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Theorem climrlim2 15491
Description: Produce a real limit from an integer limit, where the real function is only dependent on the integer part of 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climrlim2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climrlim2.2 (𝑛 = (⌊‘𝑥) → 𝐵 = 𝐶)
climrlim2.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
climrlim2.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climrlim2.5 (𝜑 → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐷)
climrlim2.6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
climrlim2.7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝑥)
Assertion
Ref Expression
climrlim2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐶,𝑛   𝑥,𝐷   𝑥,𝑛,𝜑   𝑛,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem climrlim2
Dummy variables 𝑗 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrlim2.5 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐷)
2 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
3 climrlim2.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleq2s 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
54ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → 𝑗 ∈ ℤ)
6 climrlim2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
76sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
87flcld 13763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
98adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
109ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
11 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → 𝑗𝑥)
127adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
1312ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 flge 13770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗𝑥𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
1513, 5, 14syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (𝑗𝑥𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
1611, 15mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥))
17 eluz2 12828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ𝑗) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
185, 10, 16, 17syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ𝑗))
19 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)
2019ralimi 3084 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)
21 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (⌊‘𝑥) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)))
2221fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘𝑥) → (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) = (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)))
2322breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘𝑥) → ((abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦 ↔ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
2423rspcv 3609 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
2518, 20, 24syl2im 40 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
26 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍𝐵)
27 climrlim2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (⌊‘𝑥) → 𝐵 = 𝐶)
28 climrlim2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2928adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
30 climrlim2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝑥)
31 flge 13770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑥𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
327, 29, 31syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑀𝑥𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
3330, 32mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥))
34 eluz2 12828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
3529, 8, 33, 34syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
3635, 3eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ 𝑍)
3727eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (⌊‘𝑥) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
38 climrlim2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
3938ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
4039adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑛𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
4137, 40, 36rspcdva 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
4226, 27, 36, 41fvmptd3 7022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
4342adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
4443ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → ((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
4544fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) = (abs‘(𝐶𝐷)))
4645breq1d 5159 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → ((abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦))
4725, 46sylibd 238 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦))
4847expr 458 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑗𝑥 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
4948com23 86 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
5049ralrimdva 3155 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
51 eluzelre 12833 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
5251, 3eleq2s 2852 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℝ)
5352adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ ℝ)
5450, 53jctild 527 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦))))
5554expimpd 455 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦))))
5655reximdv2 3165 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
5756ralimdva 3168 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
5857adantld 492 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
59 climrel 15436 . . . . . 6 Rel ⇝
6059brrelex1i 5733 . . . . 5 ((𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐷 → (𝑛𝑍𝐵) ∈ V)
611, 60syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑍𝐵) ∈ V)
62 eqidd 2734 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
633, 28, 61, 62clim2 15448 . . 3 (𝜑 → ((𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐷 ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦))))
6441ralrimiva 3147 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
65 climcl 15443 . . . . 5 ((𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐷𝐷 ∈ ℂ)
661, 65syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
6764, 6, 66rlim2 15440 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
6858, 63, 673imtr4d 294 . 2 (𝜑 → ((𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐷 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷))
691, 68mpd 15 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  wss 3949   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6544  (class class class)co 7409  cc 11108  cr 11109   < clt 11248  cle 11249  cmin 11444  cz 12558  cuz 12822  +crp 12974  cfl 13755  abscabs 15181  cli 15428  𝑟 crli 15429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fl 13757  df-clim 15432  df-rlim 15433
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2a  27020
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