Theorem chtppilim 26985

Description: The θ function is asymptotic to π(𝑥)log(𝑥), so it is sufficient to prove θ(𝑥) / 𝑥 ⇝_𝑟 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtppilim	⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem chtppilim

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfre 12428	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
2		1re 11216	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rpre 12984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
4		resubcl 11526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
6		ifcl 4573	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (1 − 𝑦) ∈ ℝ) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
7	1, 5, 6	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
8		0red 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
9	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ)
10		halfgt0 12430	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (1 / 2)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < (1 / 2))
12		max2 13168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 / 2) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
13	5, 1, 12	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
14	8, 9, 7, 11, 13	ltletrd 11376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
15	7, 14	elrpd 13015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ+)
16	15	rpsqrtcld 15360	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) ∈ ℝ+)
17		halflt1 12432	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) < 1
18		ltsubrp 13012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 − 𝑦) < 1)
19	2, 18	mpan 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 − 𝑦) < 1)
20		breq1 5151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) → ((1 / 2) < 1 ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1))
21		breq1 5151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 − 𝑦) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) → ((1 − 𝑦) < 1 ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1))
22	20, 21	ifboth 4567	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) < 1 ∧ (1 − 𝑦) < 1) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1)
23	17, 19, 22	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1)
24	15	rpge0d 13022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
25	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
26		0le1 11739	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 1)
28	7, 24, 25, 27	sqrtltd 15376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1 ↔ (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < (√‘1)))
29	23, 28	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < (√‘1))
30		sqrt1 15220	. . . . . . 7 ⊢ (√‘1) = 1
31	29, 30	breqtrdi 5189	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < 1)
32	16, 31	chtppilimlem2 26984	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
33	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
34		max1 13166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
35	33, 1, 34	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
36	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
37		2re 12288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
38		elicopnf 13424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
40	39	simplbi 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
41		chtcl 26620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
43		ppinncl 26685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
44	39, 43	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
45	44	nnrpd 13016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
46	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
47	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
48		1lt2 12385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
50	39	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
51	46, 47, 40, 49, 50	ltletrd 11376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
52	40, 51	rplogcld 26144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
53	45, 52	rpmulcld 13034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
54	42, 53	rerpdivcld 13049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
56		lelttr 11306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ) → (((1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
57	33, 36, 55, 56	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
58	35, 57	mpand 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
59	7	recnd 11244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℂ)
60	59	sqsqrtd 15388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
62	61	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) = (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
63	62	breq1d 5158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
64	42	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
65	53	rpregt0d 13024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))
67		ltmuldiv 12089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ (θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) → ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
68	36, 64, 66, 67	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
69	63, 68	bitrd 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
70		0red 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
71		2pos 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 2
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
73	70, 47, 40, 72, 50	ltletrd 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
74	40, 73	elrpd 13015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
75		chtleppi 26720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (θ‘𝑥) ≤ ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≤ ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))
77	53	rpcnd 13020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
78	77	mulridd 11233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) · 1) = ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))
79	76, 78	breqtrrd 5176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≤ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) · 1))
80	42, 46, 53	ledivmuld 13071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (θ‘𝑥) ≤ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) · 1)))
81	79, 80	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≤ 1)
82	54, 46, 81	abssuble0d 15381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) = (1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
83	82	breq1d 5158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦))
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦))
85	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
86	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
87		ltsub23 11696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
88	85, 55, 86, 87	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((1 − ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
89	84, 88	bitrd 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))
90	58, 69, 89	3imtr4d 293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦))
91	90	imim2d 57	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
92	91	ralimdva 3167	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
93	92	reximdv 3170	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
94	32, 93	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦))
95	94	rgen 3063	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)
96	54	recnd 11244	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
97	96	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
98	97	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
99	40	ssriv 3986	. . . . 5 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
100	99	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
101		1cnd 11211	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
102	98, 100, 101	rlim2 15442	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
103	95, 102	mpbiri 257	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
104	103	mptru 1548	1 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117  +∞cpnf 11247   < clt 11250   ≤ cle 11251   − cmin 11446   / cdiv 11873  ℕcn 12214  2c2 12269  ℝ⁺crp 12976  [,)cico 13328  ↑cexp 14029  √csqrt 15182  abscabs 15183   ⇝_𝑟 crli 15431  logclog 26070  θccht 26602  πcppi 26605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-o1 15436  df-lo1 15437  df-sum 15635  df-ef 16013  df-e 16014  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-pc 16772  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-cxp 26073  df-cht 26608  df-ppi 26611

This theorem is referenced by:  chebbnd2  26987  chto1lb  26988  pnt  27124