Theorem climrlim2 15503

Description: Produce a real limit from an integer limit, where the real function is only dependent on the integer part of 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrlim2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrlim2.2	⊢ (𝑛 = (⌊‘𝑥) → 𝐵 = 𝐶)
climrlim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
climrlim2.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrlim2.5	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷)
climrlim2.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
climrlim2.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
climrlim2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐶,𝑛   𝑥,𝐷   𝑥,𝑛,𝜑   𝑛,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem climrlim2

Dummy variables 𝑗 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrlim2.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷)
2		eluzelz 12792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
3		climrlim2.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleq2s 2855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
5	4	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → 𝑗 ∈ ℤ)
6		climrlim2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7	6	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	flcld 13751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
9	8	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
10	9	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
11		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → 𝑗 ≤ 𝑥)
12	7	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	12	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		flge 13758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ≤ 𝑥 ↔ 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
15	13, 5, 14	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (𝑗 ≤ 𝑥 ↔ 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
16	11, 15	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥))
17		eluz2 12788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
18	5, 10, 16, 17	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)
20	19	ralimi 3075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)
21		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑥) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)))
22	21	fvoveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑥) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) = (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)))
23	22	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑥) → ((abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦 ↔ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
24	23	rspcv 3561	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
25	18, 20, 24	syl2im 40	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
26		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
27		climrlim2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (⌊‘𝑥) → 𝐵 = 𝐶)
28		climrlim2.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
30		climrlim2.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑥)
31		flge 13758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
32	7, 29, 31	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
33	30, 32	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥))
34		eluz2 12788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
35	29, 8, 33, 34	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36	35, 3	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ 𝑍)
37	27	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (⌊‘𝑥) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
38		climrlim2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
41	37, 40, 36	rspcdva 3566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
42	26, 27, 36, 41	fvmptd3 6966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
43	42	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
44	43	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
45	44	fvoveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) = (abs‘(𝐶 − 𝐷)))
46	45	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → ((abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦))
47	25, 46	sylibd 239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦))
48	47	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑗 ≤ 𝑥 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
49	48	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
50	49	ralrimdva 3138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
51		eluzelre 12793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
52	51, 3	eleq2s 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ ℝ)
54	50, 53	jctild 525	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦))))
55	54	expimpd 453	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦))))
56	55	reximdv2 3148	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
57	56	ralimdva 3150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
58	57	adantld 490	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
59		climrel 15448	. . . . . 6 ⊢ Rel ⇝
60	59	brrelex1i 5681	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V)
61	1, 60	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V)
62		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
63	3, 28, 61, 62	clim2 15460	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷 ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦))))
64	41	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
65		climcl 15455	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷 → 𝐷 ∈ ℂ)
66	1, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
67	64, 6, 66	rlim2 15452	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
68	58, 63, 67	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷))
69	1, 68	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031   < clt 11173   ≤ cle 11174   − cmin 11371  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  ℝ⁺crp 12936  ⌊cfl 13743  abscabs 15190   ⇝ cli 15440   ⇝_𝑟 crli 15441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fl 13745  df-clim 15444  df-rlim 15445

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2a  27497