MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtppilim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtppilim 26063
Description: The θ function is asymptotic to π(𝑥)log(𝑥), so it is sufficient to prove θ(𝑥) / 𝑥𝑟 1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtppilim (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem chtppilim
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 halfre 11843 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
2 1re 10634 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
3 rpre 12389 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
4 resubcl 10943 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
52, 3, 4sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
6 ifcl 4472 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (1 − 𝑦) ∈ ℝ) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
71, 5, 6sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
8 0red 10637 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
91a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ)
10 halfgt0 11845 . . . . . . . . . 10 0 < (1 / 2)
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < (1 / 2))
12 max2 12572 . . . . . . . . . 10 (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 / 2) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
135, 1, 12sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
148, 9, 7, 11, 13ltletrd 10793 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
157, 14elrpd 12420 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ+)
1615rpsqrtcld 14767 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) ∈ ℝ+)
17 halflt1 11847 . . . . . . . . 9 (1 / 2) < 1
18 ltsubrp 12417 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 − 𝑦) < 1)
192, 18mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 − 𝑦) < 1)
20 breq1 5036 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) → ((1 / 2) < 1 ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1))
21 breq1 5036 . . . . . . . . . 10 ((1 − 𝑦) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) → ((1 − 𝑦) < 1 ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1))
2220, 21ifboth 4466 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) < 1 ∧ (1 − 𝑦) < 1) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1)
2317, 19, 22sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1)
2415rpge0d 12427 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
252a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
26 0le1 11156 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 1)
287, 24, 25, 27sqrtltd 14783 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < 1 ↔ (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < (√‘1)))
2923, 28mpbid 235 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < (√‘1))
30 sqrt1 14627 . . . . . . 7 (√‘1) = 1
3129, 30breqtrdi 5074 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ → (√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦))) < 1)
3216, 31chtppilimlem2 26062 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
335adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
34 max1 12570 . . . . . . . . . . 11 (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
3533, 1, 34sylancl 589 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
367adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ)
37 2re 11703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
38 elicopnf 12827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
4039simplbi 501 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
41 chtcl 25698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
43 ppinncl 25763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℕ)
4439, 43sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℕ)
4544nnrpd 12421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
462a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
4737a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
48 1lt2 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 2)
5039simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
5146, 47, 40, 49, 50ltletrd 10793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 1 < 𝑥)
5240, 51rplogcld 25224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
5345, 52rpmulcld 12439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
5442, 53rerpdivcld 12454 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
5554adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
56 lelttr 10724 . . . . . . . . . . 11 (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ) → (((1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
5733, 36, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((1 − 𝑦) ≤ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∧ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
5835, 57mpand 694 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) → (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
597recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ → if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℂ)
6059sqsqrtd 14795 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
6160adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) = if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))
6261oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) = (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))))
6362breq1d 5043 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ (if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)))
6442adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
6553rpregt0d 12429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π𝑥) · (log‘𝑥))))
6665adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π𝑥) · (log‘𝑥))))
67 ltmuldiv 11506 . . . . . . . . . . 11 ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ (θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) → ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
6836, 64, 66, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
6963, 68bitrd 282 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) ↔ if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
70 0red 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
71 2pos 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 2
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
7370, 47, 40, 72, 50ltletrd 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
7440, 73elrpd 12420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
75 chtleppi 25798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+ → (θ‘𝑥) ≤ ((π𝑥) · (log‘𝑥)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≤ ((π𝑥) · (log‘𝑥)))
7753rpcnd 12425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
7877mulid1d 10651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) · 1) = ((π𝑥) · (log‘𝑥)))
7976, 78breqtrrd 5061 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≤ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) · 1))
8042, 46, 53ledivmuld 12476 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (θ‘𝑥) ≤ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) · 1)))
8179, 80mpbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≤ 1)
8254, 46, 81abssuble0d 14788 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) = (1 − ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
8382breq1d 5043 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦))
8483adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦))
852a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
863adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
87 ltsub23 11113 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 − ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
8885, 55, 86, 87syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((1 − ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
8984, 88bitrd 282 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦 ↔ (1 − 𝑦) < ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))
9058, 69, 893imtr4d 297 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥) → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦))
9190imim2d 57 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((𝑧𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → (𝑧𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
9291ralimdva 3147 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
9392reximdv 3235 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (((√‘if((1 − 𝑦) ≤ (1 / 2), (1 / 2), (1 − 𝑦)))↑2) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) < (θ‘𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
9432, 93mpd 15 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦))
9594rgen 3119 . . 3 𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)
9654recnd 10662 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
9796adantl 485 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
9897ralrimiva 3152 . . . 4 (⊤ → ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
9940ssriv 3922 . . . . 5 (2[,)+∞) ⊆ ℝ
10099a1i 11 . . . 4 (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
101 1cnd 10629 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
10298, 100, 101rlim2 14849 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (2[,)+∞)(𝑧𝑥 → (abs‘(((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) − 1)) < 𝑦)))
10395, 102mpbiri 261 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
104103mptru 1545 1 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wtru 1539  wcel 2112  wral 3109  wrex 3110  wss 3884  ifcif 4428   class class class wbr 5033  cmpt 5113  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535  +∞cpnf 10665   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863   / cdiv 11290  cn 11629  2c2 11684  +crp 12381  [,)cico 12732  cexp 13429  csqrt 14588  abscabs 14589  𝑟 crli 14838  logclog 25150  θccht 25680  πcppi 25683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-o1 14843  df-lo1 14844  df-sum 15039  df-ef 15417  df-e 15418  df-sin 15419  df-cos 15420  df-pi 15422  df-dvds 15604  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-pc 16168  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-limc 24473  df-dv 24474  df-log 25152  df-cxp 25153  df-cht 25686  df-ppi 25689
This theorem is referenced by:  chebbnd2  26065  chto1lb  26066  pnt  26202
  Copyright terms: Public domain W3C validator