MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlim3 15439
Description: Restrict the range of the domain bound to reals greater than some 𝐷 ∈ ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
rlim2.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
rlim3.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rlim3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝐷,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem rlim3
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2 rlim2.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 rlim2.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
41, 2, 3rlim2 15437 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
5 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
6 rlim3.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
85, 7ifcld 4566 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ)
9 max1 13161 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))
106, 9sylan 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))
11 elicopnf 13419 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ → (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))))
127, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))))
138, 10, 12mpbir2and 710 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞))
142, 6jca 511 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
15 max2 13163 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))
1615ad4ant23 750 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑤 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷))
17 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
18 simpllr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ)
1917, 18ifcld 4566 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ)
20 simpll 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2120sselda 3974 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
22 letr 11305 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑤 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∧ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧) → 𝑤𝑧))
2317, 19, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑤 ≤ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∧ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧) → 𝑤𝑧))
2416, 23mpand 692 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧𝑤𝑧))
2524imim1d 82 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
2625ralimdva 3159 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
2714, 26sylan 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧𝐴 (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
28 breq1 5141 . . . . . . 7 (𝑦 = if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) → (𝑦𝑧 ↔ if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧))
2928rspceaimv 3609 . . . . . 6 ((if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ∧ ∀𝑧𝐴 (if(𝐷𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥))
3013, 27, 29syl6an 681 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3130rexlimdva 3147 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3231ralimdv 3161 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
334, 32sylbid 239 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
34 pnfxr 11265 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
35 icossre 13402 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ)
366, 34, 35sylancl 585 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ)
37 ssrexv 4043 . . . . 5 ((𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3836, 37syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
3938ralimdv 3161 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
401, 2, 3rlim2 15437 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
4139, 40sylibrd 259 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶))
4233, 41impbid 211 1 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2098  wral 3053  wrex 3062  wss 3940  ifcif 4520   class class class wbr 5138  cmpt 5221  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11104  cr 11105  +∞cpnf 11242  *cxr 11244   < clt 11245  cle 11246  cmin 11441  +crp 12971  [,)cico 13323  abscabs 15178  𝑟 crli 15426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-ico 13327  df-rlim 15430
This theorem is referenced by:  rlimresb  15506  rlimsqzlem  15592  rlimcnp  26813  signsply0  34051
  Copyright terms: Public domain W3C validator