Theorem chtppilim 27463

Description: The θ function is asymptotic to π(𝑥)log(𝑥), so it is sufficient to prove θ(𝑥) / 𝑥 ⇝_𝑟 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtppilim	⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem chtppilim

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfre 12388	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
2		1re 11142	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rpre 12949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
4		resubcl 11456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	sylancr 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
6		ifcl 4507	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (1 − 𝑦) ∈ ℝ) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
7	1, 5, 6	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
8		0red 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
9	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ)
10		halfgt0 12390	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (1 / 2)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < (1 / 2))
12		max2 13137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 / 2) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
13	5, 1, 12	sylancl 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
14	8, 9, 7, 11, 13	ltletrd 11304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
15	7, 14	elrpd 12981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ+)
16	15	rpsqrtcld 15372	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) ∈ ℝ+)
17		halflt1 12392	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) < 1
18		ltsubrp 12978	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 − 𝑦) < 1)
19	2, 18	mpan 696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 − 𝑦) < 1)
20		breq1 5082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) → ((1 / 2) < 1 ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1))
21		breq1 5082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 − 𝑦) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) → ((1 − 𝑦) < 1 ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1))
22	20, 21	ifboth 4501	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) < 1 ∧ (1 − 𝑦) < 1) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1)
23	17, 19, 22	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1)
24	15	rpge0d 12988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
25	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
26		0le1 11671	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 1)
28	7, 24, 25, 27	sqrtltd 15388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1 ↔ (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < (√‘1)))
29	23, 28	mpbid 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < (√‘1))
30		sqrt1 15231	. . . . . . 7 ⊢ (√‘1) = 1
31	29, 30	breqtrdi 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < 1)
32	16, 31	chtppilimlem2 27462	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
33	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
34		max1 13135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
35	33, 1, 34	sylancl 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
36	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
37		2re 12253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
38		elicopnf 13396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
40	39	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
41		chtcl 27097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
43		ppinncl 27162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
44	39, 43	sylbi 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
45	44	nnrpd 12982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
46	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
47	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
48		1lt2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
50	39	simprbi 498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
51	46, 47, 40, 49, 50	ltletrd 11304	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
52	40, 51	rplogcld 26618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
53	45, 52	rpmulcld 13000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
54	42, 53	rerpdivcld 13015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
56		lelttr 11234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ) → (((1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
57	33, 36, 55, 56	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
58	35, 57	mpand 701	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
59	7	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℂ)
60	59	sqsqrtd 15402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
62	61	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) = (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
63	62	breq1d 5089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
64	42	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
65	53	rpregt0d 12990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
67		ltmuldiv 12027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ (θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) → ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
68	36, 64, 66, 67	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
69	63, 68	bitrd 280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
70		0red 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
71		2pos 12282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 2
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
73	70, 47, 40, 72, 50	ltletrd 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
74	40, 73	elrpd 12981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
75		chtleppi 27198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (θ‘𝑥) ≤ ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≤ ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))
77	53	rpcnd 12986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
78	77	mulridd 11160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) · 1) = ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))
79	76, 78	breqtrrd 5107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≤ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) · 1))
80	42, 46, 53	ledivmuld 13037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (θ‘𝑥) ≤ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) · 1)))
81	79, 80	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≤ 1)
82	54, 46, 81	abssuble0d 15395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) = (1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
83	82	breq1d 5089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦))
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦))
85	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
86	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
87		ltsub23 11628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
88	85, 55, 86, 87	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
89	84, 88	bitrd 280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
90	58, 69, 89	3imtr4d 295	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦))
91	90	imim2d 57	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
92	91	ralimdva 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
93	92	reximdv 3155	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
94	32, 93	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦))
95	94	rgen 3056	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)
96	54	recnd 11171	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
97	96	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
98	97	ralrimiva 3132	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
99	40	ssriv 3926	. . . . 5 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
100	99	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
101		1cnd 11137	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
102	98, 100, 101	rlim2 15456	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
103	95, 102	mpbiri 259	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
104	103	mptru 1554	1 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547  ⊤wtru 1548   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890  ifcif 4461   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041  +∞cpnf 11174   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375   / cdiv 11805  ℕcn 12172  2c2 12234  ℝ⁺crp 12940  [,)cico 13298  ↑cexp 14021  √csqrt 15193  abscabs 15194   ⇝_𝑟 crli 15445  logclog 26543  θccht 27079  πcppi 27082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-o1 15450  df-lo1 15451  df-sum 15647  df-ef 16030  df-e 16031  df-sin 16032  df-cos 16033  df-pi 16035  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-prm 16639  df-pc 16806  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-limc 25858  df-dv 25859  df-log 26545  df-cxp 26546  df-cht 27085  df-ppi 27088

This theorem is referenced by:  chebbnd2  27465  chto1lb  27466  pnt  27602