MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim2lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlim2lt 14847
Description: Use strictly less-than in place of less equal in the real limit predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
rlim2.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
rlim2lt (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem rlim2lt
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2 rlim2.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 rlim2.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
41, 2, 3rlim2 14846 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
5 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
76sselda 3970 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
8 ltle 10721 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑧𝑦𝑧))
95, 7, 8syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < 𝑧𝑦𝑧))
109imim1d 82 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
1110ralimdva 3181 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
122, 11sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
1312reximdva 3278 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
1413ralimdv 3182 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
154, 14sylbid 241 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
16 peano2re 10805 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
1716adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
18 ltp1 11472 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
1918ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
2016ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
21 ltletr 10724 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
225, 20, 7, 21syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
2319, 22mpand 691 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧𝑦 < 𝑧))
2423imim1d 82 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
2524ralimdva 3181 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
262, 25sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
27 breq1 5065 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑤𝑧 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧))
2827rspceaimv 3631 . . . . . 6 (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥))
2917, 26, 28syl6an 680 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3029rexlimdva 3288 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3130ralimdv 3182 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
321, 2, 3rlim2 14846 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3331, 32sylibrd 260 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶))
3415, 33impbid 213 1 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2107  wral 3142  wrex 3143  wss 3939   class class class wbr 5062  cmpt 5142  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  +crp 12382  abscabs 14586  𝑟 crli 14835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8282  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-rlim 14839
This theorem is referenced by:  rlim0lt  14859  rlimcnp  25457  xrlimcnp  25460
  Copyright terms: Public domain W3C validator