MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtppilim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtppilim 26978
Description: The ΞΈ function is asymptotic to Ο€(π‘₯)log(π‘₯), so it is sufficient to prove ΞΈ(π‘₯) / π‘₯ β‡π‘Ÿ 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtppilim (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1

Proof of Theorem chtppilim
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 halfre 12426 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
2 1re 11214 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
3 rpre 12982 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
4 resubcl 11524 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ)
52, 3, 4sylancr 588 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (1 βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ)
6 ifcl 4574 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (1 βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ) β†’ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ)
71, 5, 6sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ)
8 0red 11217 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 0 ∈ ℝ)
91a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
10 halfgt0 12428 . . . . . . . . . 10 0 < (1 / 2)
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 0 < (1 / 2))
12 max2 13166 . . . . . . . . . 10 (((1 βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ (1 / 2) ≀ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))
135, 1, 12sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 2) ≀ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))
148, 9, 7, 11, 13ltletrd 11374 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 0 < if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))
157, 14elrpd 13013 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ+)
1615rpsqrtcld 15358 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦))) ∈ ℝ+)
17 halflt1 12430 . . . . . . . . 9 (1 / 2) < 1
18 ltsubrp 13010 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) < 1)
192, 18mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (1 βˆ’ 𝑦) < 1)
20 breq1 5152 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) = if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) β†’ ((1 / 2) < 1 ↔ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < 1))
21 breq1 5152 . . . . . . . . . 10 ((1 βˆ’ 𝑦) = if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑦) < 1 ↔ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < 1))
2220, 21ifboth 4568 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) < 1 ∧ (1 βˆ’ 𝑦) < 1) β†’ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < 1)
2317, 19, 22sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < 1)
2415rpge0d 13020 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))
252a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 1 ∈ ℝ)
26 0le1 11737 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 1
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 1)
287, 24, 25, 27sqrtltd 15374 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < 1 ↔ (βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦))) < (βˆšβ€˜1)))
2923, 28mpbid 231 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦))) < (βˆšβ€˜1))
30 sqrt1 15218 . . . . . . 7 (βˆšβ€˜1) = 1
3129, 30breqtrdi 5190 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦))) < 1)
3216, 31chtppilimlem2 26977 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯)))
335adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ)
34 max1 13164 . . . . . . . . . . 11 (((1 βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) ≀ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))
3533, 1, 34sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) ≀ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))
367adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ)
37 2re 12286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
38 elicopnf 13422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯)))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯))
4039simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
41 chtcl 26613 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
43 ppinncl 26678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„•)
4439, 43sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„•)
4544nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
462a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 1 ∈ ℝ)
4737a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 2 ∈ ℝ)
48 1lt2 12383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 1 < 2)
5039simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 2 ≀ π‘₯)
5146, 47, 40, 49, 50ltletrd 11374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 1 < π‘₯)
5240, 51rplogcld 26137 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
5345, 52rpmulcld 13032 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
5442, 53rerpdivcld 13047 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
5554adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
56 lelttr 11304 . . . . . . . . . . 11 (((1 βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ ∧ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ ∧ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ (((1 βˆ’ 𝑦) ≀ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) ∧ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
5733, 36, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑦) ≀ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) ∧ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
5835, 57mpand 694 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
597recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ β„‚)
6059sqsqrtd 15386 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ ((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) = if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) = if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))
6261oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) = (if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))
6362breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯) ↔ (if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯)))
6442adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6553rpregt0d 13022 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))
6665adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))
67 ltmuldiv 12087 . . . . . . . . . . 11 ((if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β†’ ((if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯) ↔ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
6836, 64, 66, 67syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯) ↔ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
6963, 68bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯) ↔ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
70 0red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 ∈ ℝ)
71 2pos 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 2
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 < 2)
7370, 47, 40, 72, 50ltletrd 11374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 < π‘₯)
7440, 73elrpd 13013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
75 chtleppi 26713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ≀ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ≀ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))
7753rpcnd 13018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
7877mulridd 11231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) Β· 1) = ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))
7976, 78breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ≀ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) Β· 1))
8042, 46, 53ledivmuld 13069 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ≀ 1 ↔ (ΞΈβ€˜π‘₯) ≀ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) Β· 1)))
8179, 80mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ≀ 1)
8254, 46, 81abssuble0d 15379 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) = (1 βˆ’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
8382breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦 ↔ (1 βˆ’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) < 𝑦))
8483adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦 ↔ (1 βˆ’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) < 𝑦))
852a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ∈ ℝ)
863adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
87 ltsub23 11694 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((1 βˆ’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) < 𝑦 ↔ (1 βˆ’ 𝑦) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
8885, 55, 86, 87syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((1 βˆ’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) < 𝑦 ↔ (1 βˆ’ 𝑦) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
8984, 88bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦 ↔ (1 βˆ’ 𝑦) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
9058, 69, 893imtr4d 294 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦))
9190imim2d 57 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦)))
9291ralimdva 3168 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦)))
9392reximdv 3171 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦)))
9432, 93mpd 15 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦))
9594rgen 3064 . . 3 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦)
9654recnd 11242 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9796adantl 483 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9897ralrimiva 3147 . . . 4 (⊀ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9940ssriv 3987 . . . . 5 (2[,)+∞) βŠ† ℝ
10099a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (2[,)+∞) βŠ† ℝ)
101 1cnd 11209 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ β„‚)
10298, 100, 101rlim2 15440 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦)))
10395, 102mpbiri 258 . 2 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1)
104103mptru 1549 1 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„+crp 12974  [,)cico 13326  β†‘cexp 14027  βˆšcsqrt 15180  abscabs 15181   β‡π‘Ÿ crli 15429  logclog 26063  ΞΈccht 26595  Ο€cppi 26598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-o1 15434  df-lo1 15435  df-sum 15633  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066  df-cht 26601  df-ppi 26604
This theorem is referenced by:  chebbnd2  26980  chto1lb  26981  pnt  27117
  Copyright terms: Public domain W3C validator