Theorem rlim3 15471

Description: Restrict the range of the domain bound to reals greater than some 𝐷 ∈ ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlim2.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
rlim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
rlim3.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rlim3	⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝐷,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem rlim3

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlim2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2		rlim2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		rlim2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	rlim2 15469	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
5		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
6		rlim3.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
8	5, 7	ifcld 4538	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ)
9		max1 13152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
10	6, 9	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
11		elicopnf 13413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))))
12	7, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))))
13	8, 10, 12	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞))
14	2, 6	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
15		max2 13154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
16	15	ad4ant23 753	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷))
17		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
18		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ)
19	17, 18	ifcld 4538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ)
20		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
21	20	sselda 3949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
22		letr 11275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∧ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧) → 𝑤 ≤ 𝑧))
23	17, 19, 21, 22	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ≤ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∧ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧) → 𝑤 ≤ 𝑧))
24	16, 23	mpand 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → 𝑤 ≤ 𝑧))
25	24	imim1d 82	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
26	25	ralimdva 3146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
27	14, 26	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
28		breq1 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧))
29	28	rspceaimv 3597	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ∈ (𝐷[,)+∞) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝐷 ≤ 𝑤, 𝑤, 𝐷) ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥))
30	13, 27, 29	syl6an 684	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
31	30	rexlimdva 3135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
32	31	ralimdv 3148	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
33	4, 32	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
34		pnfxr 11235	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
35		icossre 13396	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ)
36	6, 34, 35	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ)
37		ssrexv 4019	. . . . 5 ⊢ ((𝐷[,)+∞) ⊆ ℝ → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
39	38	ralimdv 3148	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
40	1, 2, 3	rlim2 15469	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
41	39, 40	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶))
42	33, 41	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℝ⁺crp 12958  [,)cico 13315  abscabs 15207   ⇝_𝑟 crli 15458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-ico 13319  df-rlim 15462

This theorem is referenced by:  rlimresb  15538  rlimsqzlem  15622  rlimcnp  26882  signsply0  34549