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Theorem climrlim2 14892
Description: Produce a real limit from an integer limit, where the real function is only dependent on the integer part of 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climrlim2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climrlim2.2 (𝑛 = (⌊‘𝑥) → 𝐵 = 𝐶)
climrlim2.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
climrlim2.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climrlim2.5 (𝜑 → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐷)
climrlim2.6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
climrlim2.7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝑥)
Assertion
Ref Expression
climrlim2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐶,𝑛   𝑥,𝐷   𝑥,𝑛,𝜑   𝑛,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem climrlim2
Dummy variables 𝑗 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrlim2.5 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐷)
2 eluzelz 12241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
3 climrlim2.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleq2s 2928 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
54ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → 𝑗 ∈ ℤ)
6 climrlim2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
76sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
87flcld 13156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
98adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
109ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
11 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → 𝑗𝑥)
127adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
1312ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 flge 13163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗𝑥𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
1513, 5, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (𝑗𝑥𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
1611, 15mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥))
17 eluz2 12237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ𝑗) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
185, 10, 16, 17syl3anbrc 1335 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ𝑗))
19 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)
2019ralimi 3157 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)
21 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (⌊‘𝑥) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)))
2221fvoveq1d 7167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘𝑥) → (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) = (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)))
2322breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘𝑥) → ((abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦 ↔ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
2423rspcv 3615 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
2518, 20, 24syl2im 40 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
26 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍𝐵)
27 climrlim2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (⌊‘𝑥) → 𝐵 = 𝐶)
28 climrlim2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
30 climrlim2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝑥)
31 flge 13163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑥𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
327, 29, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑀𝑥𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
3330, 32mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥))
34 eluz2 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
3529, 8, 33, 34syl3anbrc 1335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
3635, 3eleqtrrdi 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ 𝑍)
3727eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (⌊‘𝑥) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
38 climrlim2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
3938ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑛𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
4137, 40, 36rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
4226, 27, 36, 41fvmptd3 6783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
4342adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
4443ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → ((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
4544fvoveq1d 7167 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) = (abs‘(𝐶𝐷)))
4645breq1d 5067 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → ((abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦))
4725, 46sylibd 240 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦))
4847expr 457 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑗𝑥 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
4948com23 86 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
5049ralrimdva 3186 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
51 eluzelre 12242 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
5251, 3eleq2s 2928 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℝ)
5352adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ ℝ)
5450, 53jctild 526 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦))))
5554expimpd 454 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦))))
5655reximdv2 3268 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
5756ralimdva 3174 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
5857adantld 491 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
59 climrel 14837 . . . . . 6 Rel ⇝
6059brrelex1i 5601 . . . . 5 ((𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐷 → (𝑛𝑍𝐵) ∈ V)
611, 60syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑍𝐵) ∈ V)
62 eqidd 2819 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
633, 28, 61, 62clim2 14849 . . 3 (𝜑 → ((𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐷 ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦))))
6441ralrimiva 3179 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
65 climcl 14844 . . . . 5 ((𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐷𝐷 ∈ ℂ)
661, 65syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
6764, 6, 66rlim2 14841 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
6858, 63, 673imtr4d 295 . 2 (𝜑 → ((𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐷 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷))
691, 68mpd 15 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  cfl 13148  abscabs 14581  cli 14829  𝑟 crli 14830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fl 13150  df-clim 14833  df-rlim 14834
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2a  26020
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