Theorem rlim3 15709

Description: Restrict the range of the domain bound to reals greater than some 𝐷 ∈ ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlim2.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
rlim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
rlim3.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rlim3	⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝐷,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem rlim3

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlim2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2		rlim2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		rlim2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	rlim2 15707	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
5		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
6		rlim3.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
8	5, 7	ifcld 4532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ)
9		max1 13355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
10	6, 9	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
11		elicopnf 13616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))))
12	7, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))))
13	8, 10, 12	mpbir2and 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞))
14	2, 6	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
15		max2 13357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
16	15	ad4ant23 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
17		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
18		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ)
19	17, 18	ifcld 4532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ)
20		simpll 779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
21	20	sselda 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
22		letr 11443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∧ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧) → 𝑤 ≤ 𝑧))
23	17, 19, 21, 22	syl3anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∧ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧) → 𝑤 ≤ 𝑧))
24	16, 23	mpand 708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → 𝑤 ≤ 𝑧))
25	24	imim1d 83	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
26	25	ralimdva 3178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
27	14, 26	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
28		breq1 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧))
29	28	rspceaimv 3586	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥))
30	13, 27, 29	syl6an 697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
31	30	rexlimdva 3167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
32	31	ralimdv 3180	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
33	4, 32	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
34		pnfxr 11402	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
35		icossre 13599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ)
36	6, 34, 35	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ)
37		ssrexv 3983	. . . . 5 ⊢ ((𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
38	36, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
39	38	ralimdv 3180	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
40	1, 2, 3	rlim2 15707	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
41	39, 40	sylibrd 262	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶))
42	33, 41	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ifcif 4485   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℝ⁺crp 13160  [,)cico 13518  abscabs 15444   ⇝_𝑟 crli 15696

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-ico 13522  df-rlim 15700

This theorem is used by:  rlimresb  15776  rlimsqzlem  15860  rlimcnp  27350  signsply0  35291