Theorem rlim3 15466

Description: Restrict the range of the domain bound to reals greater than some 𝐷 ∈ ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlim2.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
rlim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
rlim3.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rlim3	⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝐷,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem rlim3

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlim2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2		rlim2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		rlim2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	rlim2 15464	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
5		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
6		rlim3.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
8	5, 7	ifcld 4570	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ)
9		max1 13188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
10	6, 9	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
11		elicopnf 13446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))))
12	7, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))))
13	8, 10, 12	mpbir2and 712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞))
14	2, 6	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
15		max2 13190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
16	15	ad4ant23 752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
17		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
18		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ)
19	17, 18	ifcld 4570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ)
20		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
21	20	sselda 3978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
22		letr 11330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∧ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧) → 𝑤 ≤ 𝑧))
23	17, 19, 21, 22	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∧ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧) → 𝑤 ≤ 𝑧))
24	16, 23	mpand 694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → 𝑤 ≤ 𝑧))
25	24	imim1d 82	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
26	25	ralimdva 3162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
27	14, 26	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
28		breq1 5145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧))
29	28	rspceaimv 3613	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥))
30	13, 27, 29	syl6an 683	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
31	30	rexlimdva 3150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
32	31	ralimdv 3164	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
33	4, 32	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
34		pnfxr 11290	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
35		icossre 13429	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ)
36	6, 34, 35	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ)
37		ssrexv 4047	. . . . 5 ⊢ ((𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
39	38	ralimdv 3164	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
40	1, 2, 3	rlim2 15464	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
41	39, 40	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶))
42	33, 41	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3944  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11128  ℝcr 11129  +∞cpnf 11267  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11466  ℝ⁺crp 12998  [,)cico 13350  abscabs 15205   ⇝_𝑟 crli 15453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-ico 13354  df-rlim 15457

This theorem is referenced by:  rlimresb  15533  rlimsqzlem  15619  rlimcnp  26884  signsply0  34119