MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlim3 15380
Description: Restrict the range of the domain bound to reals greater than some 𝐷 ∈ ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
rlim2.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
rlim3.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rlim3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝐷,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem rlim3
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2 rlim2.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 rlim2.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
41, 2, 3rlim2 15378 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
5 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
6 rlim3.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
76adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
85, 7ifcld 4532 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ)
9 max1 13104 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))
106, 9sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))
11 elicopnf 13362 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ → (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))))
127, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))))
138, 10, 12mpbir2and 711 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞))
142, 6jca 512 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
15 max2 13106 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))
1615ad4ant23 751 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑤 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))
17 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
18 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ)
1917, 18ifcld 4532 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ)
20 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2120sselda 3944 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
22 letr 11249 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑤 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∧ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧) → 𝑤𝑧))
2317, 19, 21, 22syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑤 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∧ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧) → 𝑤𝑧))
2416, 23mpand 693 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧𝑤𝑧))
2524imim1d 82 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
2625ralimdva 3164 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
2714, 26sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
28 breq1 5108 . . . . . . 7 (𝑦 = if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) → (𝑦𝑧 ↔ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧))
2928rspceaimv 3585 . . . . . 6 ((if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ∧ ∀𝑧𝐴 (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥))
3013, 27, 29syl6an 682 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3130rexlimdva 3152 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3231ralimdv 3166 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
334, 32sylbid 239 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
34 pnfxr 11209 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
35 icossre 13345 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ)
366, 34, 35sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ)
37 ssrexv 4011 . . . . 5 ((𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3836, 37syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3938ralimdv 3166 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
401, 2, 3rlim2 15378 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
4139, 40sylibrd 258 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶))
4233, 41impbid 211 1 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  +crp 12915  [,)cico 13266  abscabs 15119  𝑟 crli 15367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-ico 13270  df-rlim 15371
This theorem is referenced by:  rlimresb  15447  rlimsqzlem  15533  rlimcnp  26315  signsply0  33163
  Copyright terms: Public domain W3C validator