Theorem rlimconst 15580

Description: A constant sequence converges to its value. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlimconst	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem rlimconst

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11263	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	subidd 11608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
4	3	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) = (abs‘0))
5		abs0 15324	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2793	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) = 0)
7		rpgt0 13047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
8	7	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 < 𝑦)
9	6, 8	eqbrtrd 5165	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦)
10	9	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
11	10	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
12		breq1 5146	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑥))
13	12	rspceaimv 3628	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
14	1, 11, 13	sylancr 587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
15	14	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
16		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
18		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
19		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	rlim2 15532	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦)))
21	15, 20	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15273   ⇝_𝑟 crli 15521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-rlim 15525

This theorem is referenced by:  o1const  15656  rlimneg  15683  caucvgr  15712  fsumrlim  15847  dvfsumrlimge0  26071  dvfsumrlim2  26073  logexprlim  27269  chebbnd2  27521  chto1lb  27522  chpchtlim  27523  dchrisum0lem1  27560  selberglem2  27590  signsplypnf  34565