Theorem rlim2lt 15448

Description: Use strictly less-than in place of less equal in the real limit predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlim2.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
rlim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
rlim2lt	⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem rlim2lt

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlim2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2		rlim2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		rlim2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	rlim2 15447	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
5		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7	6	sselda 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
8		ltle 11309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑧 → 𝑦 ≤ 𝑧))
9	5, 7, 8	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 < 𝑧 → 𝑦 ≤ 𝑧))
10	9	imim1d 82	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
11	10	ralimdva 3166	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
12	2, 11	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
13	12	reximdva 3167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
14	13	ralimdv 3168	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
15	4, 14	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
16		peano2re 11394	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
18		ltp1 12061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
19	18	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
20	16	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
21		ltletr 11313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
22	5, 20, 7, 21	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
23	19, 22	mpand 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑦 < 𝑧))
24	23	imim1d 82	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
25	24	ralimdva 3166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
26	2, 25	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
27		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧))
28	27	rspceaimv 3617	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥))
29	17, 26, 28	syl6an 681	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
30	29	rexlimdva 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
31	30	ralimdv 3168	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
32	1, 2, 3	rlim2 15447	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
33	31, 32	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶))
34	15, 33	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115  1c1 11117   + caddc 11119   < clt 11255   ≤ cle 11256   − cmin 11451  ℝ⁺crp 12981  abscabs 15188   ⇝_𝑟 crli 15436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-rlim 15440

This theorem is referenced by:  rlim0lt  15460  rlimcnp  26811  xrlimcnp  26814