Theorem rlimconst 15510

Description: A constant sequence converges to its value. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlimconst	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem rlimconst

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11176	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	subidd 11521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
4	3	fveq2d 6862	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) = (abs‘0))
5		abs0 15251	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) = 0)
7		rpgt0 12964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
8	7	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 < 𝑦)
9	6, 8	eqbrtrd 5129	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦)
10	9	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
11	10	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
12		breq1 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑥))
13	12	rspceaimv 3594	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
14	1, 11, 13	sylancr 587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
15	14	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
16		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
18		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
19		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	rlim2 15462	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦)))
21	15, 20	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℝ⁺crp 12951  abscabs 15200   ⇝_𝑟 crli 15451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-rlim 15455

This theorem is referenced by:  o1const  15586  rlimneg  15613  caucvgr  15642  fsumrlim  15777  dvfsumrlimge0  25937  dvfsumrlim2  25939  logexprlim  27136  chebbnd2  27388  chto1lb  27389  chpchtlim  27390  dchrisum0lem1  27427  selberglem2  27457  signsplypnf  34541