Theorem ssfid 9273

Description: A subset of a finite set is finite, deduction version of ssfi 9187. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssfid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
ssfid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ssfid	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ssfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		ssfid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		ssfi 9187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  Fincfn 8959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-om 7862  df-1o 8480  df-en 8960  df-fin 8963

This theorem is referenced by:  ixpfi  9361  fisuppfi  9383  finnzfsuppd  9385  fsuppunbi  9401  ressuppfi  9407  fsuppmptif  9411  fsuppco2  9415  fsuppcor  9416  marypha1lem  9445  wemapso2lem  9566  cantnfp1lem1  9692  pwfseqlem4  10676  hashbclem  14470  hashf1lem2  14474  phphashd  14484  isercolllem2  15682  isercoll  15684  fsum2dlem  15786  fsumcom2  15790  fsumless  15812  fsumabs  15817  fsumrlim  15827  fsumo1  15828  fsumiun  15837  qshash  15843  incexc  15853  incexc2  15854  fprod2dlem  15996  fprodcom2  16000  dvdsfi  16808  4sqlem11  16975  vdwlem11  17011  ramlb  17039  0ram  17040  ramub1lem1  17046  ramub1lem2  17047  prmgaplem4  17074  isstruct2  17168  lagsubg2  19177  lagsubg  19178  orbsta2  19297  symgbasfi  19360  oddvds2  19547  sylow1lem3  19581  sylow1lem4  19582  sylow1lem5  19583  odcau  19585  pgpssslw  19595  sylow2alem2  19599  sylow2a  19600  sylow2blem1  19601  sylow2blem3  19603  slwhash  19605  fislw  19606  sylow2  19607  sylow3lem1  19608  sylow3lem3  19610  sylow3lem4  19611  sylow3lem6  19613  cyggenod  19865  gsumval3lem2  19887  gsumzadd  19903  gsum2dlem1  19951  gsum2dlem2  19952  gsum2d  19953  gsum2d2lem  19954  dprdfadd  20003  ablfac1eu  20056  pgpfac1lem5  20062  pgpfaclem2  20065  pgpfaclem3  20066  ablfaclem3  20070  prmgrpsimpgd  20097  lcomfsupp  20859  dsmmacl  21701  dsmmsubg  21703  dsmmlss  21704  frlmsslsp  21756  psrbaglecl  21883  psrbagaddcl  21884  psrbagcon  21885  mplcoe5  21998  mhpmulcl  22087  psdmplcl  22100  psdmul  22104  mamures  22335  mdetrlin  22540  mdetrsca  22541  mdetralt  22546  madugsum  22581  fin1aufil  23870  xrge0gsumle  24773  xrge0tsms  24774  fsumcn  24812  rrxcph  25344  rrxmval  25357  i1fadd  25648  i1fmul  25649  i1fmulc  25656  i1fres  25658  mbfi1fseqlem4  25671  itgfsum  25780  dvmptfsum  25931  jensenlem1  26949  jensenlem2  26950  jensen  26951  sgmf  27107  sgmnncl  27109  fsumdvdsdiag  27146  fsumdvdscom  27147  dvdsflsumcom  27150  musum  27153  musumsum  27154  muinv  27155  fsumdvdsmul  27157  fsumdvdsmulOLD  27159  perfectlem2  27193  dchrfi  27218  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrvmasumlem1  27458  dchrisum0ff  27470  dchrisum0  27483  vmalogdivsum2  27501  logsqvma  27505  selberg  27511  selberg34r  27534  pntsval2  27539  pntrlog2bndlem1  27540  onsfi  28299  wwlksnfi  29888  wspthnfi  29901  wspthnonfi  29904  clwwlknfi  30026  qerclwwlknfi  30054  clwlknon2num  30349  numclwlk1lem2  30351  fsuppinisegfi  32664  offinsupp1  32704  hashpss  32788  fsumiunle  32808  elrgspnlem2  33238  elrgspnlem4  33240  elrgspnsubrunlem2  33243  elrspunidl  33443  elrspunsn  33444  rprmdvdsprod  33549  exsslsb  33636  fedgmullem1  33669  fldextrspunlsplem  33714  constrfin  33780  hashreprin  34652  reprfi2  34655  hgt750lema  34689  tgoldbachgtde  34692  aks4d1p4  42092  aks4d1p5  42093  aks4d1p7  42096  aks4d1p8  42100  evl1gprodd  42130  hashscontpowcl  42133  idomnnzgmulnz  42146  deg1gprod  42153  sticksstones3  42161  sticksstones22  42181  aks6d1c6lem5  42190  grpods  42207  unitscyglem1  42208  unitscyglem2  42209  unitscyglem4  42211  unitscyglem5  42212  selvvvval  42608  cantnfub  43345  naddcnff  43386  fprodcnlem  45628  cnrefiisplem  45858  dvmptfprod  45974  dvnprodlem1  45975  sge0uzfsumgt  46473  hoidmvlelem1  46624  hoidmvlelem2  46625  hoidmvlelem3  46626  hoidmvlelem4  46627  hspmbllem1  46655