Theorem chtppilim 27442

Description: The θ function is asymptotic to π(𝑥)log(𝑥), so it is sufficient to prove θ(𝑥) / 𝑥 ⇝_𝑟 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtppilim	⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem chtppilim

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfre 12354	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
2		1re 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rpre 12914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
4		resubcl 11445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
6		ifcl 4525	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (1 − 𝑦) ∈ ℝ) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
7	1, 5, 6	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
8		0red 11135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
9	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ)
10		halfgt0 12356	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (1 / 2)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < (1 / 2))
12		max2 13102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 / 2) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
13	5, 1, 12	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
14	8, 9, 7, 11, 13	ltletrd 11293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
15	7, 14	elrpd 12946	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ+)
16	15	rpsqrtcld 15335	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) ∈ ℝ+)
17		halflt1 12358	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) < 1
18		ltsubrp 12943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 − 𝑦) < 1)
19	2, 18	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 − 𝑦) < 1)
20		breq1 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) → ((1 / 2) < 1 ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1))
21		breq1 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 − 𝑦) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) → ((1 − 𝑦) < 1 ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1))
22	20, 21	ifboth 4519	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) < 1 ∧ (1 − 𝑦) < 1) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1)
23	17, 19, 22	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1)
24	15	rpge0d 12953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
25	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
26		0le1 11660	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 1)
28	7, 24, 25, 27	sqrtltd 15351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1 ↔ (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < (√‘1)))
29	23, 28	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < (√‘1))
30		sqrt1 15194	. . . . . . 7 ⊢ (√‘1) = 1
31	29, 30	breqtrdi 5139	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < 1)
32	16, 31	chtppilimlem2 27441	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
33	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
34		max1 13100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
35	33, 1, 34	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
36	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
37		2re 12219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
38		elicopnf 13361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
40	39	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
41		chtcl 27075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
43		ppinncl 27140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
44	39, 43	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
45	44	nnrpd 12947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
46	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
47	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
48		1lt2 12311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
50	39	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
51	46, 47, 40, 49, 50	ltletrd 11293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
52	40, 51	rplogcld 26594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
53	45, 52	rpmulcld 12965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
54	42, 53	rerpdivcld 12980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
55	54	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
56		lelttr 11223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ) → (((1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
57	33, 36, 55, 56	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
58	35, 57	mpand 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
59	7	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℂ)
60	59	sqsqrtd 15365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
62	61	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) = (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
63	62	breq1d 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
64	42	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
65	53	rpregt0d 12955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
67		ltmuldiv 12015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ (θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) → ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
68	36, 64, 66, 67	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
69	63, 68	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
70		0red 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
71		2pos 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 2
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
73	70, 47, 40, 72, 50	ltletrd 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
74	40, 73	elrpd 12946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
75		chtleppi 27177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (θ‘𝑥) ≤ ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≤ ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))
77	53	rpcnd 12951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
78	77	mulridd 11149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) · 1) = ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))
79	76, 78	breqtrrd 5126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≤ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) · 1))
80	42, 46, 53	ledivmuld 13002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (θ‘𝑥) ≤ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) · 1)))
81	79, 80	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≤ 1)
82	54, 46, 81	abssuble0d 15358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) = (1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
83	82	breq1d 5108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦))
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦))
85	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
86	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
87		ltsub23 11617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
88	85, 55, 86, 87	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
89	84, 88	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
90	58, 69, 89	3imtr4d 294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦))
91	90	imim2d 57	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
92	91	ralimdva 3148	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
93	92	reximdv 3151	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
94	32, 93	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦))
95	94	rgen 3053	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)
96	54	recnd 11160	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
97	96	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
98	97	ralrimiva 3128	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
99	40	ssriv 3937	. . . . 5 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
100	99	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
101		1cnd 11127	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
102	98, 100, 101	rlim2 15419	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
103	95, 102	mpbiri 258	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
104	103	mptru 1548	1 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  ifcif 4479   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031  +∞cpnf 11163   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  ℝ⁺crp 12905  [,)cico 13263  ↑cexp 13984  √csqrt 15156  abscabs 15157   ⇝_𝑟 crli 15408  logclog 26519  θccht 27057  πcppi 27060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-o1 15413  df-lo1 15414  df-sum 15610  df-ef 15990  df-e 15991  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599  df-pc 16765  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26521  df-cxp 26522  df-cht 27063  df-ppi 27066

This theorem is referenced by:  chebbnd2  27444  chto1lb  27445  pnt  27581