Theorem rlim0 15655

Description: Express the predicate 𝐵(𝑧) converges to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlim0.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rlim0	⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem rlim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlim0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2		rlim0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		0cnd 11280	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	rlim2 15643	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥)))
5		subid1 11559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) = 𝐵)
6	5	fveq2d 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
7	6	breq1d 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) < 𝑥))
8	7	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
9	8	ralimi 3100	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
10		ralbi 3118	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
11	1, 9, 10	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
12	11	rexbidv 3187	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
13	12	ralbidv 3186	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
14	4, 13	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  ℝ⁺crp 13101  abscabs 15381   ⇝_𝑟 crli 15632

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11524  df-rlim 15636

This theorem is used by:  o1rlimmul  15766  dvfsumrlim  26331  rlimcxp  27283