has finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptssfisupp.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 𝑍)
fmptssfisupp.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
fmptssfisupp.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fmptssfisupp	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fmptssfisupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptssfisupp.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
2	1	resmptd 6043	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵))
3		fmptssfisupp.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 𝑍)
4		fmptssfisupp.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	3, 4	fsuppres 9409	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐶) finSupp 𝑍)
6	2, 5	eqbrtrrd 5132	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) finSupp 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   ↾ cres 5657   finSupp cfsupp 9378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-supp 8202  df-1o 8501  df-en 8999  df-fin 9002  df-fsupp 9379

This theorem is used by:  selvvvval  22478  psdmul  22514  elrgspnsubrunlem2  33876  mplvrpmrhm  34246