MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtppilim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtppilim 26839
Description: The ΞΈ function is asymptotic to Ο€(π‘₯)log(π‘₯), so it is sufficient to prove ΞΈ(π‘₯) / π‘₯ β‡π‘Ÿ 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtppilim (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1

Proof of Theorem chtppilim
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 halfre 12374 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
2 1re 11162 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
3 rpre 12930 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
4 resubcl 11472 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ)
52, 3, 4sylancr 588 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (1 βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ)
6 ifcl 4536 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (1 βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ) β†’ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ)
71, 5, 6sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ)
8 0red 11165 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 0 ∈ ℝ)
91a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
10 halfgt0 12376 . . . . . . . . . 10 0 < (1 / 2)
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 0 < (1 / 2))
12 max2 13113 . . . . . . . . . 10 (((1 βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ (1 / 2) ≀ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))
135, 1, 12sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 2) ≀ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))
148, 9, 7, 11, 13ltletrd 11322 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 0 < if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))
157, 14elrpd 12961 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ+)
1615rpsqrtcld 15303 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦))) ∈ ℝ+)
17 halflt1 12378 . . . . . . . . 9 (1 / 2) < 1
18 ltsubrp 12958 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) < 1)
192, 18mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (1 βˆ’ 𝑦) < 1)
20 breq1 5113 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) = if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) β†’ ((1 / 2) < 1 ↔ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < 1))
21 breq1 5113 . . . . . . . . . 10 ((1 βˆ’ 𝑦) = if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑦) < 1 ↔ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < 1))
2220, 21ifboth 4530 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) < 1 ∧ (1 βˆ’ 𝑦) < 1) β†’ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < 1)
2317, 19, 22sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < 1)
2415rpge0d 12968 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))
252a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 1 ∈ ℝ)
26 0le1 11685 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 1
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 1)
287, 24, 25, 27sqrtltd 15319 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < 1 ↔ (βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦))) < (βˆšβ€˜1)))
2923, 28mpbid 231 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦))) < (βˆšβ€˜1))
30 sqrt1 15163 . . . . . . 7 (βˆšβ€˜1) = 1
3129, 30breqtrdi 5151 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦))) < 1)
3216, 31chtppilimlem2 26838 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯)))
335adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ)
34 max1 13111 . . . . . . . . . . 11 (((1 βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) ≀ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))
3533, 1, 34sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) ≀ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))
367adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ)
37 2re 12234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
38 elicopnf 13369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯)))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯))
4039simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
41 chtcl 26474 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
43 ppinncl 26539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„•)
4439, 43sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„•)
4544nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
462a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 1 ∈ ℝ)
4737a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 2 ∈ ℝ)
48 1lt2 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 1 < 2)
5039simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 2 ≀ π‘₯)
5146, 47, 40, 49, 50ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 1 < π‘₯)
5240, 51rplogcld 26000 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
5345, 52rpmulcld 12980 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
5442, 53rerpdivcld 12995 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
5554adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
56 lelttr 11252 . . . . . . . . . . 11 (((1 βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ ∧ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ ∧ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ (((1 βˆ’ 𝑦) ≀ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) ∧ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
5733, 36, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑦) ≀ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) ∧ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
5835, 57mpand 694 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
597recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ β„‚)
6059sqsqrtd 15331 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ ((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) = if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) = if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))
6261oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) = (if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))
6362breq1d 5120 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯) ↔ (if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯)))
6442adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6553rpregt0d 12970 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))
6665adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))
67 ltmuldiv 12035 . . . . . . . . . . 11 ((if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β†’ ((if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯) ↔ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
6836, 64, 66, 67syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯) ↔ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
6963, 68bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯) ↔ if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
70 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 ∈ ℝ)
71 2pos 12263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 2
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 < 2)
7370, 47, 40, 72, 50ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 < π‘₯)
7440, 73elrpd 12961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
75 chtleppi 26574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ≀ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ≀ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))
7753rpcnd 12966 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
7877mulid1d 11179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) Β· 1) = ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))
7976, 78breqtrrd 5138 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ≀ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) Β· 1))
8042, 46, 53ledivmuld 13017 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ≀ 1 ↔ (ΞΈβ€˜π‘₯) ≀ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) Β· 1)))
8179, 80mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ≀ 1)
8254, 46, 81abssuble0d 15324 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) = (1 βˆ’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
8382breq1d 5120 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦 ↔ (1 βˆ’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) < 𝑦))
8483adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦 ↔ (1 βˆ’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) < 𝑦))
852a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ∈ ℝ)
863adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
87 ltsub23 11642 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((1 βˆ’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) < 𝑦 ↔ (1 βˆ’ 𝑦) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
8885, 55, 86, 87syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((1 βˆ’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) < 𝑦 ↔ (1 βˆ’ 𝑦) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
8984, 88bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦 ↔ (1 βˆ’ 𝑦) < ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
9058, 69, 893imtr4d 294 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦))
9190imim2d 57 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦)))
9291ralimdva 3165 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦)))
9392reximdv 3168 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (((βˆšβ€˜if((1 βˆ’ 𝑦) ≀ (1 / 2), (1 / 2), (1 βˆ’ 𝑦)))↑2) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) < (ΞΈβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦)))
9432, 93mpd 15 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦))
9594rgen 3067 . . 3 βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦)
9654recnd 11190 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9796adantl 483 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9897ralrimiva 3144 . . . 4 (⊀ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9940ssriv 3953 . . . . 5 (2[,)+∞) βŠ† ℝ
10099a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (2[,)+∞) βŠ† ℝ)
101 1cnd 11157 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ β„‚)
10298, 100, 101rlim2 15385 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) βˆ’ 1)) < 𝑦)))
10395, 102mpbiri 258 . 2 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1)
104103mptru 1549 1 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3915  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„+crp 12922  [,)cico 13273  β†‘cexp 13974  βˆšcsqrt 15125  abscabs 15126   β‡π‘Ÿ crli 15374  logclog 25926  ΞΈccht 26456  Ο€cppi 26459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-lo1 15380  df-sum 15578  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-cht 26462  df-ppi 26465
This theorem is referenced by:  chebbnd2  26841  chto1lb  26842  pnt  26978
  Copyright terms: Public domain W3C validator