Theorem rlimconst 15472

Description: A constant sequence converges to its value. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlimconst	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem rlimconst

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11139	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	subidd 11485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
4	3	fveq2d 6839	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) = (abs‘0))
5		abs0 15213	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) = 0)
7		rpgt0 12923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
8	7	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 < 𝑦)
9	6, 8	eqbrtrd 5121	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦)
10	9	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
11	10	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
12		breq1 5102	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑥))
13	12	rspceaimv 3583	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
14	1, 11, 13	sylancr 588	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
15	14	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
16		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
18		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
19		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	rlim2 15424	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦)))
21	15, 20	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11029  ℝcr 11030  0cc0 11031   < clt 11171   ≤ cle 11172   − cmin 11369  ℝ⁺crp 12910  abscabs 15162   ⇝_𝑟 crli 15413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-rp 12911  df-seq 13930  df-exp 13990  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-rlim 15417

This theorem is referenced by:  o1const  15548  rlimneg  15575  caucvgr  15604  fsumrlim  15739  dvfsumrlimge0  25998  dvfsumrlim2  26000  logexprlim  27197  chebbnd2  27449  chto1lb  27450  chpchtlim  27451  dchrisum0lem1  27488  selberglem2  27518  signsplypnf  34720