Theorem rlim3 15442

Description: Restrict the range of the domain bound to reals greater than some 𝐷 ∈ ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlim2.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
rlim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
rlim3.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rlim3	⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝐷,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem rlim3

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlim2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2		rlim2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		rlim2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	rlim2 15440	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
5		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
6		rlim3.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	6	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
8	5, 7	ifcld 4575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ)
9		max1 13164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
10	6, 9	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
11		elicopnf 13422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))))
12	7, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))))
13	8, 10, 12	mpbir2and 712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞))
14	2, 6	jca 513	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
15		max2 13166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
16	15	ad4ant23 752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
17		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
18		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ)
19	17, 18	ifcld 4575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ)
20		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
21	20	sselda 3983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
22		letr 11308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∧ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧) → 𝑤 ≤ 𝑧))
23	17, 19, 21, 22	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∧ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧) → 𝑤 ≤ 𝑧))
24	16, 23	mpand 694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → 𝑤 ≤ 𝑧))
25	24	imim1d 82	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
26	25	ralimdva 3168	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
27	14, 26	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
28		breq1 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧))
29	28	rspceaimv 3618	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥))
30	13, 27, 29	syl6an 683	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
31	30	rexlimdva 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
32	31	ralimdv 3170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
33	4, 32	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
34		pnfxr 11268	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
35		icossre 13405	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ)
36	6, 34, 35	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ)
37		ssrexv 4052	. . . . 5 ⊢ ((𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
39	38	ralimdv 3170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
40	1, 2, 3	rlim2 15440	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
41	39, 40	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶))
42	33, 41	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  ℝcr 11109  +∞cpnf 11245  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444  ℝ⁺crp 12974  [,)cico 13326  abscabs 15181   ⇝_𝑟 crli 15429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ico 13330  df-rlim 15433

This theorem is referenced by:  rlimresb  15509  rlimsqzlem  15595  rlimcnp  26470  signsply0  33562