Theorem rlim3 15207

Description: Restrict the range of the domain bound to reals greater than some 𝐷 ∈ ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlim2.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
rlim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
rlim3.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rlim3	⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝐷,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem rlim3

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlim2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2		rlim2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		rlim2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	rlim2 15205	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
5		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
6		rlim3.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
8	5, 7	ifcld 4505	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ)
9		max1 12919	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
10	6, 9	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
11		elicopnf 13177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))))
12	7, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))))
13	8, 10, 12	mpbir2and 710	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞))
14	2, 6	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
15		max2 12921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
16	15	ad4ant23 750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
17		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
18		simpllr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ)
19	17, 18	ifcld 4505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ)
20		simpll 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
21	20	sselda 3921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
22		letr 11069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∧ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧) → 𝑤 ≤ 𝑧))
23	17, 19, 21, 22	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∧ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧) → 𝑤 ≤ 𝑧))
24	16, 23	mpand 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → 𝑤 ≤ 𝑧))
25	24	imim1d 82	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
26	25	ralimdva 3108	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
27	14, 26	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
28		breq1 5077	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧))
29	28	rspceaimv 3565	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥))
30	13, 27, 29	syl6an 681	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
31	30	rexlimdva 3213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
32	31	ralimdv 3109	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
33	4, 32	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
34		pnfxr 11029	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
35		icossre 13160	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ)
36	6, 34, 35	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ)
37		ssrexv 3988	. . . . 5 ⊢ ((𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
39	38	ralimdv 3109	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
40	1, 2, 3	rlim2 15205	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
41	39, 40	sylibrd 258	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶))
42	33, 41	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℝ⁺crp 12730  [,)cico 13081  abscabs 14945   ⇝_𝑟 crli 15194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-ico 13085  df-rlim 15198

This theorem is referenced by:  rlimresb  15274  rlimsqzlem  15360  rlimcnp  26115  signsply0  32530