Theorem ssfid 9159

Description: A subset of a finite set is finite, deduction version of ssfi 9088. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssfid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
ssfid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ssfid	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ssfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		ssfid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		ssfi 9088	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  Fincfn 8875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-om 7803  df-1o 8391  df-en 8876  df-fin 8879

This theorem is referenced by:  ixpfi  9239  fisuppfi  9261  finnzfsuppd  9263  fsuppunbi  9279  ressuppfi  9285  fsuppmptif  9289  fsuppco2  9293  fsuppcor  9294  marypha1lem  9323  wemapso2lem  9444  cantnfp1lem1  9574  pwfseqlem4  10559  hashbclem  14365  hashf1lem2  14369  phphashd  14379  isercolllem2  15579  isercoll  15581  fsum2dlem  15683  fsumcom2  15687  fsumless  15709  fsumabs  15714  fsumrlim  15724  fsumo1  15725  fsumiun  15734  qshash  15740  incexc  15750  incexc2  15751  fprod2dlem  15893  fprodcom2  15897  dvdsfi  16706  4sqlem11  16873  vdwlem11  16909  ramlb  16937  0ram  16938  ramub1lem1  16944  ramub1lem2  16945  prmgaplem4  16972  isstruct2  17066  lagsubg2  19112  lagsubg  19113  orbsta2  19232  symgbasfi  19297  oddvds2  19484  sylow1lem3  19518  sylow1lem4  19519  sylow1lem5  19520  odcau  19522  pgpssslw  19532  sylow2alem2  19536  sylow2a  19537  sylow2blem1  19538  sylow2blem3  19540  slwhash  19542  fislw  19543  sylow2  19544  sylow3lem1  19545  sylow3lem3  19547  sylow3lem4  19548  sylow3lem6  19550  cyggenod  19802  gsumval3lem2  19824  gsumzadd  19840  gsum2dlem1  19888  gsum2dlem2  19889  gsum2d  19890  gsum2d2lem  19891  dprdfadd  19940  ablfac1eu  19993  pgpfac1lem5  19999  pgpfaclem2  20002  pgpfaclem3  20003  ablfaclem3  20007  prmgrpsimpgd  20034  lcomfsupp  20841  dsmmacl  21684  dsmmsubg  21686  dsmmlss  21687  frlmsslsp  21739  psrbaglecl  21866  psrbagaddcl  21867  psrbagcon  21868  mplcoe5  21981  mhpmulcl  22070  psdmplcl  22083  psdmul  22087  mamures  22318  mdetrlin  22523  mdetrsca  22524  mdetralt  22529  madugsum  22564  fin1aufil  23853  xrge0gsumle  24755  xrge0tsms  24756  fsumcn  24794  rrxcph  25325  rrxmval  25338  i1fadd  25629  i1fmul  25630  i1fmulc  25637  i1fres  25639  mbfi1fseqlem4  25652  itgfsum  25761  dvmptfsum  25912  jensenlem1  26930  jensenlem2  26931  jensen  26932  sgmf  27088  sgmnncl  27090  fsumdvdsdiag  27127  fsumdvdscom  27128  dvdsflsumcom  27131  musum  27134  musumsum  27135  muinv  27136  fsumdvdsmul  27138  fsumdvdsmulOLD  27140  perfectlem2  27174  dchrfi  27199  rplogsumlem2  27429  rpvmasumlem  27431  dchrvmasumlem1  27439  dchrisum0ff  27451  dchrisum0  27464  vmalogdivsum2  27482  logsqvma  27486  selberg  27492  selberg34r  27515  pntsval2  27520  pntrlog2bndlem1  27521  onsfi  28289  wwlksnfi  29891  wspthnfi  29904  wspthnonfi  29907  clwwlknfi  30032  qerclwwlknfi  30060  clwlknon2num  30355  numclwlk1lem2  30357  fsuppinisegfi  32675  offinsupp1  32716  hashpss  32798  fsumiunle  32819  elrgspnlem2  33217  elrgspnlem4  33219  elrgspnsubrunlem2  33222  elrspunidl  33400  elrspunsn  33401  rprmdvdsprod  33506  esplymhp  33596  exsslsb  33616  fedgmullem1  33649  fldextrspunlsplem  33693  constrfin  33766  hashreprin  34640  reprfi2  34643  hgt750lema  34677  tgoldbachgtde  34680  aks4d1p4  42178  aks4d1p5  42179  aks4d1p7  42182  aks4d1p8  42186  evl1gprodd  42216  hashscontpowcl  42219  idomnnzgmulnz  42232  deg1gprod  42239  sticksstones3  42247  sticksstones22  42267  aks6d1c6lem5  42276  grpods  42293  unitscyglem1  42294  unitscyglem2  42295  unitscyglem4  42297  unitscyglem5  42298  selvvvval  42684  cantnfub  43419  naddcnff  43460  fprodcnlem  45704  cnrefiisplem  45932  dvmptfprod  46048  dvnprodlem1  46049  sge0uzfsumgt  46547  hoidmvlelem1  46698  hoidmvlelem2  46699  hoidmvlelem3  46700  hoidmvlelem4  46701  hspmbllem1  46729