Theorem rlim2lt 15418

Description: Use strictly less-than in place of less equal in the real limit predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlim2.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
rlim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
rlim2lt	⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem rlim2lt

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlim2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2		rlim2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		rlim2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	rlim2 15417	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
5		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7	6	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
8		ltle 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑧 → 𝑦 ≤ 𝑧))
9	5, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 < 𝑧 → 𝑦 ≤ 𝑧))
10	9	imim1d 82	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
11	10	ralimdva 3146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
12	2, 11	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
13	12	reximdva 3147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
14	13	ralimdv 3148	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
15	4, 14	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
16		peano2re 11304	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
18		ltp1 11979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
19	18	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
20	16	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
21		ltletr 11223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
22	5, 20, 7, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
23	19, 22	mpand 695	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑦 < 𝑧))
24	23	imim1d 82	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
25	24	ralimdva 3146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
26	2, 25	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
27		breq1 5099	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧))
28	27	rspceaimv 3580	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥))
29	17, 26, 28	syl6an 684	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
30	29	rexlimdva 3135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
31	30	ralimdv 3148	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
32	1, 2, 3	rlim2 15417	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
33	31, 32	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶))
34	15, 33	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℝcr 11023  1c1 11025   + caddc 11027   < clt 11164   ≤ cle 11165   − cmin 11362  ℝ⁺crp 12903  abscabs 15155   ⇝_𝑟 crli 15406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-rlim 15410

This theorem is referenced by:  rlim0lt  15430  rlimcnp  26929  xrlimcnp  26932