Theorem climrlim2 15622

Description: Produce a real limit from an integer limit, where the real function is only dependent on the integer part of 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrlim2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrlim2.2	⊢ (𝑛 = (⌊‘𝑥) → 𝐵 = 𝐶)
climrlim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
climrlim2.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrlim2.5	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷)
climrlim2.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
climrlim2.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
climrlim2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐶,𝑛   𝑥,𝐷   𝑥,𝑛,𝜑   𝑛,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑛)   𝑀(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem climrlim2

Dummy variables 𝑗 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrlim2.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷)
2		eluzelz 12888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
3		climrlim2.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleq2s 2883	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
5	4	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → 𝑗 ∈ ℤ)
6		climrlim2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7	6	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	flcld 13849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
9	8	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
10	9	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
11		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → 𝑗 ≤ 𝑥)
12	7	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	12	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		flge 13856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ≤ 𝑥 ↔ 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
15	13, 5, 14	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (𝑗 ≤ 𝑥 ↔ 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
16	11, 15	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥))
17		eluz2 12884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
18	5, 10, 16, 17	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
19		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)
20	19	ralimi 3104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)
21		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑥) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)))
22	21	fvoveq1d 7441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑥) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) = (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)))
23	22	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑥) → ((abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦 ↔ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
24	23	rspcv 3579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
25	18, 20, 24	syl2im 41	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
26		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
27		climrlim2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (⌊‘𝑥) → 𝐵 = 𝐶)
28		climrlim2.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29	28	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
30		climrlim2.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑥)
31		flge 13856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
32	7, 29, 31	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
33	30, 32	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥))
34		eluz2 12884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
35	29, 8, 33, 34	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36	35, 3	eleqtrrdi 2876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ 𝑍)
37	27	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (⌊‘𝑥) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
38		climrlim2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38	ralrimiva 3159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
40	39	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
41	37, 40, 36	rspcdva 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
42	26, 27, 36, 41	fvmptd3 7017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
43	42	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
44	43	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
45	44	fvoveq1d 7441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) = (abs‘(𝐶 − 𝐷)))
46	45	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → ((abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦))
47	25, 46	sylibd 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦))
48	47	expr 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑗 ≤ 𝑥 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
49	48	com23 87	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
50	49	ralrimdva 3167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
51		eluzelre 12889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
52	51, 3	eleq2s 2883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ)
53	52	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ ℝ)
54	50, 53	jctild 535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦))))
55	54	expimpd 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦))))
56	55	reximdv2 3177	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
57	56	ralimdva 3179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
58	57	adantld 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
59		climrel 15567	. . . . . 6 ⊢ Rel ⇝
60	59	brrelex1i 5719	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V)
61	1, 60	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V)
62		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
63	3, 28, 61, 62	clim2 15579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷 ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦))))
64	41	ralrimiva 3159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
65		climcl 15574	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷 → 𝐷 ∈ ℂ)
66	1, 65	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
67	64, 6, 66	rlim2 15571	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
68	58, 63, 67	3imtr4d 297	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷))
69	1, 68	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114   < clt 11258   ≤ cle 11259   − cmin 11456  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13032  ⌊cfl 13841  abscabs 15309   ⇝ cli 15559   ⇝_𝑟 crli 15560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fl 13843  df-clim 15563  df-rlim 15564

This theorem is used by:  dchrisum0lem2a  27732