Theorem rlimconst 15633

Description: A constant sequence converges to its value. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlimconst	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem rlimconst

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11237	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	subidd 11584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
4	3	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) = (abs‘0))
5		abs0 15374	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) = 0)
7		rpgt0 13057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
8	7	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 < 𝑦)
9	6, 8	eqbrtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦)
10	9	a1d 26	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
11	10	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
12		breq1 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑥))
13	12	rspceaimv 3585	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
14	1, 11, 13	sylancr 599	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
15	14	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
16		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
18		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
19		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	rlim2 15585	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦)))
21	15, 20	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468  ℝ⁺crp 13044  abscabs 15323   ⇝_𝑟 crli 15574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-rlim 15578

This theorem is used by:  o1const  15709  rlimneg  15736  caucvgr  15765  fsumrlim  15900  dvfsumrlimge0  26259  dvfsumrlim2  26261  logexprlim  27459  chebbnd2  27711  chto1lb  27712  chpchtlim  27713  dchrisum0lem1  27750  selberglem2  27780  signsplypnf  35045