MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlim3 15393
Description: Restrict the range of the domain bound to reals greater than some 𝐷 ∈ ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
rlim2.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
rlim3.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rlim3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝐷,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem rlim3
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2 rlim2.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 rlim2.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
41, 2, 3rlim2 15391 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
5 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
6 rlim3.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
76adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
85, 7ifcld 4538 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ)
9 max1 13115 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))
106, 9sylan 581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))
11 elicopnf 13373 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ → (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))))
127, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))))
138, 10, 12mpbir2and 712 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞))
142, 6jca 513 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
15 max2 13117 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))
1615ad4ant23 752 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑤 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))
17 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
18 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ)
1917, 18ifcld 4538 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ)
20 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2120sselda 3948 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
22 letr 11259 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑤 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∧ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧) → 𝑤𝑧))
2317, 19, 21, 22syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑤 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∧ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧) → 𝑤𝑧))
2416, 23mpand 694 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧𝑤𝑧))
2524imim1d 82 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
2625ralimdva 3161 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
2714, 26sylan 581 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
28 breq1 5114 . . . . . . 7 (𝑦 = if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) → (𝑦𝑧 ↔ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧))
2928rspceaimv 3587 . . . . . 6 ((if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ∧ ∀𝑧𝐴 (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥))
3013, 27, 29syl6an 683 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3130rexlimdva 3149 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3231ralimdv 3163 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
334, 32sylbid 239 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
34 pnfxr 11219 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
35 icossre 13356 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ)
366, 34, 35sylancl 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ)
37 ssrexv 4017 . . . . 5 ((𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3836, 37syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3938ralimdv 3163 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
401, 2, 3rlim2 15391 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
4139, 40sylibrd 259 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶))
4233, 41impbid 211 1 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  wss 3914  ifcif 4492   class class class wbr 5111  cmpt 5194  cfv 6502  (class class class)co 7363  cc 11059  cr 11060  +∞cpnf 11196  *cxr 11198   < clt 11199  cle 11200  cmin 11395  +crp 12925  [,)cico 13277  abscabs 15132  𝑟 crli 15380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4872  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-id 5537  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8656  df-pm 8776  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-ico 13281  df-rlim 15384
This theorem is referenced by:  rlimresb  15460  rlimsqzlem  15546  rlimcnp  26353  signsply0  33253
  Copyright terms: Public domain W3C validator