Theorem ssfid 9227

Description: A subset of a finite set is finite, deduction version of ssfi 9155. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssfid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
ssfid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ssfid	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ssfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		ssfid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		ssfi 9155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  Fincfn 8941

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7861  df-1o 8451  df-en 8942  df-fin 8945

This theorem is used by:  ixpfi  9304  fisuppfi  9329  finnzfsuppd  9331  fsuppunbi  9347  ressuppfi  9353  fsuppmptif  9357  fsuppco2  9361  fsuppcor  9362  marypha1lem  9391  wemapso2lem  9512  cantnfp1lem1  9645  pwfseqlem4  10653  hashpss  14453  hashbclem  14496  hashf1lem2  14500  phphashd  14510  isercolllem2  15724  isercoll  15726  fsum2dlem  15828  fsumcom2  15832  fsumless  15855  fsumabs  15860  fsumrlim  15870  fsumo1  15871  fsumiun  15880  qshash  15886  incexc  15898  incexc2  15899  fprod2dlem  16041  fprodcom2  16045  dvdsfi  16854  4sqlem11  17021  vdwlem11  17057  ramlb  17085  0ram  17086  ramub1lem1  17092  ramub1lem2  17093  prmgaplem4  17120  isstruct2  17215  lagsubg2  19271  lagsubg  19272  orbsta2  19390  symgbasfi  19455  oddvds2  19642  sylow1lem3  19676  sylow1lem4  19677  sylow1lem5  19678  odcau  19680  pgpssslw  19690  sylow2alem2  19694  sylow2a  19695  sylow2blem1  19696  sylow2blem3  19698  slwhash  19700  fislw  19701  sylow2  19702  sylow3lem1  19703  sylow3lem3  19705  sylow3lem4  19706  sylow3lem6  19708  cyggenod  19960  gsumval3lem2  19982  gsumzadd  19998  gsum2dlem1  20046  gsum2dlem2  20047  gsum2d  20048  gsum2d2lem  20049  dprdfadd  20098  ablfac1eu  20151  pgpfac1lem5  20157  pgpfaclem2  20160  pgpfaclem3  20161  ablfaclem3  20165  prmgrpsimpgd  20192  lcomfsupp  21034  dsmmacl  21902  dsmmsubg  21904  dsmmlss  21905  frlmsslsp  21957  psrbaglecl  22084  psrbagaddcl  22085  psrbagcon  22086  mplcoe5  22202  selvvvval  22304  mhpmulcl  22323  psdmplcl  22336  psdmul  22340  mamures  22565  mdetrlin  22770  mdetrsca  22771  mdetralt  22776  madugsum  22811  fin1aufil  24100  xrge0gsumle  25002  xrge0tsms  25003  fsumcn  25040  rrxcph  25562  rrxmval  25575  i1fadd  25865  i1fmul  25866  i1fmulc  25873  i1fres  25875  mbfi1fseqlem4  25888  itgfsum  25997  dvmptfsum  26145  jensenlem1  27162  jensenlem2  27163  jensen  27164  sgmf  27320  sgmnncl  27322  fsumdvdsdiag  27359  fsumdvdscom  27360  dvdsflsumcom  27363  musum  27366  musumsum  27367  muinv  27368  fsumdvdsmul  27370  perfectlem2  27405  dchrfi  27430  rplogsumlem2  27660  rpvmasumlem  27662  dchrvmasumlem1  27670  dchrisum0ff  27682  dchrisum0  27695  vmalogdivsum2  27713  logsqvma  27717  selberg  27723  selberg34r  27746  pntsval2  27751  pntrlog2bndlem1  27752  onsfi  28560  wwlksnfi  30266  wspthnfi  30279  wspthnonfi  30282  clwwlknfi  30407  qerclwwlknfi  30435  clwlknon2num  30730  numclwlk1lem2  30732  fsuppinisegfi  33043  offinsupp1  33082  fsumiunle  33184  elrgspnlem2  33572  elrgspnlem4  33574  elrgspnsubrunlem2  33577  domnprodeq0  33608  elrspunidl  33745  elrspunsn  33746  rprmdvdsprod  33833  deg1prod  33882  mplidomlem  33926  psrgsum  33947  psrmonprod  33951  esplyfval2  33964  esplymhp  33967  esplyind  33974  esplyindfv  33975  esplyfvn  33976  vieta  33979  exsslsb  33996  fedgmullem1  34028  fldextrspunlsplem  34072  constrfin  34145  hashreprin  35016  reprfi2  35019  hgt750lema  35053  tgoldbachgtde  35056  kardnnfi  35590  aks4d1p4  42874  aks4d1p5  42875  aks4d1p7  42878  aks4d1p8  42882  evl1gprodd  42912  hashscontpowcl  42915  idomnnzgmulnz  42928  deg1gprod  42935  sticksstones3  42943  sticksstones22  42963  aks6d1c6lem5  42972  grpods  42989  unitscyglem1  42990  unitscyglem2  42991  unitscyglem4  42993  unitscyglem5  42994  cantnfub  44076  naddcnff  44117  fprodcnlem  46343  cnrefiisplem  46571  dvmptfprod  46687  dvnprodlem1  46688  sge0uzfsumgt  47186  hoidmvlelem1  47337  hoidmvlelem2  47338  hoidmvlelem3  47339  hoidmvlelem4  47340  hspmbllem1  47368