Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim2lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlim2lt 14902
 Description: Use strictly less-than in place of less equal in the real limit predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
rlim2.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
rlim2lt (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem rlim2lt
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2 rlim2.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 rlim2.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
41, 2, 3rlim2 14901 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
5 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
76sselda 3892 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
8 ltle 10767 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑧𝑦𝑧))
95, 7, 8syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < 𝑧𝑦𝑧))
109imim1d 82 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
1110ralimdva 3108 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
122, 11sylan 583 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
1312reximdva 3198 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
1413ralimdv 3109 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
154, 14sylbid 243 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
16 peano2re 10851 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
1716adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
18 ltp1 11518 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
1918ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
2016ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
21 ltletr 10770 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
225, 20, 7, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
2319, 22mpand 694 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧𝑦 < 𝑧))
2423imim1d 82 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
2524ralimdva 3108 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
262, 25sylan 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
27 breq1 5035 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑤𝑧 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧))
2827rspceaimv 3546 . . . . . 6 (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥))
2917, 26, 28syl6an 683 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3029rexlimdva 3208 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3130ralimdv 3109 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
321, 2, 3rlim2 14901 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3331, 32sylibrd 262 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶))
3415, 33impbid 215 1 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3858   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  ℝcr 10574  1c1 10576   + caddc 10578   < clt 10713   ≤ cle 10714   − cmin 10908  ℝ+crp 12430  abscabs 14641   ⇝𝑟 crli 14890 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8299  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-rlim 14894 This theorem is referenced by:  rlim0lt  14914  rlimcnp  25650  xrlimcnp  25653
 Copyright terms: Public domain W3C validator