Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimconst 14896
 Description: A constant sequence converges to its value. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rlimconst ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem rlimconst
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 10636 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
32subidd 10978 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝐵) = 0)
43fveq2d 6653 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵𝐵)) = (abs‘0))
5 abs0 14640 . . . . . . . 8 (abs‘0) = 0
64, 5eqtrdi 2852 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵𝐵)) = 0)
7 rpgt0 12393 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
87ad2antlr 726 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 0 < 𝑦)
96, 8eqbrtrd 5055 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦)
109a1d 25 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦))
1110ralrimiva 3152 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥𝐴 (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦))
12 breq1 5036 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑧𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑥))
1312rspceaimv 3579 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦))
141, 11, 13sylancr 590 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦))
1514ralrimiva 3152 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦))
16 simplr 768 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1716ralrimiva 3152 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
18 simpl 486 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
19 simpr 488 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2017, 18, 19rlim2 14848 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘(𝐵𝐵)) < 𝑦)))
2115, 20mpbird 260 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ℝ+crp 12381  abscabs 14588   ⇝𝑟 crli 14837 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-rlim 14841 This theorem is referenced by:  o1const  14971  rlimneg  14998  caucvgr  15027  fsumrlim  15161  dvfsumrlimge0  24636  dvfsumrlim2  24638  logexprlim  25812  chebbnd2  26064  chto1lb  26065  chpchtlim  26066  dchrisum0lem1  26103  selberglem2  26133  signsplypnf  31928
 Copyright terms: Public domain W3C validator