MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim2lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlim2lt 15530
Description: Use strictly less-than in place of less equal in the real limit predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
rlim2.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
rlim2lt (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem rlim2lt
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2 rlim2.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 rlim2.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
41, 2, 3rlim2 15529 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
5 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
76sselda 3995 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
8 ltle 11347 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑧𝑦𝑧))
95, 7, 8syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < 𝑧𝑦𝑧))
109imim1d 82 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
1110ralimdva 3165 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
122, 11sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
1312reximdva 3166 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
1413ralimdv 3167 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
154, 14sylbid 240 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
16 peano2re 11432 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
18 ltp1 12105 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
1918ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
2016ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
21 ltletr 11351 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
225, 20, 7, 21syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
2319, 22mpand 695 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧𝑦 < 𝑧))
2423imim1d 82 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
2524ralimdva 3165 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
262, 25sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
27 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑤𝑧 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧))
2827rspceaimv 3628 . . . . . 6 (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥))
2917, 26, 28syl6an 684 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3029rexlimdva 3153 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3130ralimdv 3167 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
321, 2, 3rlim2 15529 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3331, 32sylibrd 259 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶))
3415, 33impbid 212 1 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  +crp 13032  abscabs 15270  𝑟 crli 15518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-rlim 15522
This theorem is referenced by:  rlim0lt  15542  rlimcnp  27023  xrlimcnp  27026
  Copyright terms: Public domain W3C validator