Theorem climrlim2 15486

Description: Produce a real limit from an integer limit, where the real function is only dependent on the integer part of 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrlim2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrlim2.2	⊢ (𝑛 = (⌊‘𝑥) → 𝐵 = 𝐶)
climrlim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
climrlim2.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrlim2.5	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷)
climrlim2.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
climrlim2.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
climrlim2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐶,𝑛   𝑥,𝐷   𝑥,𝑛,𝜑   𝑛,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem climrlim2

Dummy variables 𝑗 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrlim2.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷)
2		eluzelz 12827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
3		climrlim2.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleq2s 2852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
5	4	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → 𝑗 ∈ ℤ)
6		climrlim2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7	6	sselda 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	flcld 13758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
9	8	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
10	9	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
11		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → 𝑗 ≤ 𝑥)
12	7	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	12	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		flge 13765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ≤ 𝑥 ↔ 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
15	13, 5, 14	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (𝑗 ≤ 𝑥 ↔ 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
16	11, 15	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥))
17		eluz2 12823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
18	5, 10, 16, 17	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
19		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)
20	19	ralimi 3084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)
21		fveq2 6887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑥) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)))
22	21	fvoveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑥) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) = (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)))
23	22	breq1d 5156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑥) → ((abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦 ↔ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
24	23	rspcv 3607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
25	18, 20, 24	syl2im 40	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
26		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
27		climrlim2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (⌊‘𝑥) → 𝐵 = 𝐶)
28		climrlim2.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29	28	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
30		climrlim2.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑥)
31		flge 13765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
32	7, 29, 31	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
33	30, 32	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥))
34		eluz2 12823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
35	29, 8, 33, 34	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36	35, 3	eleqtrrdi 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ 𝑍)
37	27	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (⌊‘𝑥) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
38		climrlim2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38	ralrimiva 3147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
40	39	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
41	37, 40, 36	rspcdva 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
42	26, 27, 36, 41	fvmptd3 7016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
43	42	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
44	43	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
45	44	fvoveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) = (abs‘(𝐶 − 𝐷)))
46	45	breq1d 5156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → ((abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦))
47	25, 46	sylibd 238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦))
48	47	expr 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑗 ≤ 𝑥 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
49	48	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
50	49	ralrimdva 3155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
51		eluzelre 12828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
52	51, 3	eleq2s 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ)
53	52	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ ℝ)
54	50, 53	jctild 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦))))
55	54	expimpd 455	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦))))
56	55	reximdv2 3165	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
57	56	ralimdva 3168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
58	57	adantld 492	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
59		climrel 15431	. . . . . 6 ⊢ Rel ⇝
60	59	brrelex1i 5729	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V)
61	1, 60	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V)
62		eqidd 2734	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
63	3, 28, 61, 62	clim2 15443	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷 ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦))))
64	41	ralrimiva 3147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
65		climcl 15438	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷 → 𝐷 ∈ ℂ)
66	1, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
67	64, 6, 66	rlim2 15435	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
68	58, 63, 67	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷))
69	1, 68	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  Vcvv 3475   ⊆ wss 3946   class class class wbr 5146   ↦ cmpt 5229  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403  ℂcc 11103  ℝcr 11104   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11439  ℤcz 12553  ℤ_≥cuz 12817  ℝ⁺crp 12969  ⌊cfl 13750  abscabs 15176   ⇝ cli 15423   ⇝_𝑟 crli 15424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-fl 13752  df-clim 15427  df-rlim 15428

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2a  26999