Theorem chtppilim 27421

Description: The θ function is asymptotic to π(𝑥)log(𝑥), so it is sufficient to prove θ(𝑥) / 𝑥 ⇝_𝑟 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtppilim	⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem chtppilim

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfre 12457	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
2		1re 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rpre 13015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
4		resubcl 11555	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
6		ifcl 4574	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (1 − 𝑦) ∈ ℝ) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
7	1, 5, 6	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
8		0red 11248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
9	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ)
10		halfgt0 12459	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (1 / 2)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < (1 / 2))
12		max2 13199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 / 2) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
13	5, 1, 12	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
14	8, 9, 7, 11, 13	ltletrd 11405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
15	7, 14	elrpd 13046	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ+)
16	15	rpsqrtcld 15391	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) ∈ ℝ+)
17		halflt1 12461	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) < 1
18		ltsubrp 13043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 − 𝑦) < 1)
19	2, 18	mpan 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 − 𝑦) < 1)
20		breq1 5151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) → ((1 / 2) < 1 ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1))
21		breq1 5151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 − 𝑦) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) → ((1 − 𝑦) < 1 ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1))
22	20, 21	ifboth 4568	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) < 1 ∧ (1 − 𝑦) < 1) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1)
23	17, 19, 22	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1)
24	15	rpge0d 13053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
25	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
26		0le1 11768	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 1)
28	7, 24, 25, 27	sqrtltd 15407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1 ↔ (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < (√‘1)))
29	23, 28	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < (√‘1))
30		sqrt1 15251	. . . . . . 7 ⊢ (√‘1) = 1
31	29, 30	breqtrdi 5189	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < 1)
32	16, 31	chtppilimlem2 27420	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
33	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
34		max1 13197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
35	33, 1, 34	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
36	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
37		2re 12317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
38		elicopnf 13455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
40	39	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
41		chtcl 27054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
43		ppinncl 27119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
44	39, 43	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
45	44	nnrpd 13047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
46	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
47	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
48		1lt2 12414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
50	39	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
51	46, 47, 40, 49, 50	ltletrd 11405	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
52	40, 51	rplogcld 26576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
53	45, 52	rpmulcld 13065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
54	42, 53	rerpdivcld 13080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
55	54	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
56		lelttr 11335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ) → (((1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
57	33, 36, 55, 56	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
58	35, 57	mpand 694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
59	7	recnd 11273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℂ)
60	59	sqsqrtd 15419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
62	61	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) = (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
63	62	breq1d 5158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
64	42	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
65	53	rpregt0d 13055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
67		ltmuldiv 12118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ (θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) → ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
68	36, 64, 66, 67	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
69	63, 68	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
70		0red 11248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
71		2pos 12346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 2
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
73	70, 47, 40, 72, 50	ltletrd 11405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
74	40, 73	elrpd 13046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
75		chtleppi 27156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (θ‘𝑥) ≤ ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≤ ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))
77	53	rpcnd 13051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
78	77	mulridd 11262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) · 1) = ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))
79	76, 78	breqtrrd 5176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≤ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) · 1))
80	42, 46, 53	ledivmuld 13102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (θ‘𝑥) ≤ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) · 1)))
81	79, 80	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≤ 1)
82	54, 46, 81	abssuble0d 15412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) = (1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
83	82	breq1d 5158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦))
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦))
85	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
86	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
87		ltsub23 11725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
88	85, 55, 86, 87	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
89	84, 88	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
90	58, 69, 89	3imtr4d 294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦))
91	90	imim2d 57	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
92	91	ralimdva 3164	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
93	92	reximdv 3167	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
94	32, 93	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦))
95	94	rgen 3060	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)
96	54	recnd 11273	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
97	96	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
98	97	ralrimiva 3143	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
99	40	ssriv 3984	. . . . 5 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
100	99	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
101		1cnd 11240	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
102	98, 100, 101	rlim2 15473	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
103	95, 102	mpbiri 258	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
104	103	mptru 1541	1 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  ⊤wtru 1535   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3947  ifcif 4529   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  ℝcr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   · cmul 11144  +∞cpnf 11276   < clt 11279   ≤ cle 11280   − cmin 11475   / cdiv 11902  ℕcn 12243  2c2 12298  ℝ⁺crp 13007  [,)cico 13359  ↑cexp 14059  √csqrt 15213  abscabs 15214   ⇝_𝑟 crli 15462  logclog 26501  θccht 27036  πcppi 27039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-o1 15467  df-lo1 15468  df-sum 15666  df-ef 16044  df-e 16045  df-sin 16046  df-cos 16047  df-pi 16049  df-dvds 16232  df-gcd 16470  df-prm 16643  df-pc 16806  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-cxp 26504  df-cht 27042  df-ppi 27045

This theorem is referenced by:  chebbnd2  27423  chto1lb  27424  pnt  27560