MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimconst 15520
Description: A constant sequence converges to its value. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rlimconst ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem rlimconst
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11246 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
32subidd 11589 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝐵) = 0)
43fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵𝐵)) = (abs‘0))
5 abs0 15264 . . . . . . . 8 (abs‘0) = 0
64, 5eqtrdi 2781 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵𝐵)) = 0)
7 rpgt0 13018 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
87ad2antlr 725 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 0 < 𝑦)
96, 8eqbrtrd 5165 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦)
109a1d 25 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦))
1110ralrimiva 3136 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥𝐴 (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦))
12 breq1 5146 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑧𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑥))
1312rspceaimv 3607 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦))
141, 11, 13sylancr 585 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦))
1514ralrimiva 3136 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦))
16 simplr 767 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1716ralrimiva 3136 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
18 simpl 481 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
19 simpr 483 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2017, 18, 19rlim2 15472 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦)))
2115, 20mpbird 256 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  wral 3051  wrex 3060  wss 3939   class class class wbr 5143  cmpt 5226  cfv 6543  (class class class)co 7416  cc 11136  cr 11137  0cc0 11138   < clt 11278  cle 11279  cmin 11474  +crp 13006  abscabs 15213  𝑟 crli 15461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-rlim 15465
This theorem is referenced by:  o1const  15596  rlimneg  15625  caucvgr  15654  fsumrlim  15789  dvfsumrlimge0  25983  dvfsumrlim2  25985  logexprlim  27176  chebbnd2  27428  chto1lb  27429  chpchtlim  27430  dchrisum0lem1  27467  selberglem2  27497  signsplypnf  34239
  Copyright terms: Public domain W3C validator