Theorem chtppilim 27423

Description: The θ function is asymptotic to π(𝑥)log(𝑥), so it is sufficient to prove θ(𝑥) / 𝑥 ⇝_𝑟 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtppilim	⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem chtppilim

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfre 12344	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
2		1re 11122	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rpre 12909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
4		resubcl 11435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
6		ifcl 4522	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (1 − 𝑦) ∈ ℝ) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
7	1, 5, 6	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
8		0red 11125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
9	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ)
10		halfgt0 12346	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (1 / 2)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < (1 / 2))
12		max2 13096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 / 2) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
13	5, 1, 12	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
14	8, 9, 7, 11, 13	ltletrd 11283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
15	7, 14	elrpd 12941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ+)
16	15	rpsqrtcld 15329	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) ∈ ℝ+)
17		halflt1 12348	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) < 1
18		ltsubrp 12938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 − 𝑦) < 1)
19	2, 18	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 − 𝑦) < 1)
20		breq1 5098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) → ((1 / 2) < 1 ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1))
21		breq1 5098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 − 𝑦) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) → ((1 − 𝑦) < 1 ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1))
22	20, 21	ifboth 4516	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) < 1 ∧ (1 − 𝑦) < 1) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1)
23	17, 19, 22	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1)
24	15	rpge0d 12948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
25	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
26		0le1 11650	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 1)
28	7, 24, 25, 27	sqrtltd 15345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1 ↔ (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < (√‘1)))
29	23, 28	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < (√‘1))
30		sqrt1 15188	. . . . . . 7 ⊢ (√‘1) = 1
31	29, 30	breqtrdi 5136	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < 1)
32	16, 31	chtppilimlem2 27422	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
33	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
34		max1 13094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
35	33, 1, 34	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
36	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
37		2re 12209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
38		elicopnf 13355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
40	39	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
41		chtcl 27056	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
43		ppinncl 27121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
44	39, 43	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
45	44	nnrpd 12942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
46	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
47	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
48		1lt2 12301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
50	39	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
51	46, 47, 40, 49, 50	ltletrd 11283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
52	40, 51	rplogcld 26575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
53	45, 52	rpmulcld 12960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
54	42, 53	rerpdivcld 12975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
55	54	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
56		lelttr 11213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ) → (((1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
57	33, 36, 55, 56	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
58	35, 57	mpand 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
59	7	recnd 11150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℂ)
60	59	sqsqrtd 15359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
62	61	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) = (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
63	62	breq1d 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
64	42	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
65	53	rpregt0d 12950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
67		ltmuldiv 12005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ (θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) → ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
68	36, 64, 66, 67	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
69	63, 68	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
70		0red 11125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
71		2pos 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 2
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
73	70, 47, 40, 72, 50	ltletrd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
74	40, 73	elrpd 12941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
75		chtleppi 27158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (θ‘𝑥) ≤ ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≤ ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))
77	53	rpcnd 12946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
78	77	mulridd 11139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) · 1) = ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))
79	76, 78	breqtrrd 5123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≤ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) · 1))
80	42, 46, 53	ledivmuld 12997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (θ‘𝑥) ≤ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) · 1)))
81	79, 80	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≤ 1)
82	54, 46, 81	abssuble0d 15352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) = (1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
83	82	breq1d 5105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦))
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦))
85	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
86	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
87		ltsub23 11607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
88	85, 55, 86, 87	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
89	84, 88	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
90	58, 69, 89	3imtr4d 294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦))
91	90	imim2d 57	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
92	91	ralimdva 3146	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
93	92	reximdv 3149	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
94	32, 93	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦))
95	94	rgen 3051	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)
96	54	recnd 11150	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
97	96	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
98	97	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
99	40	ssriv 3935	. . . . 5 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
100	99	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
101		1cnd 11117	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
102	98, 100, 101	rlim2 15413	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
103	95, 102	mpbiri 258	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
104	103	mptru 1548	1 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058   ⊆ wss 3899  ifcif 4476   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  ℝcr 11015  0cc0 11016  1c1 11017   · cmul 11021  +∞cpnf 11153   < clt 11156   ≤ cle 11157   − cmin 11354   / cdiv 11784  ℕcn 12135  2c2 12190  ℝ⁺crp 12900  [,)cico 13257  ↑cexp 13978  √csqrt 15150  abscabs 15151   ⇝_𝑟 crli 15402  logclog 26500  θccht 27038  πcppi 27041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9541  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094  ax-addf 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8831  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fsupp 9256  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9406  df-dju 9804  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-xnn0 12465  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12857  df-rp 12901  df-xneg 13021  df-xadd 13022  df-xmul 13023  df-ioo 13259  df-ioc 13260  df-ico 13261  df-icc 13262  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13919  df-exp 13979  df-fac 14191  df-bc 14220  df-hash 14248  df-shft 14984  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-limsup 15388  df-clim 15405  df-rlim 15406  df-o1 15407  df-lo1 15408  df-sum 15604  df-ef 15984  df-e 15985  df-sin 15986  df-cos 15987  df-pi 15989  df-dvds 16174  df-gcd 16416  df-prm 16593  df-pc 16759  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-starv 17186  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-tset 17190  df-ple 17191  df-ds 17193  df-unif 17194  df-hom 17195  df-cco 17196  df-rest 17336  df-topn 17337  df-0g 17355  df-gsum 17356  df-topgen 17357  df-pt 17358  df-prds 17361  df-xrs 17416  df-qtop 17421  df-imas 17422  df-xps 17424  df-mre 17498  df-mrc 17499  df-acs 17501  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-submnd 18702  df-mulg 18991  df-cntz 19239  df-cmn 19704  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-met 21295  df-bl 21296  df-mopn 21297  df-fbas 21298  df-fg 21299  df-cnfld 21302  df-top 22819  df-topon 22836  df-topsp 22858  df-bases 22871  df-cld 22944  df-ntr 22945  df-cls 22946  df-nei 23023  df-lp 23061  df-perf 23062  df-cn 23152  df-cnp 23153  df-haus 23240  df-tx 23487  df-hmeo 23680  df-fil 23771  df-fm 23863  df-flim 23864  df-flf 23865  df-xms 24245  df-ms 24246  df-tms 24247  df-cncf 24808  df-limc 25804  df-dv 25805  df-log 26502  df-cxp 26503  df-cht 27044  df-ppi 27047

This theorem is referenced by:  chebbnd2  27425  chto1lb  27426  pnt  27562