MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim2lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlim2lt 15533
Description: Use strictly less-than in place of less equal in the real limit predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
rlim2.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
rlim2lt (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem rlim2lt
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2 rlim2.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 rlim2.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
41, 2, 3rlim2 15532 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
5 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
76sselda 3983 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
8 ltle 11349 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑧𝑦𝑧))
95, 7, 8syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < 𝑧𝑦𝑧))
109imim1d 82 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
1110ralimdva 3167 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
122, 11sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
1312reximdva 3168 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
1413ralimdv 3169 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
154, 14sylbid 240 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
16 peano2re 11434 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
18 ltp1 12107 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
1918ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
2016ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
21 ltletr 11353 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
225, 20, 7, 21syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
2319, 22mpand 695 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧𝑦 < 𝑧))
2423imim1d 82 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
2524ralimdva 3167 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
262, 25sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
27 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑤𝑧 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧))
2827rspceaimv 3628 . . . . . 6 (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥))
2917, 26, 28syl6an 684 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3029rexlimdva 3155 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3130ralimdv 3169 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
321, 2, 3rlim2 15532 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3331, 32sylibrd 259 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶))
3415, 33impbid 212 1 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  +crp 13034  abscabs 15273  𝑟 crli 15521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-rlim 15525
This theorem is referenced by:  rlim0lt  15545  rlimcnp  27008  xrlimcnp  27011
  Copyright terms: Public domain W3C validator