Theorem climrlim2 15454

Description: Produce a real limit from an integer limit, where the real function is only dependent on the integer part of 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrlim2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrlim2.2	⊢ (𝑛 = (⌊‘𝑥) → 𝐵 = 𝐶)
climrlim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
climrlim2.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrlim2.5	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷)
climrlim2.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
climrlim2.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
climrlim2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐶,𝑛   𝑥,𝐷   𝑥,𝑛,𝜑   𝑛,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem climrlim2

Dummy variables 𝑗 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrlim2.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷)
2		eluzelz 12745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
3		climrlim2.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleq2s 2846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
5	4	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → 𝑗 ∈ ℤ)
6		climrlim2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7	6	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	flcld 13702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
9	8	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
10	9	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
11		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → 𝑗 ≤ 𝑥)
12	7	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	12	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		flge 13709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ≤ 𝑥 ↔ 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
15	13, 5, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (𝑗 ≤ 𝑥 ↔ 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
16	11, 15	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥))
17		eluz2 12741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
18	5, 10, 16, 17	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)
20	19	ralimi 3066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)
21		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑥) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)))
22	21	fvoveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑥) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) = (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)))
23	22	breq1d 5102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (⌊‘𝑥) → ((abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦 ↔ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
24	23	rspcv 3573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
25	18, 20, 24	syl2im 40	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
26		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
27		climrlim2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (⌊‘𝑥) → 𝐵 = 𝐶)
28		climrlim2.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
30		climrlim2.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑥)
31		flge 13709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
32	7, 29, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
33	30, 32	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥))
34		eluz2 12741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
35	29, 8, 33, 34	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36	35, 3	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ 𝑍)
37	27	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (⌊‘𝑥) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
38		climrlim2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	38	ralrimiva 3121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
41	37, 40, 36	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
42	26, 27, 36, 41	fvmptd3 6953	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
43	42	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
44	43	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
45	44	fvoveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) = (abs‘(𝐶 − 𝐷)))
46	45	breq1d 5102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → ((abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦))
47	25, 46	sylibd 239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ≤ 𝑥)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦))
48	47	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑗 ≤ 𝑥 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
49	48	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
50	49	ralrimdva 3129	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
51		eluzelre 12746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
52	51, 3	eleq2s 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ ℝ)
54	50, 53	jctild 525	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦))))
55	54	expimpd 453	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦))))
56	55	reximdv2 3139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
57	56	ralimdva 3141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
58	57	adantld 490	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
59		climrel 15399	. . . . . 6 ⊢ Rel ⇝
60	59	brrelex1i 5675	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V)
61	1, 60	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ V)
62		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))
63	3, 28, 61, 62	clim2 15411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷 ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦))))
64	41	ralrimiva 3121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
65		climcl 15406	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷 → 𝐷 ∈ ℂ)
66	1, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
67	64, 6, 66	rlim2 15403	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < 𝑦)))
68	58, 63, 67	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷))
69	1, 68	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ℝ⁺crp 12893  ⌊cfl 13694  abscabs 15141   ⇝ cli 15391   ⇝_𝑟 crli 15392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fl 13696  df-clim 15395  df-rlim 15396

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2a  27426