MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssfid 8729
Description: A subset of a finite set is finite, deduction version of ssfi 8726. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ssfid.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
ssfid.2 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
ssfid (𝜑𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ssfid
StepHypRef Expression
1 ssfid.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 ssfid.2 . 2 (𝜑𝐵𝐴)
3 ssfi 8726 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wss 3933  Fincfn 8497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-om 7570  df-er 8278  df-en 8498  df-fin 8501
This theorem is referenced by:  ixpfi  8809  fisuppfi  8829  fsuppunbi  8842  ressuppfi  8847  fsuppmptif  8851  fsuppco2  8854  fsuppcor  8855  marypha1lem  8885  wemapso2lem  9004  cantnfp1lem1  9129  pwfseqlem4  10072  hashbclem  13798  hashf1lem2  13802  phphashd  13812  isercolllem2  15010  isercoll  15012  fsum2dlem  15113  fsumcom2  15117  fsumless  15139  fsumabs  15144  fsumrlim  15154  fsumo1  15155  fsumiun  15164  qshash  15170  incexc  15180  incexc2  15181  fprod2dlem  15322  fprodcom2  15326  4sqlem11  16279  vdwlem11  16315  ramlb  16343  0ram  16344  ramub1lem1  16350  ramub1lem2  16351  prmgaplem4  16378  isstruct2  16481  lagsubg2  18279  lagsubg  18280  orbsta2  18382  symgbasfi  18442  oddvds2  18622  sylow1lem3  18654  sylow1lem4  18655  sylow1lem5  18656  odcau  18658  pgpssslw  18668  sylow2alem2  18672  sylow2a  18673  sylow2blem1  18674  sylow2blem3  18676  slwhash  18678  fislw  18679  sylow2  18680  sylow3lem1  18681  sylow3lem3  18683  sylow3lem4  18684  sylow3lem6  18686  cyggenod  18932  gsumval3lem2  18955  gsumzadd  18971  gsum2dlem1  19019  gsum2dlem2  19020  gsum2d  19021  gsum2d2lem  19022  dprdfadd  19071  ablfac1eu  19124  pgpfac1lem5  19130  pgpfaclem2  19133  pgpfaclem3  19134  ablfaclem3  19138  prmgrpsimpgd  19165  lcomfsupp  19603  psrbaglecl  20077  psrbagaddcl  20078  psrbagcon  20079  mplcoe5  20177  dsmmacl  20813  dsmmsubg  20815  dsmmlss  20816  frlmsslsp  20868  mamures  20929  mdetrlin  21139  mdetrsca  21140  mdetralt  21145  madugsum  21180  fin1aufil  22468  xrge0gsumle  23368  xrge0tsms  23369  fsumcn  23405  rrxcph  23922  rrxmval  23935  i1fadd  24223  i1fmul  24224  i1fmulc  24231  i1fres  24233  mbfi1fseqlem4  24246  itgfsum  24354  dvmptfsum  24499  jensenlem1  25491  jensenlem2  25492  jensen  25493  0sgm  25648  sgmf  25649  sgmnncl  25651  fsumdvdsdiag  25688  fsumdvdscom  25689  dvdsflsumcom  25692  musum  25695  musumsum  25696  muinv  25697  fsumdvdsmul  25699  vmasum  25719  perfectlem2  25733  dchrfi  25758  rplogsumlem2  25988  rpvmasumlem  25990  dchrvmasumlem1  25998  dchrisum0ff  26010  dchrisum0  26023  vmalogdivsum2  26041  logsqvma  26045  logsqvma2  26046  selberg  26051  selberg34r  26074  pntsval2  26079  pntrlog2bndlem1  26080  wwlksnfi  27611  wspthnfi  27625  wspthnonfi  27628  clwwlknfi  27750  clwwlknfiOLD  27751  qerclwwlknfi  27779  clwlknon2num  28074  numclwlk1lem2  28076  offinsupp1  30389  fsumiunle  30472  fedgmullem1  30924  hashreprin  31790  reprfi2  31793  hgt750lema  31827  tgoldbachgtde  31830  fprodcnlem  41756  cnrefiisplem  41986  sge0uzfsumgt  42603  hoidmvlelem1  42754  hoidmvlelem2  42755  hoidmvlelem3  42756  hoidmvlelem4  42757  hspmbllem1  42785
  Copyright terms: Public domain W3C validator